ดูต้นฉบับสำหรับ ผลคูณไขว้

{{ต้องการอ้างอิง}}
[[ไฟล์:Crossproduct.png|thumb|ผลคูณไขว้ '''a''' × '''b''' มีทิศตรงข้ามกับ '''b''' × '''a''']]
'''ผลคูณไขว้''' หรือ '''ผลคูณเชิงเวกเตอร์''' ในทาง[[คณิตศาสตร์]] คือ [[การดำเนินการทวิภาค]]บน[[เวกเตอร์]]สองอันใน[[ปริภูมิแบบยุคลิด]]สามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่[[ตั้งฉาก]]กับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่[[ผลคูณจุด]]ของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณ[[สเกลาร์]] ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มี[[คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม]] เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับ[[ปริภูมิอิงระยะทาง]] (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับ[[การกำหนดทิศทาง]] (orientation)

== นิยาม ==
[[ไฟล์:Right hand cross product.png|thumb|การหาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ด้วย[[กฎมือขวา]] ]]
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน '''a''' และ '''b''' ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย '''a''' × '''b''' (อ่านว่า ''เอ ครอสส์ บี'') คือเวกเตอร์ '''c''' ที่ตั้งฉากกับทั้ง '''a''' และ '''b''' โดยมีทิศทางตาม[[กฎมือขวา]]และมีขนาดเท่ากับ[[พื้นที่]]ของ[[รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน]]ที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม

ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จาก[[สูตร]]
::<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{\hat{n}}</math>
เมื่อ ''θ'' คือขนาดของ[[มุม]] (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง '''a''' กับ '''b''' (0° ≤ ''θ'' ≤ 180°) ''a'' กับ ''b'' ในสูตรคือ[[ขนาด (คณิตศาสตร์)|ขนาด]]ของเวกเตอร์ '''a''' และ '''b''' ตามลำดับ และ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> คือ[[เวกเตอร์หน่วย]]ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ '''a''' และ '''b''' ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็น[[เวกเตอร์ศูนย์]] '''0'''

ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้[[นิ้วชี้]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''a''' และ[[นิ้วกลาง]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''b''' ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> จะอยู่ที่[[นิ้วโป้ง]] (ดูรูปทางขวาประกอบ)

== วิธีคำนวณผลคูณไขว้ ==
=== สัญกรณ์พิกัด ===
กำหนดให้ '''i''', '''j''', '''k''' เป็นเวกเตอร์หน่วยในระบบพิกัดมุมฉาก ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันตามคุณสมบัติต่อไปนี้
:: <math>\begin{array}{lcl}
\mathbf{i} \times \mathbf{j} &=& \mathbf{k} \\
\mathbf{j} \times \mathbf{k} &=& \mathbf{i} \\
\mathbf{k} \times \mathbf{i} &=& \mathbf{j} \\
\end{array}</math>

โดยเวกเตอร์ '''a''' และ '''b''' สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบของ '''i''', '''j''', '''k''' ได้ดังนี้
:: <math>\begin{align}
\mathbf{a} &= a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} = (a_1, a_2, a_3) \\
\mathbf{b} &= b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} = (b_1, b_2, b_3) \\
\end{align}</math>

ผลคูณไขว้ '''a''' × '''b''' สามารถคำนวณได้จากสูตรนี้ โดยไม่ต้องพิจารณาขนาดของมุม
:: <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} = (a_2b_3 - a_3b_2, \ a_3b_1 - a_1b_3, \ a_1b_2 - a_2b_1)</math>

=== สัญกรณ์เมทริกซ์ ===
สัญกรณ์พิกัดข้างต้นสามารถเขียนได้อีกอย่างหนึ่งเป็น[[ดีเทอร์มิแนนต์]]ของ[[เมทริกซ์]]ดังนี้

::<math>
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix} =
\mathbf{i}(a_2b_3) + \mathbf{j}(a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2) - \mathbf{i}(a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3) - \mathbf{k}(a_2b_1)
</math>

== ดูเพิ่ม ==
* [[ผลคูณจุด]]

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* [http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357  Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150905192839/http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357 |date=2015-09-05 }} (it is only possible in 7-D space)
* [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/RealComplexProducts.shtml Real and Complex Products of Complex Numbers]
* [http://www.turbosite.com.ar/vectorproduct/ Vector Product Calculator] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070928082654/http://www.turbosite.com.ar/vectorproduct/ |date=2007-09-28 }} Online application to calculate the vector product of 3 element vectors
* [http://physics.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html An interactive tutorial] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060424151900/http://physics.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html |date=2006-04-24 }} created at [[Syracuse University]] - (requires [[Java (programming language)|java]])
* [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/Cross.pdf W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/mul_vec.shtml Multiplication of Vectors]

[[หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม]]
[[หมวดหมู่:พีชคณิตเชิงเส้น]]
[[หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค]]
{{โครงคณิตศาสตร์}}