แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์

วงโคจรของเรเดียม (แผ่นปลายถึง )

อิเล็กตรอน 5 ตัวที่มีเลขควอนตัมหลักและเลขควอนตัมเสริมเท่ากัน โคจรไปพร้อมกัน ( หน้า 364)

ส่วนขยายของ ซอมเมอร์เฟลด์ ของระบบสุริยะปี ค.ศ. 1913 แบบจำลองของโปร์ของอะตอมไฮโดรเจนของโบร์ แสดงให้เห็นการเพิ่มวงโคจรรูปวงรีเพื่ออธิบายโครงสร้างละเอียดของสเปกตรัม

แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์ (เรียกอีกอย่างว่า แบบจำลองซอมเมอร์เฟลด์ หรือ ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์) เป็นการขยายแบบจำลองของ นิลส์ โปร์ เพื่อให้วงโคจรของอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียสของอะตอมเป็นวงรีได้ ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวเดนมาร์ก นิลส์ โปร์ และนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ให้เหตุผลว่าหากวงโคจรของอิเล็กตรอนสามารถเป็น วงรี แทนจะเป็นวงกลม พลังงานของอิเล็กตรอนก็จะเท่ากัน ยกเว้นในกรณีที่มีสนามแม่เหล็ก ซึ่งนำไปสู่สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าการเสื่อมของควอนตัม

แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์เพิ่มเงื่อนไขของโมเมนตัมเชิงมุมควอนตาในแบบจำลองของโปร์ โดยเพิ่มการควอนตาเชิงรัศมี (เงื่อนไขที่เสนอโดย วิลเลียม วิลสัน เป็นที่รู้จักในชื่อเงื่อนไขการควอนตาแบบวิลสัน-ซอมเมอร์เฟลด์) :

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}{p}_{r}d{q}_r=nh,$

โดยที่ p_r คือโมเมนตัมเชิงรัศมีที่สอดคล้องกับพิกัด q ซึ่งเป็นตำแหน่งตามแนวรัศมี และ T คือช่วงเวลาเต็มของหนึ่งวงโคจร การอินทิเกรตนี้คือ การกระทำ ของ พิกัดการกระทำ-มุม เงื่อนไขนี้ซึ่งแนะนำโดยหลักการโต้ตอบเป็นเพียงเงื่อนไขเดียวที่เป็นไปได้ เนื่องจากเลขควอนตัมเป็นค่าคงที่อะเดียแบติก

ประวัติศาสตร์

แม่แบบ:Main article ในปี ค.ศ. 1913 นิลส์ โบร์ ได้แสดงพื้นฐานของหลักการที่ภายหลังถูกนิยามเป็น หลักการโต้ตอบ และใช้มันในการสร้าง แบบจำลอง ของ อะตอมไฮโดรเจน ซึ่งอธิบายถึง สเปกตรัมเส้น ในอีกไม่กี่ปีถัดมา อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ได้ขยายกฎควอนตัมไปยังระบบที่สามารถแยกแยะได้ โดยใช้หลักการของ การไม่เปลี่ยนแปลงของปริมาณอดิอาบาติก ที่แนะนำโดย เฮนดริก ลอเรนซ์ และ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ซอมเมอร์เฟลด์ได้มีบทบาทสำคัญ โดยการทำให้ z-component ของ โมเมนตัมเชิงมุม ถูกควอนตัม ซึ่งในยุคควอนตัมเก่าถูกเรียกว่า "ควอนตัมเชิงทิศทาง" (เยอรมัน: Richtungsquantelung) สิ่งนี้ทำให้วงโคจรของอิเล็กตรอนเป็นรูปวงรีแทนที่จะเป็นวงกลม และแนะนำแนวคิดของการสลายตัวทางควอนตัม ทฤษฎีนี้จะอธิบาย ปรากฏการณ์เซมัน ได้อย่างถูกต้อง ยกเว้นในเรื่องของ สปิน ซอมเมอร์เฟลด์ได้สร้างแบบจำลองที่ใกล้เคียงกับภาพควอนตัมกลศาสตร์สมัยใหม่มากกว่าแบบจำลองของบอร์

