ดูต้นฉบับสำหรับ หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก

{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
{{ต้องการอ้างอิง}}

[[ไฟล์:Inclusion-exclusion.svg|thumb|แผนภาพหลักการเพิ่มเข้าและตัดออกสำหรับกรณี 3 เซต]]
ใน [[คณิตศาสตร์เชิงการจัด]] '''หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก''' ({{langx|en|inclusion–exclusion principle}}) เป็น[[สมการ]] แสดงความสัมพันธ์ ของจำนวนสมาชิกของเซตจำกัดสองเซต ที่นำมายูเนียนกัน โดยหากกำหนด ''A'' และ ''B'' เป็นเซตจำกัดแล้ว
::<math>|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|. \,</math>
ความหมายของสมการนี้ คือ จำนวนสมาชิกของเซตจำกัดสองเซตที่นำมายูเนียนกัน มีค่าเท่ากับผลบวกของจำนวนสมาชิกของเซตทั้งสอง ลบกับจำนวนสมาชิกของอินเตอร์เซกชันของเซตทั้งสอง ในทำนองเดียวกัน สำหรับสามเซต ''A'', ''B'' และ ''C''
::<math>|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \,</math>
สมการนี้สามารถเห็นได้โดยการนับพื้นที่ส่วนต่างๆตามแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ด้านขวา
[[ไฟล์:inclusion-exclusion-3sets.png|thumb|แต่ละพจน์ของสูตรทำให้การนับถูกเพิ่มขึ้นทีละนิด จนสุดท้ายแต่ละบริเวณของแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ถูกนับหนึ่งครั้งพอดี]]

สำหรับกรณีทั่วไปของหลักการนี้ ให้ ''A''<sub>1</sub>, ..., ''A<sub>n</sub>'' เป็นเซตจำกัด แล้ว
:<math>
\begin{align}
\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| & {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|
-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| \\
& {}\qquad +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|
\end{align}</math>

โดย |''A''| บอกถึงจำนวนสมาชิกของเซต ''A'' ชื่อหลักการนี้มีมาจากการที่เพิ่มจำนวนสมาชิกของเซตเข้าไปเกินและตัดส่วนที่เกินทิ้ง

สูตรนี้คิดค้นโดย [[:en:Abraham de Moivre|Abraham de Moivre]] แต่หนังสือบางเล่มมีการกล่าวถึง [[:en:Daniel da Silva (mathematician)|Daniel da Silva]], [[เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเตอร์]] (Joseph Sylvester) หรือ [[อ็องรี ปวงกาเร]] (Henri Poincaré) ในฐานะผู้ร่วมพัฒนาหลักการนี้ด้วย {{Citation needed|date=October 2011}}

สำหรับกรณีสามเซต ''A'', ''B'', ''C'' หลักการเพิ่มเข้าและตัดออกสามารถแสดงโดยแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ตามภาพด้านขวา

==อ้างอิง==
[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2803 principle of inclusion-exclusion] จาก [http://planetmath.org PlanetMath] ภายใต้[[สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์]]


[[หมวดหมู่:หลักการทางคณิตศาสตร์|พหลักการเพิ่มเข้าและตัดออก]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น|พหลักการเพิ่มเข้าและตัดออก]]
[[หมวดหมู่:คณิตศาสตร์เชิงการจัด|พหลักการเพิ่มเข้าและตัดออก]]