ดูต้นฉบับสำหรับ ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

{{short description|สาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาวัตถุทางเรขาคณิตผ่านพีชคณิต}}
[[ไฟล์:Torus.png|right|thumb|250x250px|[[ทอรัส (เรขาคณิต)|ทอรัส]]เป็นวัตถุที่มีการศึกษามากวัตถหนึ่งในทอพอโลยีเชิงพีชคณิต]]
'''ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต''' ({{Langx|en|Algebraic topology}}) เป็นสาขาหนึ่งของ[[คณิตศาสตร์]]ที่ใช้เครื่องมือทาง[[พีชคณิตนามธรรม]]เพื่อศึกษา[[ปริภูมิเชิงทอพอโลยี]] เป้าหมายพื้นฐานสุดของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตคือการค้นหา[[Invariants (mathematics)|ตัวยืนยง]]ทางพีชคณิตที่สามารถจัดประเภทปริภูมิเชิงทอพอโลยี ([[Up to|จนถึงขั้น]]ภาวะสมสัณฐาณ) แม้ว่าโดยปกติแล้วตัวยืนยงส่วนใหญ่จะจัดประเภทปริภูมิเชิงทอพอโลยีจนถึงขั้นภาวะสมมูลเชิงฮอมอโทปี

ถึงแม้ว่าทอพอโลยีเชิงพีชคณิตจะใช้พีชคณิตในการศึกษาปัญหาทางทอพอโลยีเป็นหลัก แต่ทอพอโลยีก็สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาในพีชคณิตได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตสามารถใช้พิสูจน์ได้โดยง่ายว่า [[กรุปย่อย]]ใด ๆ ของ[[กรุปเสรี]]เป็น[[กรุปเสรี]]ด้วย

== สาขาหลัก ==
ด้านล่างเป็นสาขาหลัก ๆ ในวิชาทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

=== กรุปฮอมอโทปี ===
{{Main|กรุปฮอมอโทปี}}
กรุปฮอมอโทปี (homotopy group) ใช้ในวิชาทอพอโลยีเชิงพีชคณิตเพื่อจัดประเภทปริภูมิเชิงทอพอโลยี กลุ่มฮอมอโทปีที่นิยามเป็นอันแรกและมีรูปแบบง่ายที่สุดคือ[[Fundamental group|กรุปพื้นฐาน]] (fundamental group) ซึ่งบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับ[[Loop|วงวน]]ในปริภูมิ อาจอธิบายให้เห็นภาพได้ว่ากรุปฮอมอโทปีระบุข้อมูลเกี่ยวกับรูปร่างพื้นฐานหรือรูของปริภูมิทอพอโลยี

=== ฮอมอโลยี ===
{{Main|Homology (mathematics)|l1 = ฮอมอโลยี}}
ฮอมอโลยี (homology จากภาษา{{Lang-gr|ὁμός}} ''homos'' "เหมือนกัน") เป็นกระบวนการแบบหนึ่งในการกำหนดลำดับของ[[กรุปอาบีเลียน]]หรือ[[มอดูล]]ให้กับ[[ปริภูมิเชิงทอพอโลยี]]หรือกรุป<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=163}}</ref>

=== โคฮอมอโลยี ===
{{Main|โคฮอมอโลยี}}

ในทฤษฎีฮอมอโลยีและทอพอโลยีเชิงพีชคณิต เป็นชื่อเรียกลำดับของกรุปอาบีเลียนที่ได้จาก[[Cochain complex|โคเชนคอมเพล็กซ์]] (cochain complex) สามารถมองว่าโคฮอมอโลยีเป็นการกำหนดตัวยืนยงทางพีชคณิตให้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ละเอียดกว่าฮอมอโลยี 

=== แมนิโฟลด์ ===
{{Main|แมนิโฟลด์}}

แมนิโฟลด์เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือนกับ[[ปริภูมิแบบยุคลิด]] ตัวอย่างเช่น [[ระนาบ]] [[ทรงกลม]] และ[[ทอรัส (เรขาคณิต)|ทอรัส]]ที่สามารถสร้างได้ในปริภูมิสามมิติ แต่ยังรวม[[Klein bottle|ขวดของไคลน์]] และ[[ปริภูมิเชิงภาพฉายจริง]]ที่ไม่สามารถฝังเข้าไปในปริภูมิสามมิติได้ แต่ฝังเข้าในปริภูมิสี่มิติได้ 

โดยทั่วไปการศึกษาแมนิโฟลด์ในทอพอโลยีเชิงพีชคณิตจะสนใจมุมมองทั้งหมด (global) ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ได้ของแมนิโฟลด์ เช่น [[ภาวะคู่กันปวงกาเร]] 

