สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น (แม่แบบ:Langx) ถูกเสนอเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1936 โดยคอลโมโกรอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย¹ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นถูกนิยามด้วยฟังก์ชัน แต่ไม่ได้หมายความว่าทุก ๆ ฟังก์ชันจะสามารถแปลความหมายเป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นได้ทั้งหมด สัจพจน์ของความน่าจะเป็นจึงถูกนิยามมาเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันใดสามารถที่จะแปลความหมายในเชิงความน่าจะเป็นได้ กล่าวโดยสรุป ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติตรงกับที่สัจพจน์คอลโมโกรอฟกำหนดไว้ทุกข้อ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ สัจพจน์ของความน่าจะเป็นถูกเสนอ โดยบรูโน เด ฟิเนตติ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนและริชาร์ด คอกซ์ นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน เด ฟิเนตติเสนอสัจพจน์โดยมีแนวคิดมาจากเกมส์การพนัน ส่วนคอกซ์เสนอสัจพจน์ของเขาโดยมีแนวคิดมาจากการขยายความสามารถของตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล สิ่งที่น่าทึ่งก็คือ ในทางปฏิบัติโดยทั่วไปแล้ว² สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน (ทั้ง ๆ ที่ทั้งสามท่านมีแนวคิดเริ่มต้นต่างกันโดยสิ้นเชิง)

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างง่าย

กำหนดให้ $P(x)$ เป็นฟังก์ชันใดๆ ทางคณิตศาสตร์ โดยมีโดเมนคือ $\mathrm{\Omega }$ เราจะกล่าวว่า $P(x)$ เป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นก็ต่อเมื่อ $P(x)$ มีคุณสมบัติต่อไปนี้

1. $P(A)\ge 0$ สำหรับ $A$ ที่เป็นสับเซตของ $\mathrm{\Omega }$
2. $P(\mathrm{\Omega })=1$
3. $P(A+B)=P(A)+P(B)$ สำหรับ $A$ และ $B$ ที่เป็นสับเซตของ $\mathrm{\Omega }$ และ $A,B$ ไม่มีสมาชิกร่วมที่เหมือนกันเลย

อนึ่ง เราจะเรียกแต่ละสมาชิกใน $\mathrm{\Omega }$ ว่า เหตุการณ์พื้นฐาน และ สับเซตเช่น $A,B$ ของ $\mathrm{\Omega }$ ว่า เหตุการณ์ (ถึงแม้ว่า ไม่ใช่ว่าทุกสับเซตใด ๆ ของ $\mathrm{\Omega }$ จะมีคุณสมบัติดังสัจพจน์ข้อที่ 3 แต่ในทางปฏิบัติสับเซตที่เรารู้จักต่างก็มีคุณสมบัติดังนั้นจริง ดูคำอธิบายที่สมบูรณ์ได้ในหัวข้อถัดไป)

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างสมบูรณ์

นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง ทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory) นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็น ปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์ ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด

ในบริบทของทฤษฏีการวัด, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นอธิบายได้ดังนี้

ค่าความน่าจะเป็น $\mathbb{P}$ ของเหตุการณ์(event) $𝐄$, $\mathbb{P}(𝐄)$ ขึ้นกับ "เอกภพสัมพัทธ์"(universe) หรือ "ปริภูมิของการสุ่ม"(sample space) $\mathrm{\Omega }$ ของเหตุการณ์พื้นฐาน ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ และ $\mathbb{P}$ นั้นจะต้องมีคุณสมบัติตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ภายใต้บริบทของทฤษฎีการวัด ปริภูมิความน่าจะเป็น $(\mathrm{\Omega },𝔉,\mathbb{P})$ นิยามโดยมีฟังก์ชันการวัด $\mathbb{P}$ เป็นฟังก์ชันการวัดที่ไม่เป็นลบบน ซิกม่าแอลจีบรา (σ-algebra) หรือ ซิกม่าฟิลด์ (σ-field) $𝔉$ ของทุกสับเซต ของ $\mathrm{\Omega }$ โดยที่ $\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1$

