ดูต้นฉบับสำหรับ ฟังก์ชันเป็นคาบ


'''ฟังก์ชันเป็นคาบ''' (periodic function) ในทาง[[คณิตศาสตร์]]หมายถึง[[ฟังก์ชัน]]ที่ให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นค่าที่ซ้ำกัน บนช่วงจำกัดหนึ่ง ๆ เรียกว่า ''คาบ'' ซึ่งบวกเข้ากับตัวแปรต้น ตัวอย่างในชีวิตประจำวันจะสามารถเห็นได้จากตัวแปรต้นที่เป็น[[เวลา]] เช่นเข็ม[[นาฬิกา]]หรือ[[ข้างขึ้นข้างแรม]]ของ[[ดวงจันทร์]] จะแสดงพฤติกรรมที่ซ้ำกันเป็นช่วง ๆ

== นิยาม ==
สำหรับฟังก์ชันบน[[จำนวนจริง]]หรือ[[จำนวนเต็ม]]ที่ให้ค่าซ้ำกันเป็นช่วง ๆ นั่นหมายความว่า[[กราฟ]]ทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นสามารถวาดได้จากการคัดลอกกราฟในช่วงที่ซ้ำกันต่อไปเรื่อย ๆ หรือในทางที่เจาะจงกว่านี้ ฟังก์ชัน ''f'' จะเรียกว่าฟังก์ชันเป็นคาบ บนทุก ๆ คาบ ''P'' ที่มากกว่า[[ศูนย์]] เมื่อ
::<math>f(x+P) = f(x)</math>
สำหรับทุกค่าของ ''x'' ที่อยู่ในโดเมนของ ''f''

และเมื่อ ''f'' เป็นฟังก์ชันเป็นคาบแล้ว จะได้
::<math>f(x+nP) = f(x)</math>
สำหรับทุกค่าของ ''n'' ที่เป็นจำนวนเต็ม

== ตัวอย่าง ==
[[ไฟล์:Sine cosine plot.svg|thumb|กราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์]]
จากนิยามข้างต้น หากค่า ''P'' เท่ากับ 1 จะได้
::<math>f(x) = f(x+1) = f(x+2) = ...</math>
และเนื่องจากคาบของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่น้อยที่สุด ดังนั้นค่า ''P'' สามารถเท่ากับ 2 ก็ได้

อีกตัวอย่างหนึ่งสามารถสังเกตได้จากฟังก์ชัน ''f'' ที่ให้ผลลัพธ์เป็น "เศษหลังจุดทศนิยม" ของตัวแปรต้น
::<math>f(0.5) = f(1.5) = f(2.5) = ... = 0.5</math>
ซึ่งจะมีช่วงที่ซ้ำกันบนคาบ ''P'' ที่เท่ากับ 1 และกราฟของฟังก์ชันนี้เป็นรูป[[คลื่นฟันเลื่อย]] (sawtooth wave)

ใน[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]] ไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันเป็นคาบอย่างหนึ่ง ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2π

[[หมวดหมู่:แคลคูลัส]]
[[หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน]]
[[หมวดหมู่:การวิเคราะห์ฟูรีเย]]
[[หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่]]