=== ทฤษฎีเงื่อน ===
{{Main|ทฤษฎีเงื่อน}}

ทฤษฎีเงื่อนศึกษาเกี่ยวกับ[[เงื่อนทางคณิตศาสตร์]] แม้ว่าเงื่อนในทางคณิตศาสตร์ จะได้รับแรงบันดาลใจจากเงื่อนที่ปรากฏในชีวิตประจำวัน เช่น จากเชือกผูกรองเท้าและจากเชือก แต่เงื่อนของนักคณิตศาสตร์จะแตกต่างไป ตรงที่ปลายทั้งสองข้างถูกเชื่อมเข้าด้วยกันไม่ให้คลายออกได้ ในภาษาคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ จะกล่าวว่า เงื่อน (knot) คือ[[Embedding|การฝัง]] (embedding)  [[รูปวงกลม|วงกลม]]ใน[[ปริภูมิแบบยุคลิด]]สามมิติ <math>\mathbb{R}^3</math>เงื่อนทางคณิตศาสตร์สองเงื่อนจะเทียบเท่ากันหากเงื่อนหนึ่งสามารถเปลี่ยนเป็นอีกเงื่อนหนึ่งได้โดยการแปลงรูป <math>\mathbb{R}^3</math> ที่คงตัวมันเอง (เรียกว่า [[ambient isotopy]]) การแปลรูปเหล่านี้เป็นการจัดการกับเส้นเชือกที่ผูกเงื่อนไว้อยู่ โดยไม่ตัดหรือแทงเส้นเชือกทะลุเข้าตัวมันเอง

=== คอมเพล็กซ์ ===
{{Main|Simplicial complex|CW complex}}
[[ไฟล์:Simplicial_complex_example.svg|thumb|200x200px|ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์มิติ 3 รูปแบบหนึ่ง]]
'''ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์''' (simplicial complex) เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีประเภทหนึ่ง ซึ่งสร้างขึ้นโดย "การติดกาว" [[จุด (คณิตศาสตร์)|จุด]] [[ส่วนของเส้นตรง]] [[รูปสามเหลี่ยม]] และรูปที่คล้ายกับสามเหลี่ยมในมิติ ''n'' ที่สูงขึ้นเข้าด้วยกัน (ดูภาพประกอบ) ระวังสับสนระหว่างซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์กับเซตซิมพลิเซียล (simplicial set) ที่ที่ปรากฏในทฤษฎีโฮโมโทปีซิมพลิเซียลสมัยใหม่ แนวคิดเสมือนซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ใน[[คณิตศาสตร์เชิงการจัด|คอมบินาทอริกซ์]]คือ[[Abstract simplicial complex|ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์นามธรรม]] 

'''CW''' '''คอมเพล็กซ์''' (CW complex) เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีประเภทหนึ่งที่ [[J. H. C. Whitehead]] เสนอขึ้นมาใช้ในทฤษฎีโฮโมโทปี ปริภูมิ CW คอมเพล็กซ์ประเภทนี้ทั่วไปกว่า และมีคุณสมบัติเชิงแคทิกอรีที่ดีกว่าซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ แต่ยังคงรักษาธรรมชาติเชิง[[คณิตศาสตร์เชิงการจัด|คอมบินาทอริกซ์]]ไว้ซึ่งทำให้สามารถคำนวณออกมาได้ (โดยใช้คอมเพล็กซ์ที่เล็กกว่ามาก) 

== การประยุกต์ใช้ ==
ตัวอย่างคลาสสิกของการประยุกต์ใช้ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตได้แก่:

* [[ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราวเออร์]]
* แรงค์เสรีของกรุปฮอมอโลยีอันดับที่ ''n'' คือ[[จำนวนเบตตี]]ตัวที่ ''n'' ซึ่งสามารถใช้คำนวณ[[ค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์-ปวงกาเร]]ได้
* เราสามารถใช้โครงสร้างเชิงอนุพันธ์ของแมนิโฟลด์เรียบผ่าน[[โคโฮโมโลยีเดอรัง]] หรือ[[โคโฮโมโลยีเชค]] หรือ[[โคโฮโมโลยีชีฟ]] เพื่อตรวจสอบภาวะการแก้ได้ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดบนแมนิโฟลด์
* แมนิโฟลด์จะเป็น[[แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางได้]] เมื่อกรุปฮอมอโลยีค่าจำนวนเต็มในมิติสูงสุดเป็นจำนวนเต็ม และจะกำหนดทิศทางไม่ได้ถ้าเป็น 0
* [[Hypersphere|ทรงกลมในมิติ ''n'']] จะมี[[สนามเวกเตอร์]]หนึ่งหน่วยที่ต่อเนื่อง และไม่เป็นศูนย์ที่ไหนเลย ก็ต่อเมื่อ ''n'' เป็นเลขคี่ (สำหรับ n = 2 บางครั้งเรียกทฤษฎีบทนี้ว่า "ทฤษฎีบทลูกบอลขนดก") 
* [[ทฤษฎีบทบอร์ซุก–อูลาม]]: การส่งต่อเนื่องจาก[[Hypersphere|ทรงกลมในมิติ ''n'']] ไปยังปริภูมิยูคลิดมิติ n จะส่งจุดที่เคยอยู่ตรงข้ามกันบนทรงกลมไปยังจุดเดียวกันอย่างน้อยหนึ่งคู่
* [[กรุปย่อย]]ใด ๆ ของ[[กรุปเสรี]]เป็น[[กรุปเสรี]]ด้วย ทฤษฎีบทนี้น่าสนใจเพราะเป็นทฤษฎีบทในพีชคณิต แต่บทพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดที่เป็นที่รู้จักใช้ทอพอโลยี