หมายเหตุ: พยายามรักษารูปแบบการนำเสนอเดิมของ คอลโมโกรอฟ แต่มีการเปลี่ยนตัวแปรและเครื่องหมายที่ใช้

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ

ถ้า $\mathrm{\Omega }$ เป็น เชตของเหตุการณ์พื้นฐานของการสุ่ม

1. $𝔉$ เป็น ซิกมาฟิลด์ (σ-field) ที่นิยามบน $\mathrm{\Omega }$
2. สำหรับทุก ๆ $𝐀$ ใน $𝔉$ ค่าความน่าจะเป็น $\mathbb{P}(𝐀)$จะนิยามเป็นฟังก์ชันจำนวนจริง และมีค่าไม่เป็นจำนวนลบ บน $𝔉$
3. $\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1$
4. ถ้า $𝐀$ และ $𝐁$ เป็นสองเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวเนื่องกัน (disjoint events) แล้ว $\mathbb{P}(𝐀\cup 𝐁)=\mathbb{P}(𝐀)+\mathbb{P}(𝐁)$
5. (สมมติฐานความต่อเนื่อง หรือ ความสมบูรณ์ของการบวก (σ-field)) ถ้า ${𝐀}_{\mathrm{𝟏}},{𝐀}_{\mathrm{𝟐}},\dots ,{𝐀}_{𝐧},\dots$ เป็นลำดับของเหตุการณ์ใน $𝔉$ โดยที่ ${𝐀}_{\mathrm{𝟏}}\supset {𝐀}_{\mathrm{𝟐}}\supset \dots \supset {𝐀}_{𝐧}\supset \dots$ แล้ว
   • $\bigcap _n{𝐀}_{𝐧}=\varnothing$
   • ซึ่งก็คือ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}({𝐀}_{𝐧})=0$

และจากข้อ 4 และ ข้อ 5 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $P(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{𝐀}_{𝐧})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n)$

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในส่วนที่เราทุกคนรู้กันเป็นอย่างดีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือ หากเรามี เหตุการณ์ $𝐀$ ใด ๆ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นจะมีค่า $0\le \mathbb{P}(𝐀)\le 1$ และ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด $\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1$

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟข้างต้น นอกเหนือจากจะกล่าวถึง คุณสมบัติของฟังก์ชันการกำหนดค่าความน่าจะเป็นแล้ว ยังได้ระบุถึงโครงสร้างของสิ่งที่ค่าความน่าจะเป็นจะถูกระบุลงไปอีกด้วย คือ ปริภูมิของเหตุการณ์ (event space) ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น ปริภูมิของเหตุการณ์ ประกอบด้วย สับเซต ทั้งหมดของ ปริภูมิของการสุ่ม $\mathrm{\Omega }$ ที่เราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้ โดยปกติแล้วเราอาจไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของทุกสับเซตของ $\mathrm{\Omega }$ ได้ สับเซตที่ระบุค่าความน่าจะเป็นได้นี้อธิบายในสัจพจน์ข้างต้นด้วย ฟิลด์ และ ซิกม่าฟิลด์

ปกติเราสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้นจากเหตุการณ์อื่น ๆ ด้วยการใช้ตัวดำเนินการทางเซต เช่น หากเราพิจารณาแบบจำลองของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก โดยมีปริภูมิของการสุ่ม $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$

• เหตุการณ์ของการโยนออกแต้มเลขคี่ คือ $\{1,3,5\}=\{1\}\cup \{3\}\cup \{5\}$
• เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 คือ $\{1,2,3\}=\{1\}\cup \{2\}\cup \{3\}$
• เหตุการณ์ของการออกแต้มไม่น้อยกว่า 4 คือ $\{1,2,3{\}}^c=\{4,5,6\}$
• เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 และ เป็นเลขคี่ คือ $\{1,3,5\}\cap \{1,2,3\}=\{1,3\}$
• เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 หรือ เป็นเลขคี่ คือ $\{1,3,5\}\cup \{1,2,3\}=\{1,2,3,5\}$

