ดูต้นฉบับสำหรับ อนุพันธ์

{{กึ่งล็อก|small=yes}}
{{ความหมายอื่น}}
{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
[[ไฟล์:Tangent to a curve.svg|thumb|[[กราฟของฟังก์ชัน]]แสดงด้วยเส้นสีดำ และ[[เส้นสัมผัส]]แสดงด้วยเส้นสีแดง [[ความชัน]]ของเส้นสัมผัสมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดสีแดง]]
{{แคลคูลัส|อนุพันธ์}}

ใน[[คณิตศาสตร์|วิชาคณิตศาสตร์]] '''อนุพันธ์''' ({{langx|en|derivatives}}) ของ[[ฟังก์ชันของตัวแปรจริง]] เป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของ[[แคลคูลัส]] ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เมื่อเทียบกับเวลา คือ [[ความเร็ว]]ของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือ[[ความชัน]]ของ[[เส้นสัมผัส]] (tangent) ที่สัมผัสกับ[[กราฟของฟังก์ชัน]]ที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือ[[การประมาณเชิงเส้น]]ของฟังก์ชันที่ใกล้เคียงที่สุด (best linear approximation) กับค่าตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า '''การหาอนุพันธ์''' (differentiation หรือ การดิฟเฟอเรนชิเอต) ส่วนกระบวนการที่กลับกันเรียกว่า ''[[ปฏิยานุพันธ์|การหาปฏิยานุพันธ์]]'' (antidifferentiation) [[ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส]]กล่าวว่าการหาปฏิยานุพันธ์เหมือนกันกับ[[ปริพันธ์|การหาปริพันธ์]] (integration หรือ การอินทิเกรต) การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นตัวดำเนินการพื้นฐานในแคลคูลัสตัวแปรเดียว{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=เชิงอรรถ}}

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์ (concept) หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของ[[แคลคูลัส]] (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือ[[ปฏิยานุพันธ์]] ซึ่งคือ[[ตัวผกผัน]]ของอนุพันธ์)

== นิยาม ==

=== โดยใช้ลิมิต ===
ฟังก์ชัน <math>f:\R\to\R</math> [[ฟังก์ชันของตัวแปรจริง|ของตัวแปรจริง]]จะ[[ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้|หาอนุพันธ์ได้]]ที่จุด <math>a</math> ใน[[โดเมน (ฟังก์ชัน)|โดเมน]]ของฟังก์ชัน ถ้าโดเมนมีสับเซตเป็น[[ช่วง (คณิตศาสตร์)|ช่วงเปิด]]ที่มี <math>a</math> เป็นสมาชิก และ[[ลิมิตของฟังก์ชัน|ลิมิต]]

<math>L = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>

หาค่าได้ หรืออีกนัยหนึ่ง สำหรับทุก[[จำนวนจริง]]บวก <math>\varepsilon</math> จะมีจำนวนจริงบวก <math>\delta</math> ที่ทำให้ ทุกจำนวนจริง <math>h</math> ที่ <math>|h| < \delta</math> และ <math>h \ne 0</math>  แล้วจะได้ว่า <math>f(a+h)</math> หาค่าได้และอสมการด้านล่างนี้เป็นจริง 

<math>\left| L-\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \right| < \varepsilon</math>

โดยเส้นแนวตั้งในสมการข้างต้นแทนฟังก์ชัน[[ค่าสัมบูรณ์]] นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของ[[ลิมิตของฟังก์ชัน|นิยาม (ε, δ) ของลิมิต]]{{sfn|Gonick|2012|p=83}}

ถ้าฟังก์ชัน <math>f</math> หาอนุพันธ์ได้ที่ <math>a</math> นั่นคือถ้าลิมิต <math>L</math> จากข้างต้นหาค่าได้ แล้วลิมิตนี้เรียกว่า''อนุพันธ์''ของ <math>f</math> ที่ <math>a</math>  การเขียนอนุพันธ์เขียนได้หลายแบบ{{sfnm|1a1=Gonick|1y=2012|1p=88|2a1=Strang et al.|2y=2023|2p=[https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-2-the-derivative-as-a-function 234]}} อนุพันธ์ของ <math>f</math> ที่ <math>a</math> สามารถเขียนเป็น <math>f'(a)</math> อ่านว่า "<math>f</math> ไพรม์ของ <math>a</math>" หรือเขียนเป็น <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math> อ่านว่า "อนุพันธ์ของ <math>f</math> เทียบ <math>x</math> ที่ <math>a</math>" หรือ "ดีเอฟบายดีเอ็กซ์ที่เอ" ดู {{slink||สัญกรณ์}} ข้างล่าง

