ดูต้นฉบับสำหรับ เคิร์ล


ใน[[แคลคูลัสเวกเตอร์]] '''เคิร์ล''' ({{langx|en|curl}}) เป็น[[ตัวดำเนินการเวกเตอร์]]ที่อธิบายการ[[การหมุน|หมุน]]ของ[[สนามเวกเตอร์]] ในสามมิติ เคิร์ลที่แต่ละจุดในสนามเวกเตอร์จะเป็น[[เวกเตอร์]]ซึ่งความยาวและทิศทางแสดงถึงลักษณะการหมุนที่จุดนั้น 

ทิศทางของเคิร์ลคือแกนของการหมุนตามที่กำหนดโดย[[Right-hand rule|กฎมือขวา]] และขนาดของเคิร์ลคือขนาดของการหมุน เช่น ถ้าสนามเวกเตอร์แทน[[ความเร็วการไหล]]ของ[[ของไหล]]ที่กำลังเคลื่อนที่ แล้วเคิร์ลจะเป็น '''ความหนาแน่นของการไหลเวียน''' ของของไหล สนามเวกเตอร์ที่เคิร์ลเป็นศูนย์เรียกว่า[[Conservative vector field|สนามไร้การหมุน]] (irrotational) เคิร์ลเป็นการหาอนุพันธ์รูปแบบหนึ่งสำหรับสนามเวกเตอร์ และทฤษฎีบทที่สอดคล้องกับ[[ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส|ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส]]สำหรับเคิร์ลคือ [[ทฤษฎีบทของสโตกส์]] ซึ่งเชื่อมโยง[[ปริพันธ์ตามผิว]]ของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์กับ[[ปริพันธ์ตามเส้น]]ของสนามเวกเตอร์รอบเส้นโค้งขอบเขตของพื้นผิวนั้น 

สัญกรณ์ของเคิร์ล เขียนเป็น {{math|curl '''F'''}} หรือ {{math|∇ × '''F'''}} ซึ่งใช้ตัวดำเนินการ[[เดล(สัญลักษณ์)|เดล]]และ[[ผลคูณไขว้]] บางครั้งอาจเรียกเคิร์ลว่า ''โรเตชัน'' (rotation) หรือ ''โรเตชันนอล'' (rotational) เขียนเป็นสัญกรณ์ว่า {{math|rot '''F'''}} 

เคิร์ลแตกต่างจากตัวดำเนินการ[[เกรเดียนต์]]และ[[ไดเวอร์เจนซ์]] เนื่องจากวางนัยทั่วไปไปยังมิติอื่น ๆ ได้ยากกว่า มีการวางนัยทั่วไปอยู่หลายวิธี แต่จะมีเพียงในสามมิติเท่านั้นที่เคิร์ลของสนามเวกเตอร์จะยังได้ผลลัพธ์เป็นสนามเวกเตอร์เหมือนเดิม ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับ [[ผลคูณไขว้]] ซึ่งนิยามในสามมิติและขยายไปใช้ในมิติอื่นได้ยากเช่นเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้สะท้อนในสัญกรณ์ ∇× สำหรับเคิร์ล 

ชื่อ "เคิร์ล" เสนอเป็นครั้งแรกโดย [[เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์]] ใน ค.ศ. 1871 <ref>[http://www.clerkmaxwellfoundation.org/MathematicalClassificationofPhysicalQuantities_Maxwell.pdf Proceedings of the London Mathematical Society, March 9th, 1871]</ref> แต่แนวคิดนี้มีการใช้งานตั้งแต่ ค.ศ. 1839 ในทฤษฎีสนามเชิงแสงของเจมส์ แมกคัลลัค <ref>[[iarchive:collectedworks00maccuoft|Collected works of James MacCullagh]]</ref> 
[[ไฟล์:Curl.svg|thumb|300x300px| องค์ประกอบของ '''{{math|'''F'''}}''' ที่ตำแหน่ง '''{{math|'''r'''}}''' ในทิศปกติและทิศสัมผัสกับเส้นโค้งปิด {{math|''C''}} ในระนาบแบน ที่ล้อมรอบ[[พื้นที่เชิงเวกเตอร์]] {{math|'''A''' {{=}} ''A'''''n̂'''}} ]]

== นิยาม ==
เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ {{math|'''F'''}} (แทนด้วย {{math|curl '''F'''}} หรือ {{math|∇ × '''F'''}} หรือ {{math|rot '''F'''}}) ที่จุดหนึ่ง ๆ นิยามจากภาพฉายของมันลงบนเส้นต่าง ๆ ที่ผ่านจุดนั้น ถ้า {{math|'''n̂'''}} เป็น[[เวกเตอร์หนึ่งหน่วย]]ใด ๆ ภาพฉายของเคิร์ลของ {{math|'''F'''}} ไปบน {{math|'''n̂'''}} นิยามโดยลิมิตของ[[ปริพันธ์ตามเส้น|ปริพันธ์ตามเส้นปิด]]ในระนาบที่ตั้งฉากกับ n̂ หารด้วยพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ เมื่อเส้นทางการหาปริพันธ์ลดขนาดลงสู่จุด 

