ดูต้นฉบับสำหรับ รากที่ n

{{DISPLAYTITLE:รากที่ ''n''}}{{ความหมายอื่น2|รูต}}
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''รากที่ ''n''''' ของจำนวน ''x'' คือจำนวน ''r'' ที่ซึ่งเมื่อยกกำลัง ''n'' แล้วจะเท่ากับ ''x'' นั่นคือ
::<math>r^n = x\,</math>
ตัวแปร ''n'' คือจำนวนที่ใส่เข้าไปเป็น[[ดีกรี]]ของราก โดยทั่วไปรากของดีกรี ''n'' จะเรียกว่ารากที่ ''n'' เช่นรากของดีกรีสองเรียกว่า[[รากที่สอง]] รากของดีกรีสามเรียกว่า[[รากที่สาม]] เป็นอาทิ

ตัวอย่างเช่น
* 2 คือรากที่สองของ 4 เนื่องจาก 2<sup>2</sup> = 4
* −2 ก็คือรากที่สองของ 4 เช่นกันเนื่องจาก (−2)<sup>2</sup> = 4
รากที่ ''n'' ของจำนวนหนึ่งอาจมีหลายคำตอบก็ได้และไม่จำเป็นต้องเป็น[[จำนวนจริง]]

รากเหล่านี้โดยปกติเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย'''กรณฑ์''' ซึ่งมีลักษณะดังนี้ <math>\sqrt{\,\,}</math> โดยส่วนบนจะยาวคลุมตัวถูกดำเนินการโดยตลอด (เสมือนเป็น[[วงเล็บ]]ในตัว) รากที่สองของ ''x'' เขียนแทนด้วย <math>\sqrt{x}</math> รากที่สามเขียนแทนด้วย <math>\sqrt[3]{x}</math> รากที่สี่เขียนแทนด้วย <math>\sqrt[4]{x}</math> เช่นนี้เรื่อยไป เมื่อจำนวนหนึ่งเขียนอยู่ภายใต้กรณฑ์ มันต้องให้ค่าออกมาเพียงค่าเดียวเหมือน[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] ดังนั้นรากที่เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ ซึ่งเรียกว่า '''รากที่ ''n'' มุขสำคัญ''' (principal ''n''-th root) จะเป็นจำนวนที่ถูกเลือกมากกว่ารากอื่น จำนวนติดกรณฑ์ที่ไม่ได้แจงค่าหรือหาค่ามิได้ บ่อยครั้งที่ถูกเรียกว่า'''เสิร์ด''' (surd)<ref>{{cite book |title=New Approach to CBSE Mathematics IX |first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> หรือ'''ราก''' (radical)<ref name=silver>{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=Algebra and trigonometry|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> ไปอย่างนั้น ในภาษาไทยนิยมเรียกสั้น ๆ ว่า'''รูต''' (root)

ใน[[แคลคูลัส]] รากต่าง ๆ ถือว่าเป็นกรณีพิเศษของ[[ยกกำลัง]]ซึ่งมี[[เลขชี้กำลัง]]เป็น[[เศษส่วน]]ดังนี้
::<math>\sqrt[n]{x} \,=\, x^{(1/n)}</math>

รากต่าง ๆ มีความสำคัญโดยเฉพาะกับทฤษฎีของ[[อนุกรม]]อนันต์ ซึ่ง[[การทดสอบโดยราก]]เป็นตัวพิจารณา[[รัศมีของการลู่เข้า]]ของ[[อนุกรมกำลัง]] รากที่ ''n'' อาจสามารถนิยามสำหรับ[[จำนวนเชิงซ้อน]]และรากเชิงซ้อนของ 1 ([[รากปฐมฐาน]]) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ชั้นสูง [[ทฤษฎีกาลัว]]จำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่า[[จำนวนเชิงพีชคณิต]]สามารถเขียนแทนในรูปของกรณฑ์ได้ นำไปสู่[[ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินี]]ที่ว่า[[พหุนาม]]ดีกรีห้าขึ้นไปโดยทั่วไปไม่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้รากเพียงอย่างเดียว