ตัวอย่าง ให้ <math>f</math> เป็นฟังก์ชันกำลังสอง <math>f(x) = x^2 </math> แล้วผลหารในนิยามของอนุพันธ์คือ{{sfn|Gonick|2012|pp=77–80}}

<math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} = 2a+h</math>

การหารในขั้นตอนสุดท้ายถูกต้องก็ต่อเมื่อ <math>h \ne 0</math> ยิ่ง h เข้าใกล้ <math>0</math> มากเท่าไร ค่าของผลหารก็จะเข้าใกล้ <math>2a</math> มากเท่านั้น พบว่าลิมิตหาค่าได้ และสำหรับทุก <math>a</math> ลิมิตจะมีค่าเป็น <math>2a</math> ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองคือ <math display="inline">f'(x) = 2x</math>

=== โดยใช้กณิกนันต์ ===
อีกวิธีคิดหนึ่งของอนุพันธ์ <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math> คือเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลง[[กณิกนันต์]]ของฟังก์ชัน <math>f</math> ต่อการเปลี่ยนแปลงกณิกนันต์ของฟังก์ชัน <math>x</math>{{sfn|Thompson|1998|pp=84–85}}  การทำให้แนวคิดนี้รัดกุม จะต้องมีระบบกฎเกณฑ์ในการจัดการกับกณิกนันต์{{sfn|Keisler|2012|pp=902–904}} [[ระบบจำนวนไฮเพอร์เรียล]]สามารถจัดการกับปริมาณอนันต์และกณิกนันต์ได้ ไฮเพอร์เรียลเป็น[[ส่วนขยายฟีล|ส่วนขยาย]]ของจำนวนจริงที่มีจำนวนที่มากกว่าทุกสิ่งในรูป <math>1+1+\cdots+1</math> สำหรับทุกพจน์จำกัด  จำนวนดังกล่าวเป็นอนันต์ และ[[ตัวผกผันการคูณ|ส่วนกลับ]]ของมันเป็นกณิกนันต์ การประยุกต์ใช้ของจำนวนไฮเพอร์เรียลในรากฐานแคลคูลัสเรียกว่า [[การวิเคราะห์ที่ไม่มาตรฐาน]]  เป็นการเปิดช่องให้นิยามแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัส เช่นอนุพันธ์ และปริพันธ์ ในรูปของกณิกนันต์ ให้ความหมายที่รัดกุมกับ <math>d</math> ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ ดังนั้นอนุพันธ์ของ <math>f(x)</math> จะกลายเป็น

<math>f'(x) = \operatorname{st}\left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right)</math>

สำหรับทุกกณิกนันต์ <math>dx</math> เมื่อ <math>\operatorname{st}</math> หมายถึง[[ฟังก์ชันส่วนมาตรฐาน]] ซึ่งปัดทุกไฮเพอร์เรียลจำกัดเป็นจำนวนจริงที่ใกล์ที่สุด  เอาฟังก์ชันกำลังสอง <math>f(x) = x^2 </math> เป็นตัวอย่างอีกครั้ง

<math> \begin{align}
 f'(x) &= \operatorname{st}\left(\frac{x^2 + 2x \cdot dx + (dx)^2 -x^2}{dx}\right) \\
 &= \operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot dx +  (dx)^2}{dx}\right) \\
 &= \operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot dx}{dx} + \frac{(dx)^2}{dx}\right) \\
 &= \operatorname{st}\left(2x + dx\right) \\
 &= 2x.
\end{align}</math>