เพราะฉะนั้น ผลลัพธ์จากการดำเนินการทางเซต จะได้ผลลัพธ์เป็นเหตุการณ์ คือ เป็นสับเซตที่สามารถระบุความน่าจะเป็นได้ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการทางเซต

ตัวอย่าง พิจารณา $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$ หากเราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $𝐀=\{1,2,3\}$ และ $𝐁=\{3,4\}$ ได้ สับเซตทั้งหมดที่สามารถหาค่าความน่าจะเป็นได้ คือ ฟิลด์ ที่กำเนิดจากเหตุการณ์ทั้งสองข้างต้นคือ

$\mathrm{\varnothing }𝐀\cap 𝐁=\{3\}{𝐀}^c\cap 𝐁=\{4\}{𝐁}^c=𝐀\cap {𝐁}^c=\{1,2\}𝐁=\{3,4\}𝐀=\{1,2,3\}\mathrm{\Omega }$

สังเกตว่า เหตุการณ์ $\{1\}$ และ $\{2\}$ นั้นไม่ได้อยู่ในปริภูมิของเหตุการณ์ และ ไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้

ในกรณีของเหตุการณ์ นับได้จำนวนไม่จำกัด เช่น การโยนเหรียญจำนวนอินฟินิตีครั้ง ปริภูมิของเหตุการณ์จะอธิบายด้วย ซิกมาฟิลด์ ซึ่งเป็นกลุ่มของสับเซตของปริภูมิของการสุ่ม ที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้ การดำเนินการทางเซต นับได้ จำนวนไม่จำกัด

หมายเหตุ

¹ แม้ว่าคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นจะถูกพัฒนาขึ้นตั้งแต่มานานตั้งแต่ ปิแยร์ แฟร์มาต์ แบลส์ ปาลกาล จนถึง ปิแยร์ ซิมง ลาปลัสก็ตาม นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้กำหนดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นอย่าง เคร่งครัด คล้ายกับกรณีออกัสติน หลุยส์ โคชี่ได้นิยามแคลคูลัสของไอแซก นิวตัน กับ กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซอย่างเคร่งครัดในคริสต์ศตวรรษที่ 19 นั่นเอง

² อนึ่ง ในบทความนี้ได้กล่าวว่า ในทางปฏิบัติโดยทั่วไป สัจพจน์ของทั้งสามท่านได้ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน ในทางปฏิบัติ ในที่นี้หมายถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็น เป็นเซตจำกัด ทำให้ประเด็นเรื่อง การบวกได้เชิงเซตจำกัด (finite additivity) และ การบวกได้เชิงเซตอนันต์นับได้ (countably additivity) ของทฤษฎีการวัดไม่ส่งผลต่อการใช้งานสัจพจน์. ในหนังสือของเอดวิน ทอมป์สัน เจนส์ (Jaynes, 2003) ได้วิเคราะห์ความเหมือน ความแตกต่าง แนวคิด และปรัชญา ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ ไว้อย่างละเอียดในภาคผนวก รวมทั้งยังนำเสนอวิธีการสังเคราะห์สัจพจน์ของคอกซ์อย่างละเอียดจาก ความต้องการพื้นฐานที่สมเหตุสมผล ของทฤษฏีความน่าจะเป็นแบบเบย์อีกด้วย

อ้างอิง

1. Kolmogorov, A. N. (Andrei Nikolaevich) , Foundations of the theory of probability; translation edited by Nathan Morrison, New York, Chelsea Pub. Co., 1950.
2. de Finetti, B., Probability, induction and statistics: The art of guessing, John Wiley & Sons Ltd., 1972.
3. Jaynes, E.T. (2003) Probability Theory : The Logic of Science.