ดูต้นฉบับสำหรับ ออกโทเนียน

ในคณิตศาสตร์ ออกโทเนียน (อังกฤษ:octonion) คือพีชคณิตบนฟีลด์การหารมาตรฐานที่อยู่เหนือจำนวนจริง มักจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ O ตัวพิมพ์ใหญ่หนา '''O''' นอกจากออกโทเนียนแล้วยังมีพีชคณิตบนฟีลด์การหารมาตรฐานอีกสามตัวเหนือจำนวนจริง [[จำนวนจริง]] [[จำนวนเชิงซ้อน]] และ[[ควอเทอร์เนียน]] ออกโทเนียนมีแปดมิติ เป็นสองเท่าของจำนวนมิติในควอเทอร์เนียน ออกโทเนียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่และคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ แต่มีคุณสมบัติที่อ่อนแอกว่าคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่ นั่นคือคุณสมบัติการมีทางเลือก

ออกโทเนียนไม่เป็นที่รู้จักกันมากเหมือนกับควอเทอร์เนียนหรือจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งถูกศึกษาและใช้งานกันมากกว่า อย่างไรก็ตาม ออกโทเนียนยังมีคุณสมบัติที่น่าสนใจ และเกี่ยวข้องกับโครงสร้างผิดปกติในคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ออกโทเนียนยังมีการประยุกต์ใช้ใน[[ทฤษฎีสตริง]] [[ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ|ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ]] และ[[ตรรกะควอนตัม]]

ออกโทเนียนถูกค้นพบในปี ค.ศ. 1843 โดยจอห์น ที. เกรฟส์ โดยได้รับแรงบันดาลใจมาจากการค้นพบควอเทอร์เนียนของเพื่อนของเขา [[เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน]] แต่การตีพิมพ์ผลสรุปของเขานั้นช้ากว่าบทความเกี่ยวกับออกโทเนียนของอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ไปเล็กน้อยเท่านั้น โดยเคย์ลีย์ค้นพบออกโทเนียนเป็นอิสระจากเกรฟส์<ref>. Appendix reprinted in ''The Collected Mathematical Papers'', Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127</ref> และบางครั้งก็เรียกออกโทเนียนว่า จำนวนเคย์ลีย์ หรือ พีชคณิตเคย์ลีย์ นอกจากนี้ แฮมิลตันยังได้เขียนประวัติศาสตร์ช่วงต้นของการค้นพบของเกรฟส์อีกด้วย<ref>Hamilton (1848), [[iarchive:transactionsofro21iris|"Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq."]], ''Transactions of the Royal Irish Academy'', '''21''': 338–341</ref>

== นิยาม ==
ออกโทเนียนอาจมองให้เป็นหน่วยจำนวนจริงแปดหน่วย ออกโทเนียนทุกตัวคือ[[ผลรวมเชิงเส้น]]ของหน่วยออกโทเนียน นั่นคือ {e<sub>0</sub>,e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,e<sub>3</sub>,e<sub>4</sub>,e<sub>5</sub>,e<sub>6</sub>,e<sub>7</sub>}, โดยที่ e<sub>0</sub> คือสเกลาร์หรือส่วนจริง อาจใช้จำนวนจริง 1 แทนได้ นั่นคือ ทุกออกโทเนียน ''x'' สามารถเขียนได้อยู่ในรูป

x=x<sub>0</sub>e<sub>0</sub>+x<sub>1</sub>e<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>e<sub>2</sub>+x<sub>3</sub>e<sub>3</sub>+x<sub>4</sub>e<sub>4</sub>+x<sub>5</sub>e<sub>5</sub>+x<sub>6</sub>e<sub>6</sub>+x<sub>7</sub>e<sub>7</sub>

การบวกลบออกโทเนียนสามารถทำได้โดยการบวกลบพจน์ที่สอดคล้องกันเหมือนควอเทอร์เนียน ในขณะที่การคูณยากกว่านั้น ผลคูณระหว่างออกโทเนียนสองจำนวนสามารถหาได้โดยการรวมผลคูณของทุก ๆ พจน์ ผลคูณของพจน์แต่ละคู่สามารถหาได้จาก[[สูตรคูณ]]ของหน่วยออกโทเนียน เช่นตารางนี้เป็นต้น (ตารางนี้เขียนโดยอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ค.ศ. 1845 และจอห์น ที. เกรฟส์ ค.ศ. 1843)<ref>G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci (2009), "Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable", in Irene Sabadini; M Shapiro; F Sommen, [https://books.google.com/books?id=H-5v6pPpyb4C&pg=PA168 ''Hypercomplex analysis''] (Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings ed.), Birkhäuser, p. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7</ref>