== การหาอนุพันธ์และอนุพันธ์ ==
''การหาอนุพันธ์'' เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} ของตัวแปร {{math|''x''}} คืออัตราที่ค่า {{math|''y''}} ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร {{math|''x''}} เรียกว่า ''อนุพันธ์''ของ {{math|''f''}} เทียบกับ {{math|''x''}} ถ้า {{math|''x''}} และ {{math|''y''}} เป็น[[จำนวนจริง]] และถ้า[[กราฟของฟังก์ชัน]] {{math|''f''}} ลงจุดเทียบกับ {{math|''x''}} อนุพันธ์ก็คือ[[ความชัน]]ของเส้นกราฟในแต่ละจุด

[[ไฟล์:Wiki slope in 2d.svg|right|thumb|250px|ความชันของฟังก์ชันเชิงเส้น: <math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>]]
กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของ[[ฟังก์ชันคงตัว]] คือเมื่อ {{math|''y''}} เป็น[[ฟังก์ชันเชิงเส้น]]ของ {{math|''x''}} ซึ่งหมายถึงกราฟของ {{math|''y''}} จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'') {{=}} ''m'' ''x'' + ''b''}} สำหรับจำนวนจริง {{math|''m''}} และ {{math|''b''}} และความชัน {{math|''m''}} ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''y''}} หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''x''}} ดังสมการ
:<math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
เมื่อสัญลักษณ์ {{math|Δ}} ([[เดลตา]]) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า
:<math>y+\Delta y=f\left( x+\Delta x\right)
=m\left( x+\Delta x\right) +b 
=mx +m\,\Delta x +b
= y + m\,\Delta x </math>
เพราะฉะนั้น จะได้
:<math>y+\Delta y=y+m\,\Delta x </math>
ทำให้ได้
:<math> \Delta y=m\,\Delta x </math>

ซึ่ง {{math|''m''}} เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน {{math|''f''}} ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''y''}} หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''x''}} จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น {{math|''x''}} ใด ๆ

{{multiple image
 | align = right
 | direction = vertical
 | width = 250
 | header = อัตราการเปลี่ยนแปลงที่หาจากค่าลิมิต
 | image1 = Tangent-calculus.svg
 | caption1 = '''รูปที่ 1.''' [[เส้นสัมผัส]]ที่ (''x'', ''f''(''x''))
 | image2 = Secant-calculus.svg
 | caption2 = '''รูปที่ 2.''' [[เส้นตัด]]ของส่วนโค้ง ''y''= ''f''(''x'') กำหนดโดยจุด (''x'', ''f''(''x'')) และ (''x''+''h'', ''f''(''x''+''h''))
 | image3 = Lim-secant.svg
 | caption3 = '''รูปที่ 3.''' เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด
 | image4 = Derivative GIF.gif
 | caption4 = '''รูปที่ 4.''' ภาพเคลื่อนไหว: เส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่หาจากลิมิตของเส้นตัด
 }}

แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจาก[[ลิมิตของฟังก์ชัน|ค่าลิมิต]]ของ[[:en:difference quotient|อัตราส่วนของผลต่าง]] {{math|Δ''y'' / Δ''x''}} เมื่อ {{math|Δ''x''}} เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก

=== สัญกรณ์ ===
{{บทความหลัก|สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์}}
มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจาก[[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ|ไลบ์นิซ]] และอีกแบบหนึ่งมาจาก[[โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์|ลากรางจ์]] อนุพันธ์อีกแบบหนึ่งซึ่งคิดขึ้นโดย[[ไอแซก นิวตัน|นิวตัน]]มีใช้บ้างในสาขาฟิสิกส์

ใน[[สัญกรณ์ของไลบ์นิซ]] การเปลี่ยนแปลงที่[[กณิกนันต์|น้อยมาก]]ของ {{math|''x''}} แสดงได้เป็น {{math|''dx''}} และอนุพันธ์ของ {{math|''y''}} เทียบกับ {{math|''x''}} เขียนได้ดังนี้
: <math> \frac{dy}{dx} \,\!</math>
แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ ''y'' เทียบกับ ''x''" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)

ส่วน[[สัญกรณ์ของลากรางจ์]] อนุพันธ์ของฟังก์ชัน {{math|''f''(''x'')}} เทียบกับ {{math|''x''}} แสดงได้เป็น {{math|''f{{'}}''(''x'')}} (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ {{math|''f<sub>x</sub>''{{'}}(''x'')}} (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")

