ดูต้นฉบับสำหรับ เกรเดียนต์

[[ไฟล์:Gradient2.svg|thumb|300px|ในสองภาพข้างบนได้แสดงแทนฟังก์ชันสเกลาร์ด้วยสีดำและสีขาว สีดำแทนตำแหน่งที่ฟังก์ชันมีค่าสูงกว่า และเกรเดียนต์ที่แต่ละจุดแสดงโดยลูกศรสีฟ้า สังเกตว่าเกรเดียนต์ชี้ไปทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่ามากขึ้น]]

ใน[[แคลคูลัสเวกเตอร์]] '''เกรเดียนต์''' ({{langx|en|gradient}}) คือ[[การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)|การดำเนินการ]]กับฟังก์ชันหลายตัวแปร <math>f</math> ซึ่ง[[ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้|หาอนุพันธ์ได้]]ซึ่งมีค่าเป็น[[สเกลาร์ (ฟิสิกส์)|สเกลาร์]] ผลลัพธ์ที่ได้คือ[[สนามเวกเตอร์]] <math>\nabla f</math> ที่ค่าที่แต่ละจุดจะชี้ไปในทิศทางที่ <math>f</math> มีค่ามากขึ้นที่สุด<ref>* {{harvtxt|Bachman|2007|p=77}}
* {{harvtxt|Downing|2010|pp=316–317}}
* {{harvtxt|Kreyszig|1972|p=309}}
* {{harvtxt|McGraw-Hill|2007|p=196}}
* {{harvtxt|Moise|1967|p=684}}
* {{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=715}}
* {{harvtxt|Swokowski et al.|1994|pp=1036,1038–1039}}</ref> และขนาดของเวกเตอร์เท่ากับอัตราการเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น ๆ เรียกสนามเวกเตอร์นี้ว่า '''เกรเดียนต์'''ของ <math>f</math>สัญลักษณ์ <math>\nabla</math> เรียกว่า''สัญลักษณ์นาบลา'' (nabla) หรือ ''เดล'' (del)

เนื่องจากเกรเดียนต์ระบุทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นมากที่สุด และทิศทางตรงกันข้ามของเกรเดียนต์ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยที่สุด เกรเดียนต์จึงมีความสำคัญใน[[การหาค่าเหมาะที่สุด|วิชาการหาค่าเหมาะที่สุด]] เพื่อหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน <math>f</math> ด้วยขั้นตอนวิธี[[การเคลื่อนลงตามความชัน]] (gradient descent)

== แนวคิดจูงใจของเกรเดียนต์ ==
[[ไฟล์:Vector_Field_of_a_Function's_Gradient_imposed_over_a_Color_Plot_of_that_Function.svg|thumb|500x500px|เกรเดียนต์ของฟังก์ชันสองมิติ {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''xe''<sup>−(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)</sup>}} ถูกพล็อตโดยใช้ลูกศรเหนือค่าของฟังก์ชันซึ่งแสดงโดยใช้สี]]
พิจารณาห้องที่อุณหภูมิภายในกำหนดด้วยฟังก์ชันค่าสเกลาร์ <math>T</math> นั่นคือที่จุด <math>(x, y, z)</math> อุณหภูมิที่ตำแหน่งนั้นคือ <math>T(x, y, z)</math> และเป็นอิสระจากเวลา 

เกรเดียนต์ของ <math>T</math> ที่จุด <math>(x, y, z)</math> จะบอกทิศทางที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดเมื่อเดินทางออกจากจุด <math>(x, y, z)</math> และขนาดของเกรเดียนต์จะระบุอัตราเร็วที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น

พิจารณาพื้นผิวที่ความสูงจากระดับน้ำทะเลที่จุด <math>(x, y)</math> กำหนดโดยฟังก์ชัน <math>H(x,y )</math> เกรเดียนต์ของ <math>H</math> ที่จุด <math>(x, y)</math> จะเป็นเวกเตอร์ที่ชี้บอกทิศทางที่ชันมากที่สุดจากจุดนั้น และความชันจะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์เกรเดียนต์ 

