ดูต้นฉบับสำหรับ สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

'''สัจพจน์ของความน่าจะเป็น''' ({{langx|en|the axioms of probability}}) ถูกเสนอเป็นครั้งแรกในปี [[ค.ศ. 1936]] โดย[[คอลโมโกรอฟ]] [[นักคณิตศาสตร์]]ชาวรัสเซีย<sup id="หมายเหตุ_1">[[#หมายเหตุ|1]]</sup> ใน[[ทฤษฎีความน่าจะเป็น]]ทาง[[คณิตศาสตร์]] [[ความน่าจะเป็น]]ถูกนิยามด้วย[[ฟังก์ชัน]] แต่ไม่ได้หมายความว่าทุก ๆ ฟังก์ชันจะสามารถแปลความหมายเป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นได้ทั้งหมด [[สัจพจน์]]ของความน่าจะเป็นจึงถูกนิยามมาเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันใดสามารถที่จะแปลความหมายในเชิงความน่าจะเป็นได้ กล่าวโดยสรุป '''ฟังก์ชันความน่าจะเป็น''' ก็คือ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติตรงกับที่สัจพจน์คอลโมโกรอฟกำหนดไว้ทุกข้อ ใน[[ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์]] สัจพจน์ของความน่าจะเป็นถูกเสนอ โดย[[บรูโน เด ฟิเนตติ]] นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนและ[[ริชาร์ด คอกซ์]] [[นักฟิสิกส์]]ชาวอเมริกัน เด ฟิเนตติเสนอสัจพจน์โดยมีแนวคิดมาจากเกมส์การพนัน ส่วนคอกซ์เสนอสัจพจน์ของเขาโดยมีแนวคิดมาจากการขยายความสามารถของ[[ตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล]] สิ่งที่น่าทึ่งก็คือ ''ในทางปฏิบัติโดยทั่วไปแล้ว''<sup id="หมายเหตุ_2">[[#หมายเหตุ|2]]</sup> สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์  จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน (ทั้ง ๆ ที่ทั้งสามท่านมีแนวคิดเริ่มต้นต่างกันโดยสิ้นเชิง)

== สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างง่าย ==
กำหนดให้ <math>P (x) </math> เป็น[[ฟังก์ชัน]]ใดๆ ทางคณิตศาสตร์  โดยมีโดเมนคือ <math>\Omega</math> เราจะกล่าวว่า <math>P (x) </math> เป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นก็ต่อเมื่อ <math>P (x) </math> มีคุณสมบัติต่อไปนี้

# <math> P (A) \geq 0 </math> สำหรับ <math>A</math> ที่เป็นสับเซตของ <math>\Omega</math>
# <math> P (\Omega) = 1 </math> 
# <math> P (A+B) = P (A) + P (B) </math> สำหรับ <math>A</math> และ <math>B</math> ที่เป็นสับเซตของ <math>\Omega</math> และ <math>A,B </math> ไม่มีสมาชิกร่วมที่เหมือนกันเลย

อนึ่ง เราจะเรียกแต่ละสมาชิกใน <math>\Omega</math> ว่า '''เหตุการณ์พื้นฐาน''' และ สับเซตเช่น <math>A,B</math> ของ <math>\Omega</math> ว่า '''เหตุการณ์''' (ถึงแม้ว่า ไม่ใช่ว่าทุกสับเซตใด ๆ ของ <math>\Omega</math> จะมีคุณสมบัติดังสัจพจน์ข้อที่ 3 แต่ในทางปฏิบัติสับเซตที่เรารู้จักต่างก็มีคุณสมบัติดังนั้นจริง ดูคำอธิบายที่สมบูรณ์ได้ในหัวข้อถัดไป)

== สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างสมบูรณ์ ==
นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง ''ทฤษฎีความน่าจะเป็น'' เป็นสาขาย่อยของ[[ทฤษฎีการวัด]] (measure theory) นั่นคือ มอง '''ความน่าจะเป็น''' เป็น '''ปริมาณ''' (แบบ[[นามธรรม]]) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งใน[[เซตจำกัด]]และ[[เซตอนันต์]] ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่[[โดเมน]]ของ[[ฟังก์ชันความน่าจะเป็น]]เป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด

ในบริบทของทฤษฏีการวัด, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นอธิบายได้ดังนี้

ค่าความน่าจะเป็น <math>\mathbb{P}</math> ของ[[เหตุการณ์]](event) <math> \mathbf{E} </math>, <math>\mathbb{P} (\mathbf{E}) </math> ขึ้นกับ "[[เอกภพสัมพัทธ์]]"(universe) หรือ "[[ปริภูมิของการสุ่ม]]"(sample space) <math> \boldsymbol{\Omega} </math> ของ[[เหตุการณ์พื้นฐาน]] ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ และ <math>\mathbb{P}</math> นั้นจะต้องมีคุณสมบัติตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ภายใต้บริบทของทฤษฎีการวัด ปริภูมิความน่าจะเป็น <math> ( \boldsymbol{\Omega} ,\mathfrak{F} , \mathbb{P}) </math> นิยามโดยมีฟังก์ชันการวัด <math>\mathbb{P}</math> เป็นฟังก์ชันการวัดที่ไม่เป็นลบบน ซิกม่าแอลจีบรา (σ-algebra) หรือ ซิกม่าฟิลด์ (σ-field) <math>\mathfrak{F}</math> ของทุก[[สับเซต]] ของ <math>\boldsymbol{\Omega}</math>  โดยที่ <math>\mathbb{P} (\boldsymbol{\Omega}) =1</math>