และในสัญกรณ์ของนิวตัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเขียนแทนด้วยจุดบนตัวแปรตาม นั่นคือ ถ้า ''y'' เป็นฟังก์ชันของ ''t'' แล้วอนุพันธ์ของ ''y'' เทียบกับ ''t'' จะเขียนแทนด้วย <math>\dot{y}</math> ในขณะที่อนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้นจะเพิ่มจำนวนจุด เช่น <math>\ddot{y}, \overset{...}{y}</math> สัญกรณ์นี้นิยมใช้สำหรับตัวแปรตามที่ขึ้นกับเวลา

=== อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน ===
[[ไฟล์:Tangent animation.gif|thumb|250px|เส้นตัดเข้าใกล้เส้นสัมผัสเมื่อ <math>\Delta x \to 0</math>]]
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ''f'' ที่ ''x'' ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ ''f'' ที่ ''x'' เราไม่สามารถหาความชันของ[[เส้นสัมผัส]]จากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (''x'', ''f'' (''x'')) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วย[[เส้นตัด]] (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหา[[ลิมิต (คณิตศาสตร์)|ลิมิต]]ของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ ''h'' เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ''h'' จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน ''x'' ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (''x'',''f (x) '') และ (''x+h'',''f (x+h) '') คือ
:<math>{f (x+h) -f (x) \over h}</math>
ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ [[อัตราส่วนเชิงผลต่าง]]ของ[[ไอแซก นิวตัน|นิวตัน]] (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ ''f'' ที่ ''x'' คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:
:<math>f' (x) =\lim_{h\to 0}{f (x+h) -f (x) \over h}</math>
{{โครง-ส่วน}}

=== ตัวอย่าง ===
[[ไฟล์:Parabola2.svg|thumb|ฟังก์ชันกำลังสอง]]
ฟังก์ชันกำลังสอง {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} หาอนุพันธ์ได้ที่ {{math|''x'' {{=}} 3}} และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ {{math|''f''(3)}} เมื่อ {{math|''h''}} เข้าใกล้ศูนย์:

:<math>
\begin{align}
f'(3) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} \\[10pt]
& = \lim_{h\to 0}\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}{(6 + h)}
\end{align}
</math>

นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ {{math|''6'' + ''h''}} เมื่อ {{math|''h'' ≠ 0}} และไม่นิยามเมื่อ {{math|''h'' {{=}} 0}} เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ {{math|''h'' {{=}} 0}} ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ {{math|''h''}} เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า {{math|6 + ''h''}} เมื่อ {{math|''h''}} มีค่าน้อยลงมาก ๆ

:<math> \lim_{h\to 0}{(6 + h)} = 6 + 0 = 6 </math>

ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด {{nowrap|(3, 9)}} คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ {{math|''x'' {{=}} 3}} คือ {{math|''f''′(3) {{=}} 6}}

ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ {{math|''x'' {{=}} ''a''}} คือ {{math|''f''′(''a'') {{=}} 2''a''}}:

:<math>\begin{align}
f'(a) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}\frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2ah + h^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}{(2a + h)} = 2a
\end{align}</math>

=== ความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้ ===
ถ้า ''f'' เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ณ ''a'' ได้ ''f'' จะต้องต่อเนื่องที่ ''a'' เสมอ ถ้า ''f'' ไม่ต่อเนื่องที่ ''a'' จะหาอนุพันธ์ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น เลือกจุด ''a'' และให้ ''f'' เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดที่มีค่า 1 สำหรับ ''x'' ทั้งหมดที่น้อยกว่า ''a'' และมีค่า 10 สำหรับ ''x'' ทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ ''a'' แล้ว ''f'' ไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ที่ ''a'' โดยหาก ''h'' เป็นค่าลบ ''a + h'' จะอยู่ที่ส่วนล่างของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก ''a'' ถึง ''a + h'' นั้นสูงชันมากและเมื่อ ''h'' มีแนวโน้มเป็นศูนย์ความชันจะไม่มีที่สิ้นสุด หาก ''h'' เป็นค่าบวก ''a + h'' จะอยู่บนส่วนสูงของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก ''a'' ถึง ''a + h'' มีความชันเป็นศูนย์ ดังนั้นเส้นตัดจึงไม่ได้เข้าใกล้ความชันเดียว และลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างจึงไม่สามารถหาได้

