ดูต้นฉบับสำหรับ ปริพันธ์

{{ต้องการอ้างอิง}}
{{แคลคูลัส}}
ใน[[คณิตศาสตร์]] '''ปริพันธ์''' หรือ '''อินทิกรัล''' ({{langx|en|integral}}) เป็นการกำหนดค่าให้กับฟังก์ชัน ซึ่งอาจมองได้เป็นการรวมปริมาณย่อยขนาดเล็กมาก ๆ ของฟังก์ชันนั้นเข้าด้วยกันในรูปแบบที่คล้ายคลึงกับ การกระจัด พื้นที่ ปริมาตร และแนวคิดอื่นที่เกี่ยวข้อง เรียกกระบวนการหาปริพันธ์ว่า '''การหาปริพันธ์''' หรือ '''อินทิเกรชัน''' ({{langx|en|integration}}) การหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามของกันและกันต่างเป็นการดำเนินการพื้นฐานของแคลคูลัส<ref>{{Cite book|last=Anton|first=Howard|url=https://www.worldcat.org/oclc/923547502|title=Calculus : early transcendentals|date=2015|others=Irl Bivens, Stephen Davis|isbn=1-118-88382-9|edition=11th edition, Wiley binder version|location=Hoboken, NJ|oclc=923547502}}</ref>  

ปริพันธ์ที่หาค่าออกมาแล้วเรียกว่า '''ปริพันธ์จำกัดเขต''' (definite integral) ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันบนระนาบ พร้อมกับกำหนดเครื่องหมายบวก/ลบ ให้กับพื้นที่ หากพื้นที่นั้นอยู่เหนือแกน ''X'' หรืออยู่ใต้แกน ''X'' ตามลำดับ บางครั้งคำว่าปริพันธ์อาจสื่อุถึง[[ปฏิยานุพันธ์]] ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันที่กำหนด บางครั้งเรียกว่า'''ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต''' (indefinite integral) [[ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส]]อธิบายความเกี่ยวข้องระหว่างแนวคิดทั้งสอง และความเกี่ยวข้องระหว่างปริพันธ์กับอนุพันธ์ 

แม้ว่าการหาพื้นที่และปริมาตรด้วยการรวมส่วนเล็ก ๆ เข้าด้วยกันจะปรากฏในคณิตศาสตร์สมัยกรีกโบราณ แต่แนวคิดปริพันธ์อย่างในปัจจุบันนั้นกำเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 โดย ไอแซค นิวตัน และ ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ ต่างค้นพบด้วยตัวของตัวเองทั้งคู่ โดยมองว่าปริพันธ์คือการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งด้วยการรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าใต้เส้นโค้งที่มี[[กณิกนันต์|ความยาวน้อยมาก ๆ]] เข้าด้วยกัน [[แบร์นฮาร์ท รีมัน|แบร์นฮาร์ด รีมันน์]]เป็นคนแรกที่นิยามแนวคิดดังกล่าวอย่างรัดกุม จึงได้ชื่อว่าเป็น[[ปริพันธ์แบบรีมันน์]] ในภายหลังมีการขยายแนวคิดปริพันธ์แบบรีมันน์ออกไปให้สามารถอินทิเกรตฟังก์ชันได้เพิ่มมากขึ้น ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์สมัยใหม่คือ [[ปริพันธ์แบบเลอเบก]]<ref>''"The most important generalization of the concept of an integral. "'' ใน {{Cite web|title=Lebesgue integral - Encyclopedia of Mathematics|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Lebesgue_integral|website=encyclopediaofmath.org}}</ref>

== ประวัติ ==
{{โครงส่วน}}

== สัญลักษณ์และศัพท์ที่เกี่ยวข้อง ==
โดยทั่วไปแล้ว ปริพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริง {{Math|''f''(''x'')}} เทียบกับตัวแปรค่าจริง {{Math|''x''}} บนช่วงปิด {{Math|[''a'', ''b'']}} จะเขียนแทนด้วย

