ดูต้นฉบับสำหรับ แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์

[[ไฟล์:Radium_Kramer_Holst_1923.png|thumb|วงโคจรของเรเดียม (แผ่นปลายถึง <ref name=":0" />)]]

[[ไฟล์:Atombau_1922_p_364.png|thumb|อิเล็กตรอน 5 ตัวที่มีเลขควอนตัมหลักและเลขควอนตัมเสริมเท่ากัน โคจรไปพร้อมกัน (<ref name=":1" /> หน้า 364)]]

[[ไฟล์: Drawing_of_Sommerfeld_atom.svg|thumb|310px|ส่วนขยายของ ซอมเมอร์เฟลด์ ของระบบสุริยะปี ค.ศ. 1913 แบบจำลองของโปร์ของ[[อะตอมไฮโดรเจน]]ของโบร์ แสดงให้เห็นการเพิ่มวงโคจรรูปวงรีเพื่ออธิบายโครงสร้างละเอียดของสเปกตรัม]]

'''แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์''' (เรียกอีกอย่างว่า '''แบบจำลองซอมเมอร์เฟลด์''' หรือ '''ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์''') เป็นการขยายแบบจำลองของ [[นิลส์ โปร์]] เพื่อให้วงโคจรของอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียสของอะตอมเป็นวงรีได้ ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวเดนมาร์ก [[นิลส์ โปร์]] และนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน [[อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์]] ซอมเมอร์เฟลด์ให้เหตุผลว่าหากวงโคจรของอิเล็กตรอนสามารถเป็น [[วงรี]] แทนจะเป็นวงกลม พลังงานของอิเล็กตรอนก็จะเท่ากัน ยกเว้นในกรณีที่มีสนามแม่เหล็ก ซึ่งนำไปสู่สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่า[[การเสื่อมของควอนตัม]]

แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์เพิ่มเงื่อนไขของโมเมนตัมเชิงมุมควอนตาในแบบจำลองของโปร์ โดยเพิ่มการควอนตาเชิงรัศมี (เงื่อนไขที่เสนอโดย [[วิลเลียม วิลสัน]] เป็นที่รู้จักในชื่อเงื่อนไขการควอนตาแบบวิลสัน-ซอมเมอร์เฟลด์) :

: <math>
\int_0^T p_r \, dq_r = n h,
</math>

โดยที่ ''p<sub>r</sub>'' คือโมเมนตัมเชิงรัศมีที่สอดคล้องกับพิกัด ''q'' ซึ่งเป็นตำแหน่งตามแนวรัศมี และ ''T'' คือช่วงเวลาเต็มของหนึ่งวงโคจร การอินทิเกรตนี้คือ [[การกระทำ (ฟิสิกส์)|การกระทำ]] ของ [[พิกัดการกระทำ-มุม]] เงื่อนไขนี้ซึ่งแนะนำโดย[[หลักการโต้ตอบ]]เป็นเพียงเงื่อนไขเดียวที่เป็นไปได้ เนื่องจากเลขควอนตัมเป็น[[ค่าคงที่อะเดียแบติก]]

== ประวัติศาสตร์ ==
{{main article|ทฤษฎีควอนตัมเก่า}}
ในปี ค.ศ. 1913 นิลส์ โบร์ ได้แสดงพื้นฐานของหลักการที่ภายหลังถูกนิยามเป็น [[หลักการโต้ตอบ]] และใช้มันในการสร้าง [[แบบจำลองบอร์|แบบจำลอง]] ของ [[อะตอมไฮโดรเจน]] ซึ่งอธิบายถึง [[สเปกตรัมการแผ่รังสีของอะตอม|สเปกตรัมเส้น]] ในอีกไม่กี่ปีถัดมา อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ได้ขยายกฎควอนตัมไปยังระบบที่สามารถแยกแยะได้ โดยใช้หลักการของ [[อะเดียแบติกไม่แปรเปลี่ยน|การไม่เปลี่ยนแปลงของปริมาณอดิอาบาติก]] ที่แนะนำโดย [[เฮนดริก ลอเรนซ์]] และ [[อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์]] ซอมเมอร์เฟลด์ได้มีบทบาทสำคัญ<ref name="Sommerfeld">{{cite book|first=Arnold |last= Sommerfeld|title=Atombau und Spektrallinien'|  publisher=Friedrich Vieweg und Sohn|location=Braunschweig|year=1919|isbn=978-3-87144-484-5}}</ref> โดยการทำให้ ''z''-component ของ [[โมเมนตัมเชิงมุม]] ถูกควอนตัม ซึ่งในยุคควอนตัมเก่าถูกเรียกว่า "ควอนตัมเชิงทิศทาง" (เยอรมัน: ''Richtungsquantelung'') สิ่งนี้ทำให้วงโคจรของอิเล็กตรอนเป็นรูปวงรีแทนที่จะเป็นวงกลม และแนะนำแนวคิดของการสลายตัวทางควอนตัม ทฤษฎีนี้จะอธิบาย [[ปรากฏการณ์เซมัน]] ได้อย่างถูกต้อง ยกเว้นในเรื่องของ [[สปิน (ฟิสิกส์)|สปิน]] ซอมเมอร์เฟลด์ได้สร้างแบบจำลองที่ใกล้เคียงกับภาพควอนตัมกลศาสตร์สมัยใหม่มากกว่าแบบจำลองของบอร์

