ดูต้นฉบับสำหรับ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

ใน[[คณิตศาสตร์]]สาขา[[ทฤษฎีจำนวน]] '''ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต, ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต''' หรือ '''ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียว''' ({{langx|en|fundamental theorem of arithmetic หรือ unique factorization theorem}})  เป็น[[ทฤษฎีบท]]ซึ่งกล่าวว่า[[จำนวนเต็ม]]บวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของ[[จำนวนเฉพาะ]]ได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น หากไม่สนใจการเรียงลำดับ<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=44}}</ref><ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=53}}</ref><ref>{{Harvtxt|Hardy|Wright|2008|loc=Thm 2}}</ref> ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน

:6936 = 2<sup>3</sup> · 3 · 17<sup>2</sup> &nbsp; หรือ &nbsp; 1200 = 2<sup>4</sup> · 3 · 5<sup>2</sup>

และไม่มีทางที่จะ[[การแยกตัวประกอบ|แยกตัวประกอบเฉพาะ]]ของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะในรูปแบบอย่างอื่น (หากเราไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ)

เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบทั้งหมดในผลคูณเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น เพราะการเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น <math>12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4</math>

ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม [[Prime number#Primality of one|1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ]] เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น <math>2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = \ldots</math>

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า [[โดเมนแยกตัวประกอบได้แบบเดียว]] (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมโครงสร้าง[[ริง]]จำนวนมากในพีชคณิต ตั้งแต่ [[โดเมนไอดีลมุขสำคัญ]] (principal ideal domain หรือ PID) [[โดเมนยูคลิเดียน]] (Euclidean domain) และจนถึง[[ริงพหุนาม]]เหนือ[[ฟีลด์]]<ref>ในริงของจำนวนเตIn a [[ring of algebraic integers]], the factorization into prime elements may be non unique, but one can recover a unique factorization if one factors into [[Ideal (ring theory)|ideals]].</ref> ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้[[ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา]]มีความซับซ้อน

เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราสามารถมองว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน [[ผลคูณว่าง]])

== ประวัติ ==
ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถพิสูจน์ได้จากประพจน์ที่ 30, 31 และ 32 เล่ม VII และประพจน์ 14, เล่ม IX ในตำรา''[[Elements (Euclid)|เอเลเมนส์]]''ของ[[ยุคลิด]]<ref>{{Harvtxt|Weil|2007|p=5}}: "Even in Euclid, we fail to find a general statement about the uniqueness of the factorization of an integer into primes; surely he may have been aware of it, but all he has is a statement (Eucl.IX.I4) about the l.c.m. of any number of given primes."</ref> ยุคลิดเป็นผู้แรกที่เขียนถึงการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ในขณะที่[[Kamāl al-Dīn al-Fārisī|อัล-ฟาริสี]]เป็นบุคคลแรกที่พิจารณาการมีแบบเดียว<ref>{{Cite journal|last=A. Goksel Agargun and E. Mehmet Özkan|title=A Historical Survey of the Fundamental Theorem of Arithmetic|url=https://core.ac.uk/download/pdf/82721726.pdf|journal=Historia Mathematica|pages=209|quote=One could say that Euclid takes the first step on the way to the existence of prime factorization, and al-Farisi takes the final step by actually proving the existence of a finite prime factorization in his first proposition.}}</ref> และระบุข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตที่รวมทั้งการมีอยู่และการมีได้แบบเดียว (existence and uniqueness)<ref>{{Cite book|last=Rashed|first=Roshdi|url=https://books.google.com/books?id=7veIAgAAQBAJ&q=fundamental+theorem+of+arithmetic+discovered+al-farisi&pg=PA385|title=Encyclopedia of the History of Arabic Science|date=2002-09-11|publisher=Routledge|isbn=9781134977246|page=385|language=en|quote=The famous physicist and mathematician Kamal al-Din al-Farisi compiled a paper in which he set out deliberately to prove the theorem of Ibn Qurra in an algebraic way. This forced him to an understanding of the first arithmetical functions and to a full preparation which led him to state for the first time the fundamental theorem of arithmetic.}}</ref>

[[คาร์ล ฟรีดริช เกาส์|เกาส์]]ได้เขียนไว้ใน Article 16 (ข้อที่ 16) ในหนังสือ ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' ถึงรูปแบบสมัยใหม่อันแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต พร้อมกับให้บทพิสูจน์ที่ใช้[[เลขคณิตมอดุลาร์]]<ref name="Gauss1801.loc=16" />

== บทประยุกต์ ==

=== รูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มบวก ===<!-- Redirect [[Canonical form]] links here -->
ทุกจำนวนเต็มบวก {{math|''n'' > 1}} สามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียงแบบเดียว 

: <math>
n = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}
= \prod_{i=1}^{k} p_i^{n_i}
</math>