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่าฟังก์ชันจะต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก็ยังอาจไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ''f(x) = |x|'' ต่อเนื่องที่ ''x ='' 0 แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ หาก ''h'' เป็นค่าบวกความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง ''h'' จะเท่ากับ 1 ในขณะที่ถ้า ''h'' เป็นลบความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง ''h'' จะเป็น -1 จุดที่หาอนุพันธ์ไม่ได้นี้สามารถเห็นได้ชัดเจนว่าเป็นมุมในกราฟที่ ''x'' = 0 แต่แม้ฟังก์ชันที่กราฟไม่หักมุมก็ยังอาจจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่ความชันเป็นแนวตั้ง: ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันที่กำหนดโดย ''f(x) = x<sup>1/3</sup>'' ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = 0

สรุปว่า ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์นั้นต่อเนื่อง แต่มีฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีอนุพันธ์

ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่พบในทางปฏิบัติมีอนุพันธ์ทุกจุดหรือเกือบทุกจุด เพราะเหตุนี้ ในช่วงแรกของประวัติศาสตร์ของแคลคูลัส นักคณิตศาสตร์หลายคนสันนิษฐานว่าฟังก์ชันต่อเนื่องมีอนุพันธ์ที่จุดส่วนใหญ่ ซึ่งภายใต้เงื่อนไขที่ไม่รุนแรงมาก เช่นถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันโมโนโทนหรือฟังก์ชันลิปชิตส์ สิ่งนี้จะเป็นจริง อย่างไรก็ตามในปี 1872 [[คาร์ล ไวเออร์ชตราส|ไวเออร์ชตราส]] พบตัวอย่างแรกของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องได้ทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ไหน ตัวอย่างนี้เรียกว่า[[ฟังก์ชันไวเออร์ชตราส]] ในปี 1931 สเตฟาน บานาค พิสูจน์ว่าเซตของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในบางจุดเป็นเพียงส่วนเล็ก ๆ ของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด<ref>Banach, S. (1931), "Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen", Studia. Math. (3): 174–179.. Cited by Hewitt, E; Stromberg, K (1963), Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Theorem 17.8</ref> หมายความว่าการสุ่มฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ แทบไม่มีโอกาสเลยที่จะหาอนุพันธ์ได้แม้จุดเดียว

== อนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชัน ==
ถ้าฟังก์ชัน ''f'' สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ในทุกจุดใน[[โดเมน (ฟังก์ชัน)|โดเมน]]ของมัน เราสามารถนิยามฟังก์ชันที่พาค่า ''x'' ทุกค่าในโดเมนนั้นไปหาค่าของอนุพันธ์ของ ''f'' ที่ ''x'' ได้ ฟังก์ชันนี้เขียนแทนด้วย ''f''' และเรียกว่า ''ฟังก์ชันอนุพันธ์'' ของ ''f'' 

ในกรณีที่ ''f'' ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ครบทุกจุดในโดเมน ฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์นี้สำหรับจุดที่หาได้ และไม่นิยามสำหรับจุดอื่น ๆ ก็สามารถเรียกว่าอนุพันธ์ของ ''f'' ได้เช่นกัน ซึ่งอนุพันธ์นี้ยังคงเป็นฟีงก์ชัน แต่มีโดเมนเล็กกว่า ''f''

