ดูต้นฉบับสำหรับ อนุกรมฟูรีเย

{{ต้องการอ้างอิง}}
'''อนุกรมฟูรีเย''' ({{langx|en|Fourier series}}) เป็น[[อนุกรม]]ที่แต่ละพจน์เป็นผลคูณระหว่างสัมประสิทธิ์และ[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]] โดยทั่วไปอนุกรมฟูรีเยสามารถใช้เป็นอนุกรมแทนฟังก์ชันคาบได้

== ประวัติ ==
''ดูประวัติที่บทความหลัก [[การแปลงฟูรีเย]]''

อนุกรมฟูรีเยตั้งชื่อตาม[[โฌแซ็ฟ ฟูรีเย]] ผู้ริเริ่มใช้อนุกรมฟูรีเยเพื่อใช้แก้[[สมการความร้อน]]บนแผ่นโลหะ<ref>{{Cite book|last=Simmons|first=George F.|url=https://www.worldcat.org/oclc/961248509|title=Differential equations with applications and historical notes|date=2017|publisher=Taylor & Francis Inc|isbn=978-1-4987-0259-1|edition=3rd|location=Boca Raton|pages=299-300|oclc=961248509}}</ref>

== นิยาม ==
พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน ''f''(''x'') ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ  2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

{|border="0" cellpaddin="5" cellspacing="10" width=100%
|- style="background-color: gainsboro"
! อนุกรมฟูรีเย
! สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
|-
|align = center|<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.</math>
|<math>\qquad F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx.</math>
|-
|colspan = 2| จาก [[สูตรของออยเลอร์]] (Euler's formula)  <math>e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx) \,\!</math> เราสามารถเขียน ''f''(''x'') อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ <math>\cos(nx) \,\!</math> และ <math>\sin(nx) \,\!</math> 
|-
|align = center |<math>f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]</math> 
|<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx</math> <br />
<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx</math>
|-
|colspan =2 |โดยที่ <math>F_n = (a_n - i b_n) / 2 \,</math>,  <math>F_{-n} = F_n^* </math> และ <math> F_{0} = a_0 / 2\,</math>
|}

== ตัวอย่าง ==
พิจารณาฟังก์ชัน <math> \, f(x) = x \,</math> สำหรับค่า <math> x \in (-\pi,\pi) </math> และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป
::[[ไฟล์:Exemple sèrie de Fourier.JPG|449x449px]]

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(''nx'') เป็น[[ฟังก์ชันคู่]] ในขณะที่ ''f'' เป็น[[ฟังก์ชันคี่]]เช่นเดียวกับ sin(''nx'')

:<math>a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\, dx= 0,</math>

:<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0,</math>

:<math> b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx</math>

::<math>=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\, dx= \frac{2}{\pi}\left(
\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi}
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}</math> 

สังเกตว่า ''a''<sub>0</sub> และ ''a<sub>n</sub>'' มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก ''x'' และ ''x'' cos(''nx'') เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ ''f''(''x'') = ''x'' คือ:

:<math>f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) </math>

::<math>=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)</math>

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของ[[ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]] ที่ ''s'' = 2

[[ไฟล์:Periodic identity function.gif|left|thumb|400px|ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ]]



== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

* {{Cite book|last=Stein|first=Elias M.|url=https://www.worldcat.org/oclc/51569246|title=Fourier analysis : an introduction|last2=Shakarchi|first2=Rami|date=2003|publisher=Princeton University Press|year=2003|isbn=0-691-11384-X|location=Princeton|oclc=51569246}}
{{โครงคณิตศาสตร์}}

[[หมวดหมู่:อนุกรม]]