นอกจากนี้ เกรเดียนต์ยังสามารถใช้วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันค่าสเกลาร์ในทิศทางอื่นนอกเหนือไปจากทิศทางของเกรเดียนต์เอง โดยการหา[[ผลคูณจุด]] สมมติว่าความชันสูงสุดที่จุด ๆ หนึ่งบนเนินเขาเท่ากับ 40% ถนนขึ้นเนินที่ทำมุมอื่น ๆ ย่อมจะมีความชันน้อยกว่า เราสามารถหาความชันได้โดยหาผลคูณจุดระหว่างเกรเดียนต์ที่จุดที่สนใจ และ[[เวกเตอร์หน่วย]]ที่ชี้ไปตามทิศทางของถนน 

โดยทั่วไปกว่านั้น ถ้าฟังก์ชัน <math>H</math> ที่ระบุความสูงของเนิน เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วเกรเดียนต์ของ <math>H</math> คูณสเกลาร์กับเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับความชันของเนินในทิศทางนั้น หรือก็คืออนุพันธ์ระบุทิศทางของ <math>H</math> ในทิศทางของเวกเตอร์หน่วยนั้น

== สัญลักษณ์ที่ใช้ ==
เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน <math>f</math> ที่จุด <math>a</math> นิยมเขียนแทนด้วย <math>\nabla f (a)</math> แต่อาจจะมีสัญลักษณ์อื่น ๆ เช่น

* <math>\vec{\nabla} f (a)</math> : เพื่อเจาะจงความเป็นเวกเตอร์ของเกรเดียนต์
* <math>\operatorname{grad} f</math>
* <math>\partial_i f</math> and <math>f_{i}</math> : โดยใช้[[สัญกรณ์ของไอน์ชไตน์]] (Einstein notation) โดยดรรชนีที่ซ้ำให้ถือว่าถูกบวกอยู่ ({{math|i}})

== นิยาม ==
[[ไฟล์:3d-gradient-cos.svg|thumb|350x350px|เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน {{math|''f''(''x'',''y'') {{=}} −(cos<sup>2</sup>''x'' + cos<sup>2</sup>''y'')<sup>2</sup>}} แสดงผ่านสนามเวกเตอร์ที่ถูกฉายลงบนระนาบด้านล่าง]]
'''เกรเดียนต์''' ของฟังก์ชันสเกลาร์ <math>f(x_1, \dotsc, x_n)</math> เขียนแทนด้วย <math>\nabla f</math> หรือ <math>\vec{\nabla} f</math> นิยามให้เป็น[[สนามเวกเตอร์]]ซึ่งมีเพียงแบบเดียวที่ผลคูณจุดกับเวกเตอร์ <math>\mathbf{v}</math> ที่จุด <math>x</math> จะเท่ากับอนุพันธ์ระบุทิศทางของ <math>f</math> ไปตาม <math>\mathbf{v}</math><ref>{{Cite book|last=Garling|first=D. J. H.|title=A course in mathematical analysis|date=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-03203-3|location=Cambridge|pages=486}}</ref> นั่นคือ <math display="block">\big(\nabla f(x)\big)\cdot \mathbf{v} = D_{\mathbf v}f(x)</math>

เมื่อพจน์ทางขวามือคือ[[อนุพันธ์ระบุทิศทาง]]ของฟังก์ชัน <math>f</math> ในทางรูปนัยเราจะกล่าวว่าการหาอนุพันธ์เป็น ''ดูอัล'' ของเกรเดียนต์ มีวิธีการหาค่าของเกรเดียนต์หลายวิธีซึ่งเสนอไว้ด้านล่าง

สัญลักษณ์ <math>\nabla</math> เรียกว่า[[ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์]]สำหรับเวกเตอร์

ขนาดและทิศทางของเกรเดียนต์ไม่ขึ้นกับ[[ระบบพิกัด]]ที่ใช้<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=308–309}}</ref><ref>{{harvtxt|Stoker|1969|p=292}}</ref>

=== ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ===
ใน[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]]สามมิติพร้อมกับ[[เมตริกแบบยูคลิด]] เกรเดียนต์ถ้ามีค่าจะเป็นไปตามสมการ

<math display="block">\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}</math>