{| class="wikitable" style="text-align: center; margin:0.5em auto"
|
|
| colspan="8" |<math>e_j</math>
|-
|
! width="30pt" |<math>e_ie_j</math>
! width="30pt" |<math>e_0</math>
! width="30pt" |<math>e_1</math>
! width="30pt" |<math>e_2</math>
! width="30pt" |<math>e_3</math>
! width="30pt" |<math>e_4</math>
! width="30pt" |<math>e_5</math>
! width="30pt" |<math>e_6</math>
! width="30pt" |<math>e_7</math>
|-
| rowspan="8" |<math>e_i</math>
!<math>e_0</math>
|<math>e_0</math>
|<math>e_1</math>
|<math>e_2</math>
|<math>e_3</math>
|<math>e_4</math>
|<math>e_5</math>
|<math>e_6</math>
|<math>e_7</math>
|-
!<math>e_1</math>
|<math>e_1</math>
|<math>-e_0</math>
|<math>e_3</math>
|<math>-e_2</math>
|<math>e_5</math>
|<math>-e_4</math>
|<math>-e_7</math>
|<math>e_6</math>
|-
!<math>e_2</math>
|<math>e_2</math>
|<math>-e_3</math>
|<math>-e_0</math>
|<math>e_1</math>
|<math>e_6</math>
|<math>e_7</math>
|<math>-e_4</math>
|<math>-e_5</math>
|-
!<math>e_3</math>
|<math>e_3</math>
|<math>e_2</math>
|<math>-e_1</math>
|<math>-e_0</math>
|<math>e_7</math>
|<math>-e_6</math>
|<math>e_5</math>
|<math>-e_4</math>
|-
!<math>e_4</math>
|<math>e_4</math>
|<math>-e_5</math>
|<math>-e_6</math>
|<math>-e_7</math>
|<math>-e_0</math>
|<math>e_1</math>
|<math>e_2</math>
|<math>e_3</math>
|-
!<math>e_5</math>
|<math>e_5</math>
|<math>e_4</math>
|<math>-e_7</math>
|<math>e_6</math>
|<math>-e_1</math>
|<math>-e_0</math>
|<math>-e_3</math>
|<math>e_2</math>
|-
!<math>e_6</math>
|<math>e_6</math>
|<math>e_7</math>
|<math>e_4</math>
|<math>-e_5</math>
|<math>-e_2</math>
|<math>e_3</math>
|<math>-e_0</math>
|<math>-e_1</math>
|-
!<math>e_7</math>
|<math>e_7</math>
|<math>-e_6</math>
|<math>e_5</math>
|<math>e_4</math>
|<math>-e_3</math>
|<math>-e_2</math>
|<math>e_1</math>
|<math>-e_0</math>
|}
ตารางนี้สามารถสรุปอย่างคร่าวๆ ได้ดังนี้

<math>e_i e_j  =
\begin{cases}
e_j , & \text{if }i = 0 \\
e_i , & \text{if }j = 0 \\
- \delta_{ij}e_0 + \varepsilon _{ijk} e_k, & \text{otherwise}
\end{cases}</math>

=== สังยุค ===
สังยุคของออกโทเนียน x=x<sub>0</sub>e<sub>0</sub>+x<sub>1</sub>e<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>e<sub>2</sub>+x<sub>3</sub>e<sub>3</sub>+x<sub>4</sub>e<sub>4</sub>+x<sub>5</sub>e<sub>5</sub>+x<sub>6</sub>e<sub>6</sub>+x<sub>7</sub>e<sub>7</sub>

คือ x<sup>*</sup>=x<sub>0</sub>e<sub>0</sub>-x<sub>1</sub>e<sub>1</sub>-x<sub>2</sub>e<sub>2</sub>-x<sub>3</sub>e<sub>3</sub>-x<sub>4</sub>e<sub>4</sub>-x<sub>5</sub>e<sub>5</sub>-x<sub>6</sub>e<sub>6</sub>-x<sub>7</sub>e<sub>7</sub>

ให้สังเกตว่าผลคูณของออกโทเนียนใดๆ กับสังยุคของจำนวนนั้น จะได้จำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

x<sup>*</sup>x=x<sub>0</sub><sup>2</sup>+x<sub>1</sub><sup>2</sup>+x<sub>2</sub><sup>2</sup>+x<sub>3</sub><sup>2</sup>+x<sub>4</sub><sup>2</sup>+x<sub>5</sub><sup>2</sup>+x<sub>6</sub><sup>2</sup>+x<sub>7</sub><sup>2</sup>

== อ้างอิง ==
[[หมวดหมู่:พีชคณิต]]