ดูต้นฉบับสำหรับ 0.999...

[[ไฟล์:999 Perspective.svg|300px|right|alt=|จำนวนทศนิยมที่มีเลข 9 ไปแบบอนันต์]]
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] [[ทศนิยมซ้ำ]] 0.999... ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป <math>0.\bar{9} , 0.\dot{9}</math> หรือ <math>\ 0.(9)</math> มีค่าเท่ากับ[[จำนวนจริง]] [[1]] หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งคือ "0.999..." เป็นการนำเสนอจำนวนเดียวกันกับสัญลักษณ์ "1"

หรือจะกล่าวอีกแบบก็คือ ทุกๆจำนวนที่เป็น[[ทศนิยมรู้จบ]] (ที่ไม่ใช่ 0) จะสามารถเขียนได้สองรูปแบบ (เช่น 8.32 = 8.31999...)

== การพิสูจน์ ==

<math>
\begin{align}
0.999\ldots &= \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots \\
&= -9 + \left( \frac{9}{1} + \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots \right) \\
&= -9 + 9 \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k \\
&= -9 + 9 \left( \frac{10}{9} \right) \\
&= 1 \\
\end{align}
</math>

ซ.ต.พ.

== การพิสูจน์เชิงพีชคณิต ==

=== การดำเนินการทางพีชคณิต ===

หลายคนอาจคิดว่า การพิสูจน์ข้างต้นมีข้อผิดพลาดที่สูตรของอนุกรมลู่เข้า นี่เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายกว่า

<math>
\begin{align}
x &= 0.999\ldots \\
10x - x &= 9.999\ldots - 0.999\ldots \\
9x &= 9 \\
x &= 1 \\
\end{align}
</math>

หรือง่ายกว่านี้ :

<math>
\begin{align}
0.333\dots &{} = \frac{1}{3} \\
3 \times 0.333\dots &{} = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\
0.999\dots &{} = 1
\end{align}
</math>


<math>
\begin{align}
0.111\dots & {} = \frac{1}{9} \\
9 \times 0.111\dots & {} = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\
0.999\dots & {} = 1
\end{align}
</math>

หรือ

<math>\begin{align}
N &= 0.999...-(1) \\
10N &= 9.999...-(2) \\
(2)-(1); 10N-N &= 9.999... - 0.999... \\
9N &= 9 \\
N &= \frac{9}{9} = 1\\
\end{align}</math>

=== ช่วงของจำนวนจริง ===
การพิสูจน์นี้ใช้คุณสมบัติของ[[จำนวนจริง]] ถ้าหาก 0.999... และ 1 เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันแล้ว มันจะมีจำนวนจริงใน[[ช่วง (คณิตศาสตร์)|ช่วง]] (0.999... , 1) อยู่เป็นจำนวนอนันต์ แต่ในความเป็นจริง มันไม่มีจำนวนนั้น แสดงว่าสมมติฐานที่ว่า 0.999... กับ 1 แตกต่างกันนั้นผิด ที่จริงแล้วมันมีค่าเท่ากัน

=== เศษส่วน ===
เมื่อหารเลขโดดด้วย 9 มันจะได้ทศนิยมซ้ำของจำนวนนั้น

<math>
\begin{align}
1 / 9 &= 0.111\ldots \\
2 / 9 &= 0.222\ldots \\
3 / 9 &= 0.333\ldots \\
\vdots &\qquad \vdots \\
9 / 9 &= 0.999\ldots = 1 \\
\end{align}
</math>

แต่ว่า การหารด้วยตัวเอง จะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น 0.999... = [[1 − 2 + 3 − 4 + · · ·|1]]

== ดูเพิ่ม ==
* [[ทศนิยมซ้ำ]]
* [[อนุกรมเรขาคณิต]]
* [[อนุกรมลู่เข้า]]
* [[อนุกรมอนันต์]]
* [[ลิมิต]]

[[หมวดหมู่:ปฏิทรรศน์ทางคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:จำนวนจริง]]
[[หมวดหมู่:หนึ่ง]]