จากมุมมองนี้ เราสามารถมองการหาอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันของฟังก์ชัน นั่นคือ อนุพันธ์เป็นตัวดำเนินการที่มีโดเมนเป็นเซตของฟังก์ชันทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนโดเมนของตัวมันเอง และมี[[เรนจ์ (ฟังก์ชัน)|เรนจ์]]เป็นเซตของฟังก์ชัน หากเราแทนตัวดำเนินการนี้ด้วย ''D'' แล้วจะได้ ''D(f) = f''' เนื่องจาก ''D(f)'' เป็นฟังก์ชัน สามารถหาค่าที่จด ''a'' ใด ๆ ได้ว่า ''D(f)(a) = f'(a)''[[ไฟล์:Tangent function animation.gif|thumb|250px|แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์]]
== อนุพันธ์อันดับสูง ==
หาก ''f'' เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดย ''f'<nowiki/>'' เป็นอนุพันธ์ของ ''f'' แล้วอนุพันธ์ของ ''f''' อีกทีหนึ่ง (ถ้าอนุพันธ์นี้หาได้) เขียนแทนด้วย ''f<nowiki>''</nowiki>'' และเรียกว่า ''อนุพันธ์อันดับสอง'' ของ ''f'' ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของ ''f<nowiki>''</nowiki>'' (ถ้าหาได้) เขียนแทนด้วย ''f<nowiki>'''</nowiki>'' และเรียกว่า ''อนุพันธ์อันดับสาม'' ของ ''f''  เมื่อทำเช่นนี้ซ้ำไปเรื่อย ๆ เราก็จะได้นิยามของ ''อนุพันธ์อันดับที่'' ''n'' ว่าเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ ''n - 1'' อนุพันธ์อันดับตั้งแต่สองขึ้นไปนี้โดยรวมเรียกว่า ''อนุพันธ์อันดับสูง'' ({{langx|en|higher-order derivatives}})

อนุพันธ์อันดับสูงมีนัยสำคัญในวิชา[[ฟิสิกส์]] กล่าวคือ ถ้า ''x(t)'' แสดงตำแหน่งของวัตถุที่เวลา ''t'' แล้วอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ ''x'' แสดง[[ความเร็ว]]ของวัตถุ และอันดับสองแสดง[[ความเร่ง]]

ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับสูงกว่านั้น เช่น หาก

<math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & x\ge 0 \\ -x^2, & x \le 0\end{cases}</math>

แล้วจะสามารถพิสูจน์ได้ว่า ''f'' หาอนุพันธ์ได้เท่ากับ

<math>f'(x) = \begin{cases} +2x, & x\ge 0 \\ -2x, & x \le 0\end{cases}</math>

เท่ากับสองเท่าของฟังก์ชัน[[ค่าสัมบูรณ์]] ซึ่งไม่มีอนุพันธ์ที่ ''x = 0'' ดังนั้น ''f'' ไม่มีอนุพันธ์อันดับสองที่ค่า ''x'' นี้

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันสามารถมีอนุพันธ์ขึ้นไปถึงอันดับที่ ''k'' แต่ไม่มีอนุพันธ์อันดับที่ ''k + 1'' ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันที่''หาอนุพันธ์ได้ k ครั้ง'' และถ้าอนุพันธ์อันดับที่ ''k'' นี้ต่อเนื่องด้วย จะเรียกฟังก์ชันนั้นว่าอยู่ในคลาส ''C<sup>k</sup>'' ฟังก์์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เรื่อย ๆ โดยไม่จำกัดครั้งเรียกว่า ''ฟังก์ชันปรับเรียบ'' ({{langx|en|smooth function}})

ฟังก์ชันพหุนามทุกฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดครั้ง โดยถ้าพหุนามดีกรี ''n'' ถูกหาอนุพันธ์ ''n'' ครั้งจะได้ฟังก์ชันค่าคงที่เสมอ และอนุพันธ์อันดับถัดจากนั้นก็จะเป็นศูนย์ทุกอันดับ ดังนั้นฟังก์ชันพหุนามทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันปรับเรียบ

=== จุดเปลี่ยนเว้า ===
{{บทความหลัก|จุดเปลี่ยนเว้า}}
จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า ''จุดเปลี่ยนเว้า''<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ {{math|''x'' {{=}} 0}} ของฟังก์ชัน {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>3</sup>}} หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ {{math|''x'' {{=}} 0}} ของฟังก์ชัน {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจาก[[ฟังก์ชันเว้า]]ไปเป็น[[ฟังก์ชันนูน]]หรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า

== รายละเอียดสัญกรณ์ ==
{{บทความหลัก|สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์}}

=== สัญกรณ์ของไลบ์นิซ ===
{{บทความหลัก|สัญกรณ์ของไลบ์นิซ}}

สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดย[[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ]] ใน ค.ศ. 1675<ref>Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)</ref> สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง[[ตัวแปรต้นและตัวแปรตาม]] อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้