''หมายเหตุ: พยายามรักษารูปแบบการนำเสนอเดิมของ คอลโมโกรอฟ แต่มีการเปลี่ยนตัวแปรและเครื่องหมายที่ใช้''

=== สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ ===
ถ้า <math>\boldsymbol{\Omega}</math>  เป็น เชตของเหตุการณ์พื้นฐานของการสุ่ม 
# <math>\mathfrak{F}</math> เป็น ซิกมาฟิลด์ (σ-field) ที่นิยามบน <math>\boldsymbol{\Omega}</math>
# สำหรับทุก ๆ <math>\mathbf{A}</math> ใน <math>\mathfrak{F}</math> ค่าความน่าจะเป็น <math>\mathbb{P} (\mathbf{A}) </math>จะนิยามเป็นฟังก์ชันจำนวนจริง และมีค่าไม่เป็นจำนวนลบ บน <math>\mathfrak{F}</math>
# <math>\mathbb{P} (\boldsymbol{\Omega}) =1</math>
# ถ้า <math>\mathbf{A}</math> และ <math>\mathbf{B}</math> เป็นสองเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวเนื่องกัน (disjoint events) แล้ว <math> \mathbb{P} (\mathbf{A} \cup \mathbf{B}) = \mathbb{P} (\mathbf{A}) +\mathbb{P} (\mathbf{B}) </math>
# '' (สมมติฐานความต่อเนื่อง หรือ ความสมบูรณ์ของการบวก (σ-field)) '' ถ้า <math> \mathbf{A_1,A_2,}\ldots\mathbf{,A_n,}\ldots </math> เป็นลำดับของเหตุการณ์ใน <math>\mathfrak{F}</math> โดยที่ <math> \mathbf{A_1}\supset \mathbf{A_2} \supset \ldots \supset \mathbf{A_n} \supset \ldots </math> แล้ว  
#* <math> \bigcap_{n} \mathbf{A_n} = \varnothing </math> 
#* ซึ่งก็คือ <math> \lim_{n \to \infty}\mathbb{P} (\mathbf{A_n}) =0 </math>

และจากข้อ 4 และ ข้อ 5 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า 
<math> P (\bigcup_{n=1}^\infty \mathbf{A_n}) = \sum_{n=1}^\infty P (A_n) </math>

=== คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ ===
ในส่วนที่เราทุกคนรู้กันเป็นอย่างดีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือ หากเรามี '''เหตุการณ์''' <math> \mathbf{A} </math> ใด ๆ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นจะมีค่า <math>0 \leq \mathbb{P} (\mathbf{A}) \leq 1</math> และ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด <math>\mathbb{P} (\boldsymbol{\Omega}) =1</math>  

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟข้างต้น นอกเหนือจากจะกล่าวถึง คุณสมบัติของฟังก์ชันการกำหนดค่าความน่าจะเป็นแล้ว ยังได้ระบุถึงโครงสร้างของสิ่งที่ค่าความน่าจะเป็นจะถูกระบุลงไปอีกด้วย คือ '''ปริภูมิของเหตุการณ์''' (event space) ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น ปริภูมิของเหตุการณ์ ประกอบด้วย สับเซต ทั้งหมดของ ปริภูมิของการสุ่ม  <math>\boldsymbol{\Omega}</math> ที่เราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้  โดยปกติแล้วเราอาจไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของทุกสับเซตของ <math>\boldsymbol{\Omega}</math> ได้ สับเซตที่ระบุค่าความน่าจะเป็นได้นี้อธิบายในสัจพจน์ข้างต้นด้วย [[ฟิลด์]] และ [[ซิกม่าฟิลด์]]

ปกติเราสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้นจากเหตุการณ์อื่น ๆ ด้วยการใช้ตัวดำเนินการทางเซต เช่น หากเราพิจารณาแบบจำลองของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก โดยมีปริภูมิของการสุ่ม <math>\boldsymbol{\Omega} = \{1,2,3,4,5,6 \}</math> 
* เหตุการณ์ของการโยนออกแต้มเลขคี่ คือ <math>\{1,3,5\} = \{1\} \cup \{3\} \cup \{5\} </math>
* เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 คือ <math>\{1,2,3\} = \{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} </math>
* เหตุการณ์ของการออกแต้มไม่น้อยกว่า 4 คือ  <math> \{1,2,3\}^c = \{4,5,6\}</math>
* เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 และ เป็นเลขคี่ คือ <math>\{1,3,5\} \cap \{1,2,3\} = \{1,3\} </math>
* เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 หรือ เป็นเลขคี่ คือ <math>\{1,3,5\} \cup \{1,2,3\} = \{1,2,3,5\} </math>
เพราะฉะนั้น ผลลัพธ์จากการดำเนินการทางเซต จะได้ผลลัพธ์เป็นเหตุการณ์ คือ เป็นสับเซตที่สามารถระบุความน่าจะเป็นได้ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการทางเซต

'''ตัวอย่าง''' พิจารณา <math>\boldsymbol{\Omega} = \{1,2,3,4\}</math> หากเราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ <math> \mathbf{A} = \{1,2,3\}</math> และ <math> \mathbf{B} = \{3,4\} </math> ได้ สับเซตทั้งหมดที่สามารถหาค่าความน่าจะเป็นได้ คือ [[ฟิลด์]] ที่กำเนิดจากเหตุการณ์ทั้งสองข้างต้นคือ
:<math> \emptyset \quad \mathbf{A}\cap\mathbf{B}=\{3\} \quad \mathbf{A}^c\cap\mathbf{B}=\{4\} \quad \mathbf{B}^c=\mathbf{A}\cap\mathbf{B}^c=\{1,2\} \quad \mathbf{B}=\{3,4\} \quad \mathbf{A}=\{1,2,3\} \quad \boldsymbol{\Omega}</math>
สังเกตว่า เหตุการณ์ <math> \{1\} </math> และ <math> \{2\} </math> นั้นไม่ได้อยู่ในปริภูมิของเหตุการณ์ และ ไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้

ในกรณีของเหตุการณ์ นับได้จำนวนไม่จำกัด เช่น การโยนเหรียญจำนวนอินฟินิตีครั้ง ปริภูมิของเหตุการณ์จะอธิบายด้วย [[ซิกมาฟิลด์]] ซึ่งเป็นกลุ่มของสับเซตของปริภูมิของการสุ่ม ที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้ การดำเนินการทางเซต นับได้ จำนวนไม่จำกัด

{{บทความหลัก|ฟิลด์|ซิกม่าฟิลด์}}

== หมายเหตุ ==
[[#หมายเหตุ_1|<sup>1</sup>]] แม้ว่าคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นจะถูกพัฒนาขึ้นตั้งแต่มานานตั้งแต่ [[ปิแยร์ แฟร์มาต์]] [[แบลส์ ปาลกาล]] จนถึง [[ปิแยร์ ซิมง ลาปลัส]]ก็ตาม   นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้กำหนดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นอย่าง '''เคร่งครัด''' คล้ายกับกรณี[[ออกัสติน หลุยส์ โคชี่]]ได้นิยาม[[แคลคูลัส]]ของ[[ไอแซก นิวตัน]] กับ [[กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ]]อย่างเคร่งครัดใน[[คริสต์ศตวรรษที่ 19]] นั่นเอง

[[#หมายเหตุ_2|<sup>2</sup>]] อนึ่ง ในบทความนี้ได้กล่าวว่า ''ในทางปฏิบัติโดยทั่วไป'' สัจพจน์ของทั้งสามท่านได้ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน ''ในทางปฏิบัติ'' ในที่นี้หมายถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็น เป็น[[เซตจำกัด]] ทำให้ประเด็นเรื่อง [[การบวกได้เชิงเซตจำกัด]] (finite additivity) และ [[การบวกได้เชิงเซตอนันต์นับได้]] (countably additivity) <!--ว่าจะใช้ทับศัพท์แต่ไม่ไหวแฮะ--> ของทฤษฎีการวัดไม่ส่งผลต่อการใช้งานสัจพจน์. ในหนังสือของ[[เอดวิน ทอมป์สัน เจนส์]] (Jaynes, 2003) ได้วิเคราะห์ความเหมือน ความแตกต่าง แนวคิด และปรัชญา ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ ไว้อย่างละเอียดใน[[ภาคผนวก]] รวมทั้งยังนำเสนอวิธี[[การสังเคราะห์]]สัจพจน์ของคอกซ์อย่างละเอียดจาก ''ความต้องการพื้นฐานที่สมเหตุสมผล'' ของทฤษฏีความน่าจะเป็นแบบเบย์อีกด้วย

== อ้างอิง ==
{{เริ่มอ้างอิง}}
# Kolmogorov, A. N. (Andrei Nikolaevich) , ''Foundations of the theory of probability; translation edited by Nathan Morrison'', New York, Chelsea Pub. Co., 1950.
# de Finetti, B., ''Probability, induction and statistics: The art of guessing'', John Wiley & Sons Ltd., 1972.
# Jaynes, E.T. (2003) [http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html ''Probability Theory : The Logic of Science''].
{{จบอ้างอิง}}

[[หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น]]
[[หมวดหมู่:สัจพจน์ทางคณิตศาสตร์]]

[[de:Kolmogorow-Axiom]]
[[ja:確率空間]]