ในทศวรรษ ค.ศ. 1950 [[โจเซฟ เคลเลอร์]] ได้ปรับปรุงการควอนตัมแบบ โบร์-ซอมเมอร์เฟลด์ โดยใช้การตีความของไอน์สไตน์ในปี ค.ศ. 1917<ref>The Collected Papers of Albert Einstein, vol. 6, A. Engel, trans., Princeton U. Press,
Princeton, NJ (1997), p. 434</ref> ซึ่งปัจจุบันเป็นที่รู้จักในชื่อ [[วิธีการไอน์สไตน์–บริลลูอิน–เคลเลอร์]] ในปี ค.ศ. 1971 [[มาร์ติน กัตซ์วิลเลอร์]] ได้พิจารณาว่าวิธีการนี้ใช้ได้เฉพาะกับระบบที่สามารถแยกแยะได้เท่านั้น และได้พัฒนาวิธีการควอนตัมแบบกึ่งคลาสสิกสำหรับ [[ความโกลาหลของควอนตัม]] จาก [[การกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทาง]]<ref>{{cite journal|title=Einstein's unknown insight and the problem of quantizing chaos|author=Stone, A.D.|journal=Physics Today|date=August 2005|volume=58|number=8|pages=37–43|url=https://www.eng.yale.edu/stonegroup/publications/phys_today.pdf|doi=10.1063/1.2062917|bibcode = 2005PhT....58h..37S }}</ref>

== การทำนาย ==
แบบจำลองของซอมเมอร์เฟลด์ได้ทำนายว่าค่าของโมเมนต์แม่เหล็กของอะตอมที่วัดตามแกนจะมีค่าเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งดูเหมือนจะขัดแย้งกับสมมาตรเชิงการหมุน แต่ได้รับการยืนยันจากการทดลอง [[การทดลองสเติร์น–เกอร์ลาช]] นี่เป็นก้าวสำคัญในการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม นอกจากนี้ยังอธิบายถึงความเป็นไปได้ที่ [[ระดับพลังงาน]] ของอะตอมจะแตกออกเนื่องจาก [[สนามแม่เหล็ก]] (เรียกว่า ผลซีแมน) [[Walther Kossel|วอลเธอร์ คอสเซล]] ได้ร่วมงานกับโปร์และซอมเมอร์เฟลด์ในแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ของอะตอม โดยแนะนำอิเล็กตรอนสองตัวในชั้นแรกและแปดตัวในชั้นที่สอง<ref>{{cite journal | jstor=228422 | title=The Kossel-Sommerfeld Theory and the Ring Atom | last1=Heilbron | first1=John L. | journal=Isis | year=1967 | volume=58 | issue=4 | pages=450–485 | doi=10.1086/350299 | s2cid=144639796 }}</ref>

== ปัญหา ==
แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์มีความไม่สอดคล้องกันโดยพื้นฐานและนำไปสู่พาราดอกซ์หลายประการ [[เลขควอนตัมแม่เหล็ก]] วัดการเอียงของระนาบออร์บิทัลสัมพันธ์กับระนาบ ''xy'' ซึ่งสามารถรับค่าได้เพียงไม่กี่ค่าที่แยกจากกัน ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ชัดเจนว่าอะตอมสามารถหมุนไปในทิศทางต่าง ๆ ตามพิกัดได้โดยไม่มีข้อจำกัด ซอมเมอร์เฟลด์ควอนตัมสามารถทำได้ในพิกัดแคนอนิคัลที่แตกต่างกันและบางครั้งให้คำตอบที่แตกต่างกัน การรวมการแก้ไขจากการแผ่รังสีเป็นเรื่องยาก เนื่องจากต้องการการหาพิกัดแอ็คชัน-มุมสำหรับระบบแผ่รังสี/อะตอมที่รวมกัน ซึ่งเป็นเรื่องยากเมื่อการแผ่รังสีสามารถหลุดออกไปได้ ทฤษฎีทั้งหมดไม่ขยายไปสู่การเคลื่อนที่ที่ไม่สามารถรวมได้ ซึ่งหมายความว่าหลายระบบไม่สามารถได้รับการพิจารณาแม้แต่ในหลักการ ในที่สุด แบบจำลองนี้ก็ถูกแทนที่ด้วยการปฏิบัติที่เป็นกลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ของอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งครั้งแรกถูกเสนอโดย [[ว็อล์ฟกัง เพาลี]] ในปี ค.ศ. 1925 โดยใช้ [[กลศาสตร์เมทริกซ์|กลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์ก]] ภาพปัจจุบันของอะตอมไฮโดรเจนอิงจาก [[วงโคจรอะตอม]] ของ [[สมการชเรอดิงเงอร์]] ซึ่ง [[แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์]] พัฒนาขึ้นในปี 1926