เมื่อ {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, {{math|'''k'''}} เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานในทิศทางของระบบพิกัด {{math|''x''}}, {{math|''y''}} และ {{math|''z''}} ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน <math display="block">f(x,y,z)= 2x+3y^2-\sin(z)</math> คือ <math display="block">\nabla f(x, y, z) = 2\mathbf{i}+ 6y\mathbf{j} -\cos(z)\mathbf{k}</math> หรือเขียนแทนด้วย<math display="block">\nabla f(x, y, z) = 
\begin{bmatrix}
 2 \\
 6y \\
 -\cos z
\end{bmatrix}
</math>

ในบางการใช้งานนิยมเขียนเกรเดียนต์เป็นเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์หลัก

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

=== บรรณานุกรม ===

* {{citation|last1=Bachman|first1=David|title=Advanced Calculus Demystified|year=2007|location=New York|publisher=[[McGraw-Hill]]|isbn=978-0-07-148121-2}}
* {{citation|last1=Beauregard|first1=Raymond A.|title=A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields|url=https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau|year=1973|location=Boston|publisher=[[Houghton Mifflin Company]]|isbn=0-395-14017-X|last2=Fraleigh|first2=John B.|url-access=registration}}
* {{citation|last1=Downing|first1=Douglas, Ph.D.|title=Barron's E-Z Calculus|year=2010|location=New York|publisher=[[B.E.S. Publishing|Barron's]]|isbn=978-0-7641-4461-5}}
* {{cite book|last1=Dubrovin|first1=B. A.|title=Modern Geometry—Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields|last2=Fomenko|first2=A. T.|last3=Novikov|first3=S. P.|publisher=Springer|year=1991|isbn=978-0-387-97663-1|edition=2nd|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]}}
* {{citation|last1=Harper|first1=Charlie|title=Introduction to Mathematical Physics|year=1976|location=New Jersey|publisher=[[Prentice-Hall]]|isbn=0-13-487538-9}}
* {{citation|last1=Kreyszig|first1=Erwin|title=Advanced Engineering Mathematics|url=https://archive.org/details/advancedengineer00krey|year=1972|edition=3rd|location=New York|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|isbn=0-471-50728-8|author-link=Erwin Kreyszig}}
* {{cite encyclopedia |year=2007 |title=McGraw Hill Encyclopedia of Science & Technology |encyclopedia=McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology |publisher=[[McGraw-Hill]] |location=New York |edition=10th |isbn=978-0-07-144143-8 |ref={{harvid|McGraw-Hill|2007}}}}
* {{citation|last1=Moise|first1=Edwin E.|title=Calculus: Complete|year=1967|location=Reading|publisher=[[Addison-Wesley]]}}
* {{citation|last1=Protter|first1=Murray H.|title=College Calculus with Analytic Geometry|year=1970|edition=2nd|location=Reading|publisher=[[Addison-Wesley]]|lccn=76087042|last2=Morrey|first2=Charles B. Jr.}}
* {{cite book|last=Schey|first=H. M.|url=https://archive.org/details/divgradcurlall00sche|title=Div, Grad, Curl, and All That|publisher=W. W. Norton|year=1992|isbn=0-393-96251-2|edition=2nd|oclc=25048561}}
* {{citation|last1=Stoker|first1=J. J.|title=Differential Geometry|year=1969|location=New York|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|isbn=0-471-82825-4}}
* {{citation|last1=Swokowski|first1=Earl W.|title=Calculus|url=https://archive.org/details/calculus00swok|year=1994|edition=6th|location=Boston|publisher=PWS Publishing Company|isbn=0-534-93624-5|ref={{harvid|Swokowski et al.|1994}}|last2=Olinick|first2=Michael|last3=Pence|first3=Dennis|last4=Cole|first4=Jeffery A.}}
* {{citation|last1=Arens|first1=T.|title=Mathematik|url=https://doi.org/10.1007/978-3-662-64389-1|year=2022|edition=5th|publisher=Springer Spektrum Berlin|isbn=978-3-662-64388-4|last2=Hettlich|first2=F.|last3=Karpfinger|first3=C.|last4=Kockelkorn|first4=U.|last5=Lichtenegger|first5=K.|last6=Stachel|first6=H.}}
{{หัวข้อแคลคูลัส}}
[[หมวดหมู่:แคลคูลัสเวกเตอร์]]