หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก

แผนภาพหลักการเพิ่มเข้าและตัดออกสำหรับกรณี 3 เซต

ใน คณิตศาสตร์เชิงการจัด หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก (แม่แบบ:Langx) เป็นสมการ แสดงความสัมพันธ์ ของจำนวนสมาชิกของเซตจำกัดสองเซต ที่นำมายูเนียนกัน โดยหากกำหนด A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$

ความหมายของสมการนี้ คือ จำนวนสมาชิกของเซตจำกัดสองเซตที่นำมายูเนียนกัน มีค่าเท่ากับผลบวกของจำนวนสมาชิกของเซตทั้งสอง ลบกับจำนวนสมาชิกของอินเตอร์เซกชันของเซตทั้งสอง ในทำนองเดียวกัน สำหรับสามเซต A, B และ C

$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.$

สมการนี้สามารถเห็นได้โดยการนับพื้นที่ส่วนต่างๆตามแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ด้านขวา

แต่ละพจน์ของสูตรทำให้การนับถูกเพิ่มขึ้นทีละนิด จนสุดท้ายแต่ละบริเวณของแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ถูกนับหนึ่งครั้งพอดี

สำหรับกรณีทั่วไปของหลักการนี้ ให้ A₁, ..., A_n เป็นเซตจำกัด แล้ว

$\begin{array}{cc}\left|\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right|& =\sum _{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum _{i,j:1\le i<j\le n}|A_i\cap A_j|\\ & +\sum _{i,j,k:1\le i<j<k\le n}|A_i\cap A_j\cap A_k|-\cdots +{(-1)}^{n-1}|A_1\cap \cdots \cap A_n|\end{array}$

โดย |A| บอกถึงจำนวนสมาชิกของเซต A ชื่อหลักการนี้มีมาจากการที่เพิ่มจำนวนสมาชิกของเซตเข้าไปเกินและตัดส่วนที่เกินทิ้ง

สูตรนี้คิดค้นโดย Abraham de Moivre แต่หนังสือบางเล่มมีการกล่าวถึง Daniel da Silva, เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเตอร์ (Joseph Sylvester) หรือ อ็องรี ปวงกาเร (Henri Poincaré) ในฐานะผู้ร่วมพัฒนาหลักการนี้ด้วย แม่แบบ:Citation needed

สำหรับกรณีสามเซต A, B, C หลักการเพิ่มเข้าและตัดออกสามารถแสดงโดยแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ตามภาพด้านขวา

อ้างอิง

principle of inclusion-exclusion จาก PlanetMath ภายใต้สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์