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ไม่มีความสำเร็จ การคำนวณที่อิงจากแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์สามารถอธิบายปรากฏการณ์สเปกตรัมอะตอมที่ซับซ้อนได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น ถึงการเบี่ยงเบนลำดับแรก [[ทฤษฎีการรบกวน]] แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมทำการคาดการณ์ที่เหมือนกันสำหรับการแยกบรรทัดสเปกตรัมใน [[เอฟเฟกต์สตาร์ค]] อย่างไรก็ตาม ในการเบี่ยงเบนลำดับที่สูงขึ้น แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมมีความแตกต่างกัน และการวัดผลสตาร์กภายใต้ความแรงของสนามสูงช่วยยืนยันความถูกต้องของกลศาสตร์ควอนตัมเหนือแบบจำลองโปร์ ทฤษฎีที่ครอบงำเบื้องหลังความแตกต่างนี้อยู่ที่รูปทรงของวงโคจรของอิเล็กตรอน ซึ่งแตกต่างกันไปตามสถานะพลังงานของอิเล็กตรอน

เงื่อนไขการควอนตัมของโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์นำไปสู่คำถามในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เงื่อนไขการควอนตัมเชิงเซมิคลาสสิคที่สอดคล้องกันต้องการโครงสร้างประเภทหนึ่งบนพื้นที่เฟส ซึ่งกำหนดข้อจำกัดทางทอพอโลยีเกี่ยวกับประเภทของมานิโฟลด์ซิมเพลติกที่สามารถควอนตัมได้ โดยเฉพาะ รูปแบบซิมเพลติกควรเป็น [[รูปทรงโค้ง]] ของ [[การเชื่อมต่อ (คณิตศาสตร์)|การเชื่อมต่อ]] ของ [[ชาร์ลส์ เฮอร์ไมต์]] [[Line bundle|มัดเส้นตรง]], ซึ่งเรียกว่า [[การหาปริมาณเชิงเรขาคณิต|การหาปริมาตรล่วงหน้า]]

== การโคจรสัมพัทธภาพ ==

[[File:Fig_27_Kramer_Holst_1923_01.png|thumb|วงโคจรของอะตอมไฮโดรเจน การกระโดดจาก 3<sub>1</sub>, 3<sub>2</sub>, 3<sub>3</sub> ไปยัง 2<sub>2</sub> ทุกตัวสร้างเส้นสเปกตรัมบาลเมอร์ H<sub>α</sub> แต่แตกต่างกันที่โครงสร้างละเอียดแต่แตกต่างกันที่โครงสร้างละเอียด<ref>{{Cite journal |last=Bohr |first=N. |date=July 1923 |title=The Structure of the Atom |url=https://www.nature.com/articles/112029a0 |journal=Nature |language=en |volume=112 |issue=2801 |pages=29–44 |doi=10.1038/112029a0 |issn=1476-4687}}</ref> (รูปที่ 27 <ref name=":0">{{Cite book |last=Kramers |first=Hendrik Anthony |url=http://archive.org/details/atombohrtheoryof00kram |title=The atom and the Bohr theory of its structure : an elementary presentation |date=1923 |publisher=New York : A.A. Knopf |others=MIT Libraries}}</ref>)]]

[[File:Sommerfeld ellipses.svg|thumb|วงโคจรแบบวงรีที่มีพลังงานและโมเมนตัมเชิงมุมที่ควอนตัมเหมือนกัน]]