ตัวดำเนินการเคิร์ลส่งฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง {{math|''f'' : ℝ<sup>3</sup> → ℝ<sup>3</sup>}} ให้ได้ฟังก์ชันต่อเนื่อง {{math|ℝ<sup>3</sup> → ℝ<sup>3</sup>}} และโดยทั่วไปแล้วจะแปลงฟังก์ชัน <span typeof="mw:Transclusion" data-mw="{<nowiki>&</nowiki>quot;parts<nowiki>&</nowiki>quot;:<nowiki>[{&quot;template&quot;:{&quot;target&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;math&quot;,&quot;href&quot;:&quot;./Template:Math&quot;},&quot;params&quot;:{&quot;1&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;''C<sup>k</sup>''&quot;}},&quot;i&quot;:0}}]</nowiki>}" about="#mwt974625047" class="texhtml" data-ve-no-generated-contents="true">{{math|''C''<sup>''k''</sup>}}ใน {{math|ℝ<sup>3</sup>}} เป็นฟังก์ชัน {{math|''C''<sup>''k''−1</sup>}} ใน {{math|ℝ<sup>3</sup>}} 
[[ไฟล์:Curlorient.svg|right|thumb|200x200px| แบบแผนสำหรับการวางแนวเวกเตอร์ของปริพันธ์ตามเส้น ]]
โดยปริยาย นิยามของเคิร์ล เขียนเป็นสมการได้เป็น <ref>Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, </ref> <ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{ISBN|978-0-07-161545-7}}</ref>

<math>(\nabla \times \mathbf{F})(p) \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0}\left( \frac{1}{|A|}\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\right)\mathbf{\hat{n}}</math> 

โดยที่ {{math|∮<sub>''C''</sub> '''F''' ⋅ ''d'''''r'''}} คือ [[อินทิกรัลตามเส้น]] ตามขอบเขตของ[[พื้นที่]]รอบจุดและ {{math|{{abs|''A''}}}} คือขนาดของพื้นที่ ถ้า {{math|'''n̂'''}} เป็น[[เวกเตอร์หนึ่งหน่วย]]ที่ตั้งฉากกับระนาบ  และ {{math|'''v̂'''}} เป็นเวกเตอร์ปกติที่ในระนาบที่ชี้ออกไปด้านนอกพื้นที่ (ดูภาพขวา) แล้ว ทิศทางของ ''{{mvar|C}}'' จะเลือกให้[[เวกเตอร์สัมผัส]] {{math|'''ω̂'''}} ของ C ทำให้ {{math|{'''n̂''','''ν̂''','''ω̂'''<nowiki>}</nowiki>}} เป็นชุดเวกเตอร์ที่เป็นไปตาม[[กฎมือขวา]] 

== การใช้งาน ==
ในทางปฏิบัติ นิยามข้างต้นไม่ค่อยได้ใช้เพราะในเกือบทุกกรณี [[ตัวดำเนินการ]]เคิร์ลสามารถนำมาใช้ในกรอบของ[[ระบบพิกัดเชิงเส้นโค้ง]]บางระบบ ที่มีการคำนวณหาสูตรที่ง่ายกว่าเอาไว้แล้ว 

สัญกรณ์ {{math|∇ × '''F'''}} มีต้นกำเนิดในความคล้ายคลึงกับ[[ผลคูณไขว้]]สามมิติ และมีประโยชน์ในการช่วยจำสูตรหาเคิร์ลใน[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]] โดย {{math|∇}} แทนตัวดำเนินการ[[เดล(สัญลักษณ์)|เดล]] สัญกรณ์เช่นนี้ถือเป็นปกติใน [[ฟิสิกส์]] และ [[พีชคณิต]] 

เมื่อกระจายสูตร {{math|∇ × '''F'''}} ใน[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]]สามมิติ (ดู ''[[เดลในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม]]'' สำหรับสูตรในระบบพิกัด[[ระบบพิกัดทรงกลม|ทรงกลม]] และ[[ระบบพิกัดทรงกระบอก|ทรงกระบอก]] พิกัด) สำหรับ {{math|'''F'''}} ที่มีองก์ประกอบเวกเตอร์เป็น {{math|[''F<sub>x</sub>'', ''F<sub>y</sub>'', ''F<sub>z</sub>'']}} จะได้เป็น 

: 

<math>\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[5pt]
 {\dfrac{\partial}{\partial x}} & {\dfrac{\partial}{\partial y}} & {\dfrac{\partial}{\partial z}} \\[10pt]
 F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math>

โดยที่ i, j, และ k เป็น [[เวกเตอร์หนึ่งหน่วย|เวกเตอร์หน่วย]] สำหรับ แกน x y และ z ตามลำดับ สิ่งนี้จะขยายออกดังนี้: <ref>Arfken, p. 43.</ref> 

:

<math>\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}</math> 

แม้ว่าจะแสดงในรูปแบบของพิกัด ผลลัพธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนที่เหมาะสมของแกนพิกัด แต่จะพลิกด้านภายใต้การสะท้อน   

== อ้างอิง ==
[[หมวดหมู่:เรขาคณิตวิเคราะห์]]
[[หมวดหมู่:แคลคูลัสเวกเตอร์]]
<references />{{โครงคณิตศาสตร์}}