== ประวัติ ==
ต้นกำเนิดเกี่ยวกับเครื่องหมายกรณฑ์ (radical symbol, root symbol) <math>\sqrt{\,\,}</math> นั้นยังเป็นที่สงสัยอยู่ โดย[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]]<ref>{{cite book|title=''Institutiones calculi differentialis''|url=https://archive.org/details/bub_gb_sYE_AAAAcAAJ|author=Leonhard Euler|year=1755|language=la}}</ref> เชื่อว่ามันมีที่มาจากอักษรตัว ''r'' ซึ่งเป็นตัวอักษรขึ้นต้นของคำว่า ''[[radix]]'' ในภาษาลาตินอันมีความหมายเช่นเดียวกับการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนเดิม ซึ่งเครื่องหมายนี้ถูกตีพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่ปรากฏเส้นลากข้างบนในปี ค.ศ. 1525 ในหนังสือ ''Die Coss'' โดย [[คริสตอฟ รูดอล์ฟ]] นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

== คุณสมบัติทั่วไป ==
# ค่าในกรณฑ์ต้องไม่เป็นจำนวนจริงลบจึงจะยังคงเป็นจำนวนจริง แต่หากค่าในกรณฑ์ติดลบ ถือว่าเป็น[[จำนวนจินตภาพ]]
# ค่าในกรณฑ์หากเป็นทศนิยมไปเรื่อย ๆ อย่างเช่น <math>\sqrt{2} =  1.414213562373095048... </math> จะไม่พบตำแหน่งที่เริ่มมีการซ้ำได้
# <math>\sqrt[n]{a} \cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} </math>
# <math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}</math>
# <math>\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{...}}}} = \sqrt[n-1]{a}</math>
# <math>\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{+...}}}} = \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}</math>
# <math>\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{-...}}}} = \frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}</math>
# <math>\sqrt{a}^2   \neq </math>  <math>   \pm \left| a \right| </math> เมื่อ  <math> a < 0 </math>

== ปฏิบัติการมูลฐาน ==

* การใช้งานเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีดังนี้:

:<math>
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad ; a \ge 0, b \ge 0
</math>

:<math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad ; a \ge 0, b > 0</math>

:<math>
\sqrt[n]{a^m} = \left (\sqrt[n]{a}\right) ^m = \left (a^{\frac{1}{n}}\right) ^m = a^{\frac{m}{n}},
</math> ; a > 0, b > 0
* ขณะที่ ''a'' และ ''b'' ต่างเป็นจำนวนบวก 

และทุก ๆ ''a'' เป็น[[จำนวนเชิงซ้อน]]ที่ไม่ใช่[[ศูนย์]] จะทำให้มี b เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน n จำนวนซึ่ง ''b''<sup>''n''</sup> = ''a'', ดังนั้นการใช้ <math>\sqrt[n]{a}</math> จึงไม่อาจใช้อย่างกำกวมได้ รากที่ n ของ [[รากของเอกภพ]] จึงมีความสำคัญยิ่ง

จำนวนสามารถเปลี่ยนไปอยู่ในรูป[[การยกกำลัง|เอกซ์โปเนนเชียล]]ได้ โดยให้รากที่ต้องการอยู่ในรูปของส่วนในเศษส่วนเลขยกกำลังได้ ดังนี้

:<math>a^m a^n = a^{m+n} \,</math>

:<math>\left ({\frac{a}{b}}\right) ^m = \frac{a^m}{b^m}</math>

:<math> (a^m) ^n = a^{mn} \,</math>

ตัวอย่าง:
:<math>\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15}</math>
:<math>\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = a^\frac{1}{2}a^\frac{-1}{4}= a^\frac{4 - 2}{8} = a^\frac{2}{8} = a^\frac{1}{4}</math>

* การที่จะรื้อออกเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีความสำคัญ โดยจะต้องยึดหลักดังต่อไปนี้.
:<math>\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}</math>

เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานในการนำตัวเลขเข้าและออกเครื่องหมายกรณฑ์แล้ว ก็จะสามารถจัดกลุ่ม[[พหุนาม]]ได้ เช่น

:<math>\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}</math>
:<math>=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}</math>
:<math>=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}</math>
:<math>= ({a+a^2}) \sqrt[3]{a^2}</math>

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

[[หมวดหมู่:พีชคณิตมูลฐาน]]