: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),\;\;\mathrm{or}\;\; \frac{d}{dx}f(x)</math>

อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์

: <math>\frac{d^ny}{dx^n},
\quad\frac{d^n f}{dx^n}(x),
\;\;\mathrm{or}\;\;
\frac{d^n}{dx^n}f(x)</math>

สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ ''n'' ของ {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} (เทียบกับ ''x'') ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)</math>

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ เราสามารถเขียนอนุพันธ์ของ ''y'' ที่จุด {{nowrap|1=''x'' = ''a''}} ในรูปที่แตกต่างกันสองแบบ:

: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a)</math>

สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์ได้ (ในตัวส่วน) โดยเฉพาะในเรื่อง[[อนุพันธ์ย่อย|การหาอนุพันธ์ย่อย]] และยังทำให้ง่ายต่อการจำ[[กฎลูกโซ่]]อีกด้วย:{{#tag:ref|In the formulation of calculus in terms of limits, the ''du'' symbol has been assigned various meanings by various authors.  Some authors do not assign a meaning to ''du'' by itself, but only as part of the symbol ''du''/''dx''.  Others define ''dx'' as an independent variable, and define ''du'' by {{nowrap|1=''du'' = ''dx''·''f''′(''x'')}}. In [[non-standard analysis]] ''du'' is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the [[exterior derivative]] of a function ''u''. See [[differential (infinitesimal)]] for further information.|group=เชิงอรรถ}}

: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>

=== สัญกรณ์ของลากรางจ์ ===
ในบางครั้งเราเรียกว่า ''สัญกรณ์ไพรม์''<ref>{{cite web|title=The Notation of Differentiation|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|accessdate=24 October 2012|year=1998}}</ref> หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจาก[[โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์]] โดยใช้[[ไพรม์|เครื่องหมายไพรม์]] กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ''f''(''x'') เขียนได้ในรูป ''f''′(''x'') หรือ ''f''′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้
:<math>(f')'=f''\,</math> &emsp; และ &emsp; <math>(f'')'=f'''</math>
เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็น[[ตัวยกและตัวห้อย|ตัวยก]] หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:
:<math>f^{\mathrm{iv}}\,\!</math> &emsp; หรือ &emsp; <math>f^{(4)}</math>
สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ ''f''<sup> (''n'')</sup> สำหรับอนุพันธ์อันดับ ''n'' ของ ''f'' สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก

=== สัญกรณ์ของนิวตัน ===
สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''t'')}} แล้ว
:<math>\dot{y}</math> &emsp; และ &emsp; <math>\ddot{y}</math>
หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ ''y'' เทียบกับ ''t'' ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับ[[ความยาวส่วนโค้ง]] ซึ่งใช้กันทั่วไปใน[[ฟิสิกส์]] [[สมการเชิงอนุพันธ์]] และ[[เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์]]<ref>{{Cite book|title=Partial Differential Equations|last=Evans|first=Lawrence|publisher=American Mathematical Society|year=1999|isbn=0-8218-0772-2|location=|pages=63}}</ref><ref>{{Cite book|title=Differential Geometry|url=https://archive.org/details/differentialgeom0000krey|last=Kreyszig|first=Erwin|publisher=Dover|year=1991|isbn=0-486-66721-9|location=New York|pages=[https://archive.org/details/differentialgeom0000krey/page/n16 1]}}</ref> โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น

=== สัญกรณ์ของออยเลอร์ ===
สัญกรณ์ของ[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์|ออยเลอร์]]จะใช้[[ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์]] ''D'' ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน ''f'' เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ''Df'' ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป ''D''<sup>2</sup>''f'' และอนุพันธ์อันดับ ''n'' เขียนได้ในรูป ''D''<sup>''n''</sup>''f''

ถ้า {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} เป็นตัวแปรตาม แล้ว ''x'' จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ ''D'' เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น ''x'' ดังข้างล่าง
:<math>D_x y\,</math> &emsp; หรือ <math>D_x f(x)\,</math>,
แต่ตัวห้อย ''x'' มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว

สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้[[สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น]]

