ดูต้นฉบับสำหรับ ไฮเพอร์โบลา

[[ไฟล์:Hyperbola2.png|right|thumb| ไฮเพอร์โบลา]]
'''ไฮเพอร์โบลา''' (hyperbola) เป็น[[เส้นโค้ง]]รูปแบบหนึ่งที่ถูกนิยามใน[[ปริภูมิแบบยุคลิด]] สองมิติ ℝ<sup>2</sup> เป็นคำทั่วไปสำหรับเรียกเส้นโค้งที่มี[[ระยะทาง|ระยะห่าง]] จากจุดสองจุด F และ F' ซึ่งเรียกว่า [[จุดโฟกัส]] เป็นค่าคงที่ โดยเส้นตรงที่ลากผ่านทั้งจุดโฟกัสทั้งสองนี้ และเส้นตรงตั้งฉากที่ลากแบ่งครึ่งกลางจุดโฟกัสทั้งสองนี้ จะเรียกว่า แกนหลัก

== สมการไฮเพอร์โบลา ==
{| class="wikitable floatright"
|+ส่วนประกอบทั่วไปในไฮเพอร์โบลา
! สมการทั่วไป
| <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 </math>
| <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 </math>
|-
! เส้นกำกับ
| <math>\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0</math>
| <math>\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0</math>
|-
! จุดโฟกัส
| <math>(\pm\sqrt{a^2+b^2},0)</math>
| <math>(0,\pm\sqrt{a^2+b^2})</math>
|-
! จุดยอด
| <math>(\pm{a},0)</math>
| <math>(0,\pm{b})</math>
|-
! เส้นบังคับ
| <math>x = \pm\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>
| <math>y = \pm\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>
|-
! ความเยื้องศูนย์กลาง
| <math>e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}</math>
| <math>e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}</math>
|}
ไฮเพอร์โบลาสามารถแสดงด้วยสมการต่อไปนี้ใน[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]]ซึ่งมีแกนพิกัดเป็นแกนหลัก

: <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 </math>

ในกรณีนี้ พิกัดของจุดโฟกัสอยู่ที่

: <math>F(-\sqrt{a^2+b^2},0)</math> และ <math>F'(+\sqrt{a^2+b^2},0)</math>

และผลต่างของระยะทาง |PF - PF'| จากจุดโฟกัสสองจุด F, F' ไปยังจุด P บนไฮเพอร์โบลาคือ 2a จุดกำเนิดเรียกว่าจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา และจุดสองจุด (±a, 0) เรียกว่าจุดยอดของไฮเพอร์โบลา

ระยะห่าง PF ระหว่างจุด P บนไฮเพอร์โบลากับจุดโฟกัส F และระยะห่างจากจุด P ไปยัง[[เส้นบังคับ]] (directrix) <math>x = \tfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}</math> นั้นเป็นอัตราส่วนคงตัว โดยค่าของอัตราส่วนเทียบเท่ากับ [[ความเยื้องศูนย์กลาง (คณิตศาสตร์)|ความเยื้องศูนย์กลาง]] <math>e = \tfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}</math> 

นอกจากนี้ ไฮเพอร์โบลาประกอบด้วย [[เส้นกำกับ]] (asymptote) สองเส้น โดยสมการเส้นกำกับคือ

: <math>\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0</math> และ <math>\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0</math>

ในกรณีเฉพาะเมื่อเส้นกำกับทั้งสองตั้งฉากกัน นั่นคือ a = b ไฮเพอร์โบลาจะเรียกเฉพาะเจาะจงว่า '''ไฮเพอร์โบลามุมฉาก''' (rectangular hyperbola)

กราฟของสมการแปรผกผัน {{Math|1={{mvar|xy}} = {{mvar|C}}}} ก็ถือเป็นไฮเพอร์โบลามุมฉากชนิดหนึ่ง

ไฮเพอร์โบลาสามารถทำเป็น[[สมการอิงตัวแปรเสริม]]โดยใช้[[ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก]]

: <math>
\begin{cases}
 x = \pm a \cosh t \\
 y = b \sinh t
\end{cases}
</math>

== ไฮเพอร์โบลาบนทรงกรวย ==
[[ไฟล์:Conic_sections_2.png|right|thumb|300x300px| ภาคตัดกรวย 4 ประเภท ([[พาราโบลา]], [[วงรี]], [[วงกลม]], ไฮเพอร์โบลา)]]
ไฮเพอร์โบลาคือขอบเขตของระนาบตัดของกรวยด้านขวาที่ตัดโดยระนาบที่ไม่ผ่านปลายยอดของกรวยด้านขวา แต่ตัดทั้งกรวยบนและล่างขวา

ให้ C<sub>e</sub> เป็น[[ภาคตัดกรวย]] ที่มี [[ความเยื้องศูนย์กลาง (คณิตศาสตร์)|ความเยื้องศูนย์กลาง]]เป็น e ในที่นี้ ถ้า e > 1 แล้ว C<sub>e</sub> จะกลายเป็นไฮเพอร์โบลา สมมติว่าเส้นบังคับคือ x = -f และหนึ่งในจุดโฟกัสคือ F(f ,0) สำหรับจุด P(x, y) ใด ๆ ของไฮเพอร์โบลา จะได้ว่า

: <math>e(x-f) = \mathrm{PF}</math>

โดย <math>\mathrm{PF} = \sqrt{(x-f)^2 + y^2}</math> ดังนั้น ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการข้างต้น และจัดรูปใหม่ได้เป็น

: <math>x^2 + 2 \left( \frac{e^2+1}{e^2-1} \right) fx - \frac{y^2}{e^2-1} = -f^2 </math>

จากนั้นจัดรูปใหม่[[การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์|ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์]]

: <math>\left(x+\left(\frac{e^2+1}{e^2-1}\right)f \right)^2 - \frac{y^2}{e^2-1} = \left(\frac{2e}{e^2-1}f \right)^2</math>

นี่เป็นรูปแบบพื้นฐานของไฮเพอร์โบลาบนทรงกรวย จากนั้นทำการแปลงเพิ่มเติม <math>X = x + \frac{e^2 + 1}{e^2-1} f</math>, Y= y แล้วจัดเรียงใหม่ให้เหมาะสมก็จะได้รูปสมการดังที่กล่าวข้างต้น

== อ้างอิง ==
* {{Cite book|last=田端毅|title=曲線の事典　性質・歴史・作図法|last2=讃岐勝|last3=礒田正美|date=2009-12-25|publisher=共立出版|isbn=978-4-320-01907-2|editor-last=礒田正美・Maria G. Bartolini Bussi 編|ref={{Harvid| |2009}}}}
* {{Cite book|last=中村滋|title=円錐曲線　歴史とその数理|date=2011-12-30|publisher=共立出版|isbn=978-4-320-01987-4|series=数学のかんどころ 7|ref={{Harvid|中村|2011}}|author-link=中村滋_(数学者)}}
[[หมวดหมู่:เส้นโค้ง]]
[[หมวดหมู่:ภาคตัดกรวย]]