ในทศวรรษ ค.ศ. 1950 โจเซฟ เคลเลอร์ ได้ปรับปรุงการควอนตัมแบบ โบร์-ซอมเมอร์เฟลด์ โดยใช้การตีความของไอน์สไตน์ในปี ค.ศ. 1917 ซึ่งปัจจุบันเป็นที่รู้จักในชื่อ วิธีการไอน์สไตน์–บริลลูอิน–เคลเลอร์ ในปี ค.ศ. 1971 มาร์ติน กัตซ์วิลเลอร์ ได้พิจารณาว่าวิธีการนี้ใช้ได้เฉพาะกับระบบที่สามารถแยกแยะได้เท่านั้น และได้พัฒนาวิธีการควอนตัมแบบกึ่งคลาสสิกสำหรับ ความโกลาหลของควอนตัม จาก การกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทาง

การทำนาย

แบบจำลองของซอมเมอร์เฟลด์ได้ทำนายว่าค่าของโมเมนต์แม่เหล็กของอะตอมที่วัดตามแกนจะมีค่าเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งดูเหมือนจะขัดแย้งกับสมมาตรเชิงการหมุน แต่ได้รับการยืนยันจากการทดลอง การทดลองสเติร์น–เกอร์ลาช นี่เป็นก้าวสำคัญในการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม นอกจากนี้ยังอธิบายถึงความเป็นไปได้ที่ ระดับพลังงาน ของอะตอมจะแตกออกเนื่องจาก สนามแม่เหล็ก (เรียกว่า ผลซีแมน) วอลเธอร์ คอสเซล ได้ร่วมงานกับโปร์และซอมเมอร์เฟลด์ในแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ของอะตอม โดยแนะนำอิเล็กตรอนสองตัวในชั้นแรกและแปดตัวในชั้นที่สอง

ปัญหา

แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์มีความไม่สอดคล้องกันโดยพื้นฐานและนำไปสู่พาราดอกซ์หลายประการ เลขควอนตัมแม่เหล็ก วัดการเอียงของระนาบออร์บิทัลสัมพันธ์กับระนาบ xy ซึ่งสามารถรับค่าได้เพียงไม่กี่ค่าที่แยกจากกัน ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ชัดเจนว่าอะตอมสามารถหมุนไปในทิศทางต่าง ๆ ตามพิกัดได้โดยไม่มีข้อจำกัด ซอมเมอร์เฟลด์ควอนตัมสามารถทำได้ในพิกัดแคนอนิคัลที่แตกต่างกันและบางครั้งให้คำตอบที่แตกต่างกัน การรวมการแก้ไขจากการแผ่รังสีเป็นเรื่องยาก เนื่องจากต้องการการหาพิกัดแอ็คชัน-มุมสำหรับระบบแผ่รังสี/อะตอมที่รวมกัน ซึ่งเป็นเรื่องยากเมื่อการแผ่รังสีสามารถหลุดออกไปได้ ทฤษฎีทั้งหมดไม่ขยายไปสู่การเคลื่อนที่ที่ไม่สามารถรวมได้ ซึ่งหมายความว่าหลายระบบไม่สามารถได้รับการพิจารณาแม้แต่ในหลักการ ในที่สุด แบบจำลองนี้ก็ถูกแทนที่ด้วยการปฏิบัติที่เป็นกลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ของอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งครั้งแรกถูกเสนอโดย ว็อล์ฟกัง เพาลี ในปี ค.ศ. 1925 โดยใช้ กลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์ก ภาพปัจจุบันของอะตอมไฮโดรเจนอิงจาก วงโคจรอะตอม ของ สมการชเรอดิงเงอร์ ซึ่ง แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ พัฒนาขึ้นในปี 1926

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ไม่มีความสำเร็จ การคำนวณที่อิงจากแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์สามารถอธิบายปรากฏการณ์สเปกตรัมอะตอมที่ซับซ้อนได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น ถึงการเบี่ยงเบนลำดับแรก ทฤษฎีการรบกวน แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมทำการคาดการณ์ที่เหมือนกันสำหรับการแยกบรรทัดสเปกตรัมใน เอฟเฟกต์สตาร์ค อย่างไรก็ตาม ในการเบี่ยงเบนลำดับที่สูงขึ้น แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมมีความแตกต่างกัน และการวัดผลสตาร์กภายใต้ความแรงของสนามสูงช่วยยืนยันความถูกต้องของกลศาสตร์ควอนตัมเหนือแบบจำลองโปร์ ทฤษฎีที่ครอบงำเบื้องหลังความแตกต่างนี้อยู่ที่รูปทรงของวงโคจรของอิเล็กตรอน ซึ่งแตกต่างกันไปตามสถานะพลังงานของอิเล็กตรอน

เงื่อนไขการควอนตัมของโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์นำไปสู่คำถามในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เงื่อนไขการควอนตัมเชิงเซมิคลาสสิคที่สอดคล้องกันต้องการโครงสร้างประเภทหนึ่งบนพื้นที่เฟส ซึ่งกำหนดข้อจำกัดทางทอพอโลยีเกี่ยวกับประเภทของมานิโฟลด์ซิมเพลติกที่สามารถควอนตัมได้ โดยเฉพาะ รูปแบบซิมเพลติกควรเป็น รูปทรงโค้ง ของ การเชื่อมต่อ ของ ชาร์ลส์ เฮอร์ไมต์ มัดเส้นตรง, ซึ่งเรียกว่า การหาปริมาตรล่วงหน้า

การโคจรสัมพัทธภาพ

วงโคจรของอะตอมไฮโดรเจน การกระโดดจาก 3₁, 3₂, 3₃ ไปยัง 2₂ ทุกตัวสร้างเส้นสเปกตรัมบาลเมอร์ H_α แต่แตกต่างกันที่โครงสร้างละเอียดแต่แตกต่างกันที่โครงสร้างละเอียด (รูปที่ 27 )

วงโคจรแบบวงรีที่มีพลังงานและโมเมนตัมเชิงมุมที่ควอนตัมเหมือนกัน

อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ได้พัฒนาวิธีการแก้ปัญหาสัมพัทธภาพของระดับพลังงานอะตอม การเริ่มต้นการพัฒนานี้ ด้วยสมการสัมพัทธภาพสำหรับพลังงานใน ศักย์ไฟฟ้า

$W=m_{\mathrm{0}}{c}^2(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)-k\frac{Z{e}^2}{r}$

หลังจากการแทนที่ $u=\frac{1}{r}$ เราจะได้

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=1+\frac{W}{m_{\mathrm{0}}{c}^2}+k\frac{Z{e}^2}{m_{\mathrm{0}}{c}^2}u$

สำหรับโมเมนตัม $p_{\mathrm{r}}=m\dot{r}$, $p_{\mathrm{\phi }}=m{r}^2\dot{\phi }$ และอัตราส่วนของ$\frac{p_{\mathrm{r}}}{p_{\mathrm{\phi }}}=-\frac{du}{d\phi }$ สมการการเคลื่อนที่คือ (ดู สมการบิเนต์)

$\frac{d^{2}u}{d{\phi }^2}=-(1-k^2\frac{Z^2{e}^4}{c^2{p}_{\mathrm{\phi }}^2})u+\frac{m_{\mathrm{0}}kZ{e}^2}{p_{\mathrm{\phi }}^2}(1+\frac{W}{m_{\mathrm{0}}{c}^2})=-{\omega }_{\mathrm{0}}^{2}u+K$

โดยมีคำตอบเป็น

$u=\frac{1}{r}=K+A\cos {\omega }_{\mathrm{0}}\phi$

การเคลื่อนที่มุมของ จุดใกล้และไกลที่สุด ต่อการหมุนรอบหนึ่งรอบคือ

${\phi }_{\mathrm{s}}=2\pi (\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{0}}}-1)\approx 4{\pi }^3{k}^2\frac{Z^2{e}^4}{c^2{n}_{\mathrm{\phi }}^2{h}^2}$

โดยใช้เงื่อนไขควอนตัม

$\oint p_{\mathrm{\phi }}d\phi =2\pi p_{\mathrm{\phi }}=n_{\mathrm{\phi }}h$

และ

$\oint p_{\mathrm{r}}dr=p_{\mathrm{\phi }}\oint {\left(\frac{1}{r}\frac{dr}{d\phi }\right)}^{2}d\phi =n_{\mathrm{r}}h$

เราจะได้รับพลังงาน

$\frac{W}{m_{\mathrm{0}}{c}^2}={(1+\frac{{\alpha }^2{Z}^2}{{(n_{\mathrm{r}}+\sqrt{n_{\mathrm{\phi }}^2-{\alpha }^2{Z}^2})}^2})}^{-1/2}-1$

โดยที่ $\alpha$ คือ ค่าคงที่โครงสร้างละเอียด คำตอบนี้ (โดยใช้ การแทนที่สำหรับตัวเลขควอนตัม) เป็นไปได้เทียบเท่ากับคำตอบของ สมการของดิแรก อย่างไรก็ตาม คำตอบทั้งสองนี้ล้มเหลวในการคาดการณ์ การเลื่อนแลมบ์

ดูเพิ่ม

• แบบจำลองของโปร์
• ทฤษฎีควอนตัมเก่า