ดูต้นฉบับสำหรับ ไซคลอยด์

[[ไฟล์:CycloidAnim04.gif|frame|ไซคลอยด์เกิดจากการกลิ้งล้อกลม]]
'''ไซคลอยด์''' ({{langx|en|cycloid}}) คือ[[เส้นโค้ง]]ชนิดหนึ่ง นิยามจากรอยเคลื่อนที่ของจุดจุดหนึ่งบนเส้นรอบ[[รูปวงกลม]] (ล้อกลม) ซึ่งรูปวงกลมนั้นกลิ้งไปตาม[[เส้นตรง]] ทำให้เกิดเส้นโค้งนูนเป็นลอนเป็นราย

ไซคลอยด์เป็นตัวอย่างหนึ่งของ[[รูเลตต์ (เส้นโค้ง)|รูเลตต์]] (roulette) ซึ่งเกิดจากกลิ้งล้อกลมบนเส้นโค้งอื่น และเป็นกรณีหนึ่งของ[[โทรคอยด์]] (trochoid) ซึ่งจุดไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นรอบรูปวงกลม

== สมการ ==
[[ไฟล์:Cycloid04.png|thumb|400px|ไซคลอยด์ที่สร้างขึ้นจากรูปวงกลมรัศมี ''r'' = 2 หน่วย]]
ไซคลอยด์ที่ลากผ่าน[[จุดกำเนิด]] ซึ่งสร้างขึ้นโดยรูปวงกลม[[รัศมี]] ''r'' ที่กลิ้งบนแกน x มีสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้
:<math>x = r (t - \sin t) \,</math>
:<math>y = r (1 - \cos t) \,</math>

เมื่อ ''t'' เป็น[[จำนวนจริง]] คือมุมในหน่วย[[เรเดียน]]ที่รูปวงกลมกลิ้งไป (บางครั้งอาจใช้ ''θ'' แทน ''t'')

เส้นโค้งชนิดนี้สามารถหา[[อนุพันธ์]]ได้ทุกตำแหน่งยกเว้น ''บัพแหลม'' (cusp) คือจุดที่สัมผัสกับแกน x ซึ่งอนุพันธ์จะกลายเป็น ∞ หรือ −∞ เมื่อเข้าใกล้จุดบัพแหลม ซึ่งตรงตาม[[สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ]]ดังนี้
:<math>\left (\frac{dy}{dx}\right) ^2 = \frac{2r-y}{y}</math>

== พื้นที่ใต้กราฟ ==
เนื่องจากไซคลอยด์หนึ่งรอบ ที่สร้างโดยรูปวงกลมรัศมี ''r'' จากสมการอิงตัวแปรเสริมด้านบน จะได้ค่าของตัวแปรเสริม ''t'' ที่มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]

และเนื่องจาก
:<math>\frac{dx}{dt} = r (1- \cos t) </math>

เราสามารถคำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟของไซคลอยด์หนึ่งรอบโดยการหา[[ปริพันธ์]]ดังนี้
:<math>\begin{align}
A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2 (1-\cos t) ^2 \, dt \\
&= \left. r^2 \left ( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\
&= 3 \pi r^2
\end{align}</math>

นั่นคือเท่ากับสามเท่าของพื้นที่ของรูปวงกลม

== ความยาวเส้นโค้ง ==
ความยาวของเส้นโค้งไซคลอยด์หนึ่งรอบ สามารถหาได้จากความยาวของส่วนย่อยๆ บนเส้นโค้ง ซึ่ง ''t'' มีค่าในช่วง [0, 2π]
:<math>\begin{align}
S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \left (\left (\frac{dy}{dt}\right) ^2+\left (\frac{dx}{dt}\right) ^2\right) ^{1/2} \, dt \\
&= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left (\frac{t}{2}\right) \, dt \\
&= 8r
\end{align}</math>

นั่นคือเท่ากับแปดเท่าของรัศมีของรูปวงกลม

== ดูเพิ่ม ==
* [[เอพิไซคลอยด์]] (epicycloid)
* [[ไฮโพไซคลอยด์]] (hypocycloid)
* [[โทรคอยด์]] (trochoid)
* [[เอพิโทรคอยด์]] (epitrochoid)
* [[ไฮโพโทรคอยด์]] (hypotrochoid)

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* {{MathWorld | urlname=Cycloid | title=Cycloid}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cycloids.shtml Cycloids] ที่ [[cut-the-knot]]

[[หมวดหมู่:เส้นโค้ง]]