เมื่อ {{math|''p''<sub>1</sub> < ''p''<sub>2</sub> < ... < ''p''<sub>k</sub>}} เป็นจำนวนเฉพาะ และ {{math|''n''<sub>''i''</sub>}} เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียนเช่นนี้อาจขยายไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกได้โดยรวม 1 โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่า [[Empty product|ผลคูณว่าง]]จะเท่ากับ 1 (ผลคูณว่างคือกรณีเมื่อ {{math|1=''k'' = 0}})

การเขียนแบบนี้เรียกว่า'''รูปแบบบัญญัติ''' (canonical representation)<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=45}}</ref> ของ {{math|''n''}} หรือ'''รูปแบบมาตรฐาน''' (standard form)<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=55}}</ref><ref>{{Harvtxt|Hardy|Wright|2008|loc=§ 1.2}}</ref> ของ ''n'' ตัวอย่างเช่น

: 999 = 3<sup>3</sup>×37,
: 1000 = 2<sup>3</sup>×5<sup>3</sup>,
: 1001 = 7×11×13.

สามารถเพิ่มตัวประกอบ {{math|1=''p''<sup>0</sup> = 1}} โดยไม่เปลี่ยนค่าของ {{math|''n''}} (ตัวอย่างเช่น {{math|1=1000 = 2<sup>3</sup>×3<sup>0</sup>×5<sup>3</sup>}}) ยิ่งไปกว่านั้นทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปของ[[ผลคูณอนันต์]]ของจำนวนเฉพาะบวก 

: <math>n=2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3}7^{n_4}\cdots=\prod_{i=1}^\infty p_i^{n_i},</math>

โดยมี {{math|''n''<sub>''i''</sub>}} เพียงจำกัดจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่เหลือมีค่าเป็นศูนย์

หากยอมให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบจะได้รูปแบบบัญญัติของ[[จำนวนตรรกยะ]] 

=== การดำเนินการทางเลขคณิต ===
รูปแบบบัญญัติของผลคูณ, รูปแบบบัญญัติของ[[ตัวหารร่วมมาก|ห.ร.ม.]] และ รูปแบบบัญญัติของ[[ตัวคูณร่วมน้อย|ค.ร.น.]] ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนสามารถเขียนได้ในเทอมของรูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มทั้งสอง

: <math>\begin{alignat}{2}
 a\cdot b & = 2^{a_1+b_1}3^{a_2+b_2}5^{a_3+b_3}7^{a_4+b_4}\cdots
   && = \prod p_i^{a_i+b_i},\\
 \gcd(a,b) & = 2^{\min(a_1,b_1)}3^{\min(a_2,b_2)}5^{\min(a_3,b_3)}7^{\min(a_4,b_4)}\cdots
   && = \prod p_i^{\min(a_i,b_i)},\\
 \operatorname{lcm}(a,b) & = 2^{\max(a_1,b_1)}3^{\max(a_2,b_2)}5^{\max(a_3,b_3)}7^{\max(a_4,b_4)}\cdots
   && = \prod p_i^{\max(a_i,b_i)}.
 \end{alignat}</math>

อย่างไรก็ตาม [[การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม]] นั้นยากกว่าการหาผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน

=== ฟังก์ชันเลขคณิต ===
{{Main article|ฟังก์ชันเลขคณิต}}
ฟังก์ชันเลขคณิตจำนวนมากนิยามผ่านรูปแบบบัญญัติข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าของฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็นฟังก์ชันแยกบวก หรือเป็นฟังก์ชันแยกคูณขึ้นอยู่กับค่าของมันสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ

== การพิสูจน์ ==
การพิสูจน์ด้านล่างจประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

=== การมีอยู่ ===
สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้นจะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้นโดย[[Well-ordering principle|หลักการจัดอันดับดี]] ให้จำนวนนั้นคือ ''<math>n</math>'' จะเห็นได้ว่า ''<math>n</math>'' ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะ '''<math>n</math>''' เป็นผลคูณของตัวมันเองตัวเดียวซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น ''<math>n</math>'' จะต้องเป็น[[จำนวนประกอบ]] จะได้

: <math>n = ab</math>

เมื่อ ''<math>a</math>'' และ ''<math>b</math>'' เป็น[[จำนวนเต็ม]]บวกที่น้อยกว่า ''<math>n</math>'' แต่ ''<math>n</math>'' เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทไม่จริง ดังนั้น ''<math display="inline">a = p_1 \dotsb  p_j</math>'' และ ''<math>b = q_1 \dotsb q_j</math>'' ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ได้ว่า

: <math>n = ab = p_1 \dotsc p_j q_1 \dotsc  q_k </math>

ฉะนั้น <math>n</math> เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

=== การเขียนได้แบบเดียว ===
เราจะใช้[[บทตั้งของยุคลิด]]ที่ว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ ''p'' หารผลคูณ ''ab'' ลงตัวแล้ว มันจะหาร ''a'' ลงตัว หรือหาร ''b'' ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์