{{See also|หลักการกีดกันของเพาลี}}

อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ได้พัฒนาวิธีการแก้ปัญหาสัมพัทธภาพของระดับพลังงานอะตอม<ref name="Sommerfeld" /> การเริ่มต้นการพัฒนานี้<ref>https://archive.org/details/atombauundspekt00sommgoog/page/n541 - Atombau und Spektrallinien, 1921, page 520</ref> ด้วยสมการสัมพัทธภาพสำหรับพลังงานใน [[ศักย์ไฟฟ้า]]

:<math>W={m_\mathrm{0} c^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) - k \frac{Z e^2}{r}</math>

หลังจากการแทนที่ <math>u = \frac{1}{r}</math> เราจะได้

:<math>\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{W}{m_\mathrm{0} c^2} + k \frac{Z e^2}{m_\mathrm{0} c^2} u</math>

สำหรับโมเมนตัม <math>p_\mathrm{r} = m \dot{r}</math>, <math>p_\mathrm{\varphi} = m r^2 \dot{\varphi}</math> และอัตราส่วนของ<math>\frac{p_\mathrm{r}}{p_\mathrm{\varphi}} = - \frac{du}{d \varphi}</math> สมการการเคลื่อนที่คือ (ดู [[สมการบิเนต์]])

:<math>\frac{d^2 u}{d \varphi ^2} = - \left( 1 - k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 p_\mathrm{\varphi}^2} \right) u + \frac{m_\mathrm{0} kZe^2}{p_\mathrm{\varphi}^2} \left( 1+\frac{W}{m_\mathrm{0} c^2} \right) = - \omega_\mathrm{0}^2 u + K </math>

โดยมีคำตอบเป็น

:<math> u = \frac{1}{r} = K + A \cos \omega_\mathrm{0} \varphi </math>

การเคลื่อนที่มุมของ [[จุดใกล้และไกลที่สุด]] ต่อการหมุนรอบหนึ่งรอบคือ

:<math> \varphi_\mathrm{s} = 2 \pi \left(\frac{1}{\omega_\mathrm{0}} - 1\right) \approx 4 \pi^3 k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 n_\mathrm{\varphi}^2 h^2} </math>

โดยใช้เงื่อนไขควอนตัม

:<math> \oint p_\mathrm{\varphi} \, d \varphi = 2 \pi p_\mathrm{\varphi} = n_\mathrm{\varphi} h</math>

และ

:<math> \oint p_\mathrm{r} \, d r = p_\mathrm{\varphi} \oint \left( \frac{1}{r} \frac{dr}{d \varphi} \right)^2 \, d \varphi = n_\mathrm{r} h</math>

เราจะได้รับพลังงาน

:<math> \frac{W}{m_\mathrm{0} c^2} = \left( 1 + \frac{\alpha ^2 Z^2}{\left(n_\mathrm{r} + \sqrt{n_\mathrm{\varphi} ^2 - \alpha ^2 Z^2} \right)^2} \right) ^{-1/2} - 1</math>

โดยที่ <math>\alpha</math> คือ [[ค่าคงที่โครงสร้างละเอียด]] คำตอบนี้ (โดยใช้ [[การแทนที่ (พีชคณิต)|การแทนที่]]สำหรับตัวเลขควอนตัม) เป็นไปได้เทียบเท่ากับคำตอบของ [[สมการของดิแรก]]<ref name="Granovski">{{cite journal|author=Ya I Granovski |url=http://www.iop.org/EJ/article/1063-7869/47/5/L06/PHU_47_5_L06.pdf |title=Sommerfeld formula and Dirac's theory |journal=Physics-Uspekhi |volume=47 |issue=5 |pages=523&ndash;524 |year=2004|doi=10.1070/PU2004v047n05ABEH001885|bibcode = 2004PhyU...47..523G |s2cid=250900220 }}</ref> อย่างไรก็ตาม คำตอบทั้งสองนี้ล้มเหลวในการคาดการณ์ [[การเลื่อนแลมบ์]]

== ดูเพิ่ม ==

{{คอมมอนส์-หมวดหมู่|Bohr–Sommerfeld model}}

* [[แบบจำลองของโปร์]]
* [[ทฤษฎีควอนตัมเก่า]]

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

{{DEFAULTSORT:แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์}}
[[หมวดหมู่:ฟิสิกส์อะตอม]]
[[หมวดหมู่:ฟิสิกส์ไฮโดรเจน]]
[[หมวดหมู่:ฟิสิกส์ควอนตัมพื้นฐาน]]
[[หมวดหมู่:ประวัติศาสตร์ฟิสิกส์]]
[[หมวดหมู่:นิลส์ โปร์]]
[[หมวดหมู่:อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีควอนตัมเก่า]]

{{โครงวิทยาศาสตร์}}