: <math>\int_{a}^{b} f(x) \,dx</math>

การหาปริพันธ์ข้างต้นแทนการหาปริพันธ์จำกัดเขต โดยสัญลักษณ์ &int; หมายถึงการหาปริพันธ์ จุด {{Math|''a''}} และ ''{{Math|b}}'' หมายถึงขอบเขตของช่วงที่เราจะหา, สัญลักษณ์ {{Math|''f''(''x'')}} คือฟังก์ชันที่เราต้องการหาปริพันธ์หรือ ''ปริพัทธ์'' (integrand) และสัญลักษณ์ ''{{Math|''dx''}}'' ซึ่งเรียกว่า ''[[ผลต่างเชิงอนุพันธ์|ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของ {{Math|''x''}}]]'' หรือ ''ดิฟเฟอเรนเชียลของ'' {{Math|''x''}} บ่งว่าตัวแปรของการหาปริพันธ์คือ {{Math|''x''}} 

หากไม่ระบุช่วงที่หาอินทิกรัล หรือเขียนเป็น 

: <math>\int f(x) \,dx</math> 

ปริพันธ์ข้างต้นเป็นปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ซึ่งแทนคลาสของฟังก์ชันทั้งหมดที่หาอนุพันธ์ได้ตัวปริพัทธ์ {{Math|''f''(''x'')}} เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติดังกล่าวว่า [[ปฏิยานุพันธ์]]ของ {{Math|''f''(''x'')}}<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=259}}.</ref> ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคุลัสจะเชื่อมโยงปริพันธ์ไม่จำเขตและปริพันธ์จำกัดเขตเข้าด้วยกัน นอกจากนี้ยังมีการดัดแปลงสัญลักษณ์การหาปริพันธ์ข้างต้นไปสำหรับโดเมนอื่น ๆ หรือปริพันธ์ในมิติที่สูงกว่า 

[[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ|ไลบ์นิซ]]เป็นคนแรกที่ใช้เครื่องหมายปริพันธ์เป็น &int; ซึ่งดัดแปลงมาจากตัว [[s ยาว]] (''ſ)'' แทนสัญลักษณ์ของปริพันธ์ ที่มาของ s ยาว นั้นมาจากคำว่า "''summa''" หรือเขียนว่า ''ſumma'' ซึ่งแปลว่าผลบวก สัญลักษณ์ที่ใช้ในปัจจุบันโดยมีการเขียน {{Math|''a''}} และ ''{{Math|b}}'' ใต้และบนเครื่องหมายของปริพันธ์มาจาก[[Joseph Fourier|ฟูเรียร์]]<ref>{{Harvnb|Cajori|1929|loc=pp.&nbsp;249–250}}; {{Harvnb|Fourier|1822|loc=§231}}.</ref>

== นิยามของปริพันธ์ ==

=== ปริพันธ์แบบรีมันน์ ===
{{โครงส่วน}}

=== ปริพันธ์แบบเลอเบก ===
{{โครงส่วน}}

== วิธีการหาปริพันธ์ ==
* [[การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า]]
* [[การหาปริพันธ์เป็นส่วน]]
* [[การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]]
* [[การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย]]

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

* {{Cite book|edition=11th|title=Calculus : Early Transcendentals|url=https://www.worldcat.org/oclc/923547502|date=2016|location=Hoboken, NJ|isbn=1-118-88382-9|oclc=923547502|first=Howard|last=Anton|last2=Bivens|first2=Irl C.|last3=Davis|first3=Stephen|publisher=John Wiley & Sons}}
* {{Citation|last=Cajori|first=Florian|title=A History Of Mathematical Notations Volume II|url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/247|volume=|pages=|year=1929|publisher=Open Court Publishing|isbn=978-0-486-67766-8}}
* {{Citation|last=Fourier|first=Jean Baptiste Joseph|title=Théorie analytique de la chaleur|url=https://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ|volume=|page=§231|year=1822|publisher=Chez Firmin Didot, père et fils|author-link=Joseph Fourier}} Available in translation as {{citation|last=Fourier|first=Joseph|title=The analytical theory of heat|url=https://archive.org/details/analyticaltheory00fourrich|volume=|pages=200–201|year=1878<!--original 1822-->|others=Freeman, Alexander (trans.)|publisher=Cambridge University Press}}

[[หมวดหมู่:แคลคูลัส]]
[[หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่]]
{{โครงคณิตศาสตร์}}{{หัวข้อแคลคูลัส}}