== กฎการคำนวณ ==
{{บทความหลัก|กฎการหาอนุพันธ์}}
=== กฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ===
* ''[[แคลคูลัสกับพหุนาม|การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง]]'': ถ้า

:<math> f(x) = x^r</math>

เมื่อ ''r'' เป็น[[จำนวนจริง]]ใด ๆ แล้ว

:<math> f'(x) = rx^{r-1}</math>

เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า <math>f(x) = x^{1/4}</math> แล้ว

:<math>f'(x) = (1/4)x^{-3/4}</math>

และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า ''x'' ที่เป็นบวก ไม่ใช่ {{nowrap|1=''x'' = 0}} เมื่อ {{nowrap|1=''r'' = 0}} กฎนี้จะให้ค่า ''f''′(''x'') เป็นศูนย์สำหรับ {{nowrap|''x'' &ne; 0}} ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่

* ''กฎค่าคงที่'': ถ้า ''f''(''x'') คือค่าคงที่ แล้ว
:<math>f' = 0</math>

* ''ฟังก์ชัน[[ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง|เอกซ์โพเนนเชียล]]และ[[ลอการิทึม]]'':
:<math> \frac{d}{dx}e^x = e^x</math>

:<math> \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a)</math>

:<math> \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0</math>

:<math> \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}</math>

* ''[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]]'':
:<math> \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)</math>
:<math> \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)</math>
:<math> \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)</math>
จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้
:<math>\frac{d}{dx}\csc (x) = -\csc x\cot x</math>
:<math>\frac{d}{dx}\sec (x) = \sec x \tan x</math>
:<math>\frac{d}{dx}\cot (x) = -\csc^2 x</math>

* ''[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน]]'':
:<math> \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1</math>
:<math> \frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1</math>
:<math> \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}</math>

=== กฎสำหรับฟังก์ชันหลายฟังก์ชันรวมกัน ===
ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้

* ''[[Linearity of differentiation|กฎผลรวม]]'':
:<math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,</math> สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด ''f'' และ ''g'' และจำนวนจริงทั้งหมด ''<math>\alpha</math>'' และ ''<math>\beta</math>''
* ''[[กฎผลคูณ]]'':
:<math>(fg)' = f 'g + fg' \,</math> สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด ''f'' และ ''g'' ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า <math>(\alpha f)' = \alpha f'</math> เมื่อไรก็ตามที่ <math>\alpha</math> เป็นค่าคงที่ เพราะว่า <math>\alpha' f = 0 \cdot f = 0</math> จากกฎค่าคงที่
* ''[[กฎผลหาร]]'':
:<math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด ''f'' และ ''g'' ของตัวแปรต้นทั้งหมดโดยที่ {{nowrap|''g'' ≠ 0}}.
* ''[[กฎลูกโซ่]]'': ถ้า <math>f(x) = h(g(x))</math> แล้ว
:<math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \,</math>

=== ตัวอย่างการคำนวณ ===
อนุพันธ์ของ
: <math>f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,</math>

คือ

: <math>
\begin{align}
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln(x) \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\
      &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x
\end{align}
</math>

ในพจน์ที่สองของ {{math|''f''}} คำนวณโดยใช้[[กฎลูกโซ่]] และพจน์ที่สามใช้[[กฎผลคูณ]] นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, sin(''x''), ln(''x'') และ {{nowrap|1=exp(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}} รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย

== ทั่วไป ==
{{โครงส่วน}}

== ดูเพิ่ม ==
{{สถานีย่อย2|คณิตศาสตร์}}
* [[กณิกนันต์]]
* [[คณิตวิเคราะห์]]
* [[ปฏิยานุพันธ์]]
* [[ปริพันธ์]]
* [[ตัวผกผันการคูณ]]

== หมายเหตุ==
{{reflist|group=เชิงอรรถ}}

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง|2}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
*{{springer|title=Derivative|id=p/d031260}}
*[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"]
*{{MathWorld |title=Derivative |id=Derivative}}
*[http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator/ Online Derivative Calculator] from [[Wolfram Alpha]].
{{หัวข้อแคลคูลัส}}
[[หมวดหมู่:แคลคูลัส]]
[[หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่]]
[[หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์]]
{{โครงคณิตศาสตร์}}