== อ้างอิง ==
{{Reflist}}

== รายการอ้างอิง ==
{{Commons category|Algebraic topology}}{{Wikiquote}}

* {{citation|last=Allegretti|first=Dylan G. L.|title=Simplicial Sets and van Kampen's Theorem|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGREREU2008.html|year=2008}} ''(Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).''
* {{citation|last=Bredon|first=Glen E.|title=Topology and Geometry|url=https://books.google.com/books?id=G74V6UzL_PUC|volume=139|year=1993|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer|isbn=0-387-97926-3|author-link=Glen Bredon}}.
* {{citation|last=Brown|first=R.|title=Higher dimensional group theory|url=http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.html|year=2007|archive-url=http://arquivo.pt/wayback/20160514115207/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.html|access-date=2022-08-17|archive-date=2016-05-14|author-link=Ronald Brown (mathematician)|url-status=dead}} ''(Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids)''.
* {{citation|last1=Brown|first1=R.|title=A van Kampen theorem for unions of non-connected spaces|journal=Arch. Math.|volume=42|pages=85–88|year=1984|doi=10.1007/BF01198133|last2=Razak|first2=A.|s2cid=122228464}}. "Gives a general theorem on the [[fundamental groupoid]] with a set of base points of a space which is the union of open sets."
* {{citation|last1=Brown|first1=R.|title=The homotopy double groupoid of a Hausdorff space|url=http://www.emis.de/journals/TAC/volumes/10/2/10-02abs.html|journal=Theory Appl. Categories|volume=10|issue=2|pages=71–93|year=2002|last2=Hardie|first2=K.|last3=Kamps|first3=H.|last4=Porter|first4=T.}}.
* {{citation|last1=Brown|first1=R.|title=On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces|journal=Proc. London Math. Soc.|volume=S3-36|issue=2|pages=193–212|year=1978|doi=10.1112/plms/s3-36.2.193|last2=Higgins|first2=P.J.}}. "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."
* {{citation|last1=Brown|first1=Ronald|title=Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids|url=http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html|volume=15|year=2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20090604050453/http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html|series=European Mathematical Society Tracts in Mathematics|publisher=European Mathematical Society|arxiv=math/0407275|isbn=978-3-03719-083-8|archive-date=2009-06-04|last2=Higgins|first2=Philip J.|last3=Sivera|first3=Rafael}} This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in [[singular homology]], or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on [[Crossed module|crossed modules]].
* {{citation|last1=Fraleigh|first1=John B.|title=A First Course In Abstract Algebra|year=1976|edition=2nd|location=Reading|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=0-201-01984-1}}
* {{citation|last1=Greenberg|first1=Marvin J.|title=Algebraic Topology: A First Course, Revised edition|url=https://archive.org/details/algebraictopolog00gree_0|year=1981|series=Mathematics Lecture Note Series|publisher=Westview/Perseus|isbn=9780805335576|last2=Harper|first2=John R.|author-link1=Marvin Greenberg|url-access=registration}}. A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.
* {{citation|last=Hatcher|first=Allen|title=Algebraic Topology|url=http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|year=2002|place=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-79540-0|author-link=Allen Hatcher}}. A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
* {{citation|last=Higgins|first=Philip J.|title=Notes on categories and groupoids|url=https://books.google.com/books?id=IqdIAAAAMAAJ|year=1971|publisher=Van Nostrand Reinhold|isbn=9780442034061}}
* {{citation|last=Maunder|first=C. R. F.|title=Algebraic Topology|year=1970|place=London|publisher=Van Nostrand Reinhold|isbn=0-486-69131-4}}.
* {{citation|last=tom Dieck|first=Tammo|title=Algebraic Topology|url=https://books.google.com/books?id=ruSqmB7LWOcC|year=2008|series=EMS Textbooks in Mathematics|publisher=European Mathematical Society|isbn=978-3-03719-048-7|author-link=Tammo tom Dieck}}
* {{citation|last=van Kampen|first=Egbert|title=On the connection between the fundamental groups of some related spaces|journal=[[American Journal of Mathematics]]|volume=55|issue=1|pages=261–7|year=1933|jstor=51000091|author-link=Egbert van Kampen}}

== อ่านเพิ่มเติม ==

* {{cite book|first=Allen|last=Hatcher|author-link=Allen Hatcher|url=http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|title=Algebraic topology|year=2002|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-79160-X}} and {{ISBN|0-521-79540-0}}.
* {{Springer|title=Algebraic topology|id=p/a011700}}
* {{cite book|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|title=A Concise Course in Algebraic Topology|year=1999|publisher=[[University of Chicago Press]]|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf|archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf|archive-date=2022-10-09|url-status=live|access-date=2008-09-27|name-list-style=vanc}} Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids.

[[หมวดหมู่:ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต]]