พิจารณาการแยก <math>n</math> ให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ <math display="inline">p_1, \dotsc, p_j </math> และ <math display="inline">q_1, \dotsc, q_k </math> สองแบบ

: <math display="inline">n = p_1 \dotsb p_j = q_1 \dotsb q_k</math>

จะเห็นว่า <math>p_1</math> จะหาร <math>q_1 \dotsb q_k </math> ลงตัว จากบทตั้งของยุคลิด ''<math>p_1</math>''จะต้องหารตัวประกอบ <math>q_i</math> ในผลคูณ <math>q_1 \dotsb q_k </math> ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้เป็น <math>q_1</math> แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น ''<math>p_1</math>'' จะต้องเท่ากับ <math>q_1</math> ดังนั้นเราจึงตัด ''<math>p_1</math>'' และ <math>q_1</math>ออกจากทั้งสองผลคูณได้ จะได้ว่า
: <math>p_2 \dotsb p_j  = q_2 \dotsb q_k</math>

และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอจนหมด (เทียบเท่ากับการใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บนจำนวนตัวประกอบเฉพาะ) 

== หมายเหตุ ==
{{reflist|30em}}

== อ้างอิง ==
หนังสือ ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน

* {{citation|last=Gauss|first=Carl Friedrich|title=Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition)|url=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-96254-2|year=1986|location=New York|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-0-387-96254-2|translator-last=Clarke|translator-first=Arthur A.}}
* {{citation|last=Gauss|first=Carl Friedrich|title=Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition)|year=1965|location=New York|publisher=Chelsea|language=de|isbn=0-8284-0191-8|translator-last=Maser|translator-first=H.}}

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § ''n''". Footnotes referencing the ''Disquisitiones Arithmeticae'' are of the form "Gauss, DA, Art. ''n''".

* {{citation|last1=Gauss|first1=Carl Friedrich|title=Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima|year=1828|location=Göttingen|publisher=Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6}}
* {{citation|last1=Gauss|first1=Carl Friedrich|title=Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda|year=1832|location=Göttingen|publisher=Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7}}

These are in Gauss's ''Werke'', Vol II, pp.&nbsp;65–92 and 93–148; German translations are pp.&nbsp;511–533 and 534–586 of the German edition of the ''Disquisitiones''.

* {{citation|author1=Euclid|title=The thirteen books of the Elements|url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl|volume=2 (Books III-IX)|year=1956|others=Translated by [[Thomas Little Heath]]|edition=Second Edition Unabridged|location=New York|publisher=[[Dover]]|isbn=978-0-486-60089-5|ref={{harvid|Euclid|Heath|1956}}|author1-link=Euclid|url-access=registration}}
* {{Hardy and Wright|mode=cs2}}
* {{citation|last1=Long|first1=Calvin T.|title=Elementary Introduction to Number Theory|year=1972|edition=2nd|location=Lexington|publisher=[[D. C. Heath and Company]]|lccn=77-171950}}.
* {{citation|last1=Pettofrezzo|first1=Anthony J.|title=Elements of Number Theory|year=1970|location=Englewood Cliffs|publisher=[[Prentice Hall]]|lccn=77-81766|last2=Byrkit|first2=Donald R.}}.
* {{citation|last1=Riesel|first1=Hans|title=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition)|year=1994|location=Boston|publisher=Birkhäuser|isbn=0-8176-3743-5}}
* {{citation|last=Weil|first=André|title=[[Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre]]|year=2007|orig-year=1984|series=Modern Birkhäuser Classics|location=Boston, MA|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-817-64565-6}}

== ดูเพิ่ม ==
* [[การแยกตัวประกอบ]]

== ลิงก์เชื่อมโยงภายนอก ==

* [https://gowers.wordpress.com/2011/11/13/why-isnt-the-fundamental-theorem-of-arithmetic-obvious Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?]
* [http://www.cut-the-knot.org/blue/gcd_fta.shtml GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic] at [[cut-the-knot]].
* [http://planetmath.org/fundamentaltheoremofarithmeticproofofthe PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic]
* [http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/06/unique-factorization.html Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization], a blog that covers the history of [[Fermat's Last Theorem]] from [[Diophantus of Alexandria]] to the proof by [[Andrew Wiles]].
* [http://demonstrations.wolfram.com/FundamentalTheoremOfArithmetic/ "Fundamental Theorem of Arithmetic"] by Hector Zenil, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* {{citation|last=Grime|first=James|title=1 and Prime Numbers|url=https://www.youtube.com/watch?v=IQofiPqhJ_s|work=Numberphile|archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/IQofiPqhJ_s|publisher=[[Brady Haran]]|archive-date=2021-12-11|url-status=live}}{{cbignore}}

[[หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์]]