ดูต้นฉบับสำหรับ ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส


ใน[[คณิตศาสตร์]]โดยเฉพาะใน[[การวิเคราะห์เชิงจริง]] '''ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส''' เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับใน[[ปริภูมิยูคลิเดียน]] '''R'''<sup>''n''</sup>  โดยกล่าวว่า ทุก[[ลำดับ]]มีขอบเขตใน '''R'''<sup>''n''</sup>  จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า<ref>Bartle and Sherbert 2000, p. 78 (for '''R''').</ref> อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ '''R'''<sup>''n''</sup> จะเป็นเซต[[ความกระชับเชิงลำดับ|กระชับเชิงลำดับ]] (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต<ref>Fitzpatrick 2006, p. 52 (for '''R'''), p. 300 (for '''R'''<sup>''n''</sup>).</ref> ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า '''ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ<ref>Fitzpatrick 2006, p. xiv.</ref>'''

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม [[แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน]] และ [[คาร์ล ไวเออร์ชตราส]]

== ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ ==
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ [[แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน]] และ [[คาร์ล ไวเออร์ชตราส]] โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็น[[บทตั้ง]]ในการพิสูจน์[[ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง]] ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญใน[[คณิตวิเคราะห์]]

== ข้อความ ==
{{ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์
| math_statement = ทุก[[ลำดับ]]มีขอบเขตใน '''R'''<sup>''n''</sup>  จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า
| name = ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สำหรับ <math>\mathbb{R}^n</math> 
}}

== พิสูจน์ ==
ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ <math>\mathbb{R}^1</math> (เซตของ[[จำนวนจริง]]) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน <math>\mathbb{R}</math> ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้
{{ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์
| math_statement = ทุกลำดับอนันต์ <math>(x_{n})</math> ใน <math>\mathbb{R}</math> มีลำดับย่อยที่เป็นลำดับทางเดียว
| name = บทตั้ง
}}

{{พิสูจน์คณิตศาสตร์
|เราจะเรียกดัชนีค่าบวก <math>n</math> ของลำดับว่าเป็น ''จุดพีค'' ของลำดับ ก็ต่อเมื่อเมื่อ <math>x_m < x_n</math> สำหรับทุก <math>m > n</math> สมมุติว่าลำดับมีจุดพีคเป็นอนันต์ แปลว่ามีลำดับย่อยที่สร้างจากดัชนี<math>n_1<n_2<n_3<\dots<n_j<\dots</math> และสอดคล้องกับเงื่อนไขว่า  <math>x_{n_1}>x_{n_2}>x_{n_3}>\dots>x_{n_j}>\dots</math> . ดังนั้น ลำดับอนันต์ <math>(x_n)</math> ใน <math>\mathbb{R}</math> มีลำดับทางเดียวคือ <math>(x_{n_j})</math>  นั้น

แต่ถ้าลำดับมีจุดพีคเพียงจำนวนจำกัดตัว ให้ <math>N</math> เป็นจุดพีคสุดท้ายของลำดับ จากนั้นพิจารณาลำดับย่อย <math>(x_{n_j})</math> ที่มีดัชนีตัวแรกคือ <math>n_1=N+1</math> จะเงื่อนไขได้ว่า <math>n_1</math> ไม่เป็นจุดพีค เพราะ <math>n_1</math> มาทีหลังจุดพีคสุดท้ายที่เป็นไปได้ ดังนั้นจะต้องมี <math>n_2</math> ที่ซึ่ง <math>n_1<n_2</math> และ <math>x_{n_1} \leq x_{n_2}</math>

เช่นกัน จาก <math>n_2</math> มาทีหลังจุดพีคสุดท้าย จะต้องมี <math>n_3</math> ที่ซึ่ง <math>n_2<n_3</math> และทำให้ <math>x_{n_2} \leq x_{n_3}</math> ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ลำดับไม่ลด&nbsp;<math>x_{n_1} \leq x_{n_2} \leq x_{n_3} \leq \ldots</math> ซึ่งเป็นลำดับย่อยของ <math>(x_n)</math> ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าทุกลำดับอนันต์ <math>(x_n)</math> ใน <math>\mathbb{R}</math> มีลำดับย่อยทางเดียว<ref>Bartle and Sherbert 2000, pp. 78-79.</ref>
}}

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า <math>(x_n)</math> เป็นลำดับมีขอบเขต ใน <math>\mathbb{R}</math> โดยบทตั้งข้างต้นจะ[[ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง|มี]]ลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จาก[[ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว]]ลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า

สำหรับกรณีทั่วไป (<math>\mathbb{R}^n</math>) จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนด[[ลำดับมีขอบเขต]]ใน <math>\mathbb{R}^n</math> ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด <math>n</math> ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า

== บทพิสูจน์แบบอื่น ==
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้[[การแบ่งครึ่งช่วง]]<ref>Garling 2013, pp. 94-95</ref>  เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต <math>(x_n)</math> :<gallery widths="300" heights="150">
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 1.svg|เพราะ <math>(x_n)_{n\in\N}</math> มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง <math>s</math> และขอบเขตบน <math>S</math> .
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 2.svg|เราใช้ <math>I_1=[s,S]</math> เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 3.svg|จากนั้นแบ่ง <math>I_1</math> ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลาง
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 4.svg|เนื่องจากลำดับ <math>(x_n)_{n\in\N}</math> เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง <math>I_2</math>
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 5.svg|จากนั้นเราก็แบ่ง <math>I_2</math> อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วง
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 6.svg|เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ <math>(x_n)_{n\in\N}</math> อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม <math>I_3</math> 
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 7.svg|เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ  จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ (<math>I_1 \supset I_2 \supset I_3 \dotsb</math>)
</gallery>เนื่องจากเราลดความยาวของ[[ช่วง (คณิตศาสตร์)|ช่วง]]ลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดย[[Nested intervals|ทฤษฎีบทช่วงซ้อน]] ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า <math>(I_n)_{n\in\N} = ([a_n, b_n])_{n\in\N}</math> เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่ <math>a_n \leq b_n</math>) แล้วอินเตอร์เซคชัน <math display="inline">\bigcap_{n\in\N} I_n</math> จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า <math display="inline">x \in  \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}</math> เป็น[[จุดเกาะกลุ่ม]]ของ <math>(x_n)</math>

กำหนดย่านใกล้เคียง <math>U</math> ของ <math>x</math> ใด ๆ มา  เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง<math>I_N</math> ที่เป็นสับเซตแท้ของ <math>U</math>  เนื่องจาก <math>I_N</math> บรรจุสมาชิกของ <math>(x_n)</math> เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ <math>I_N\subseteq U</math>, ดังนั้น <math>U</math> บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ <math>(x_n)</math>ทำให้ได้ว่า <math>x</math> เป็นจุดเกาะกลุ่มของ <math>(x_n)</math> ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ <math>(x_n)</math> ที่ลู่เข้า <math>x</math>

== ดูเพิ่ม ==
* [[ปริภูมิกระชับเชิงลำดับ]]
* [[ทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรล]]
* [[ความสมบูรณ์ของจำนวนจริง|ความบริบูรณ์ของจำนวนจริง]]
* [[หลักการแปรผันของ Ekeland|หลักการแปรผันของเอเคอลองด์]]

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

== บรรณานุกรม ==
* {{Cite book|last=Bartle|first=Robert G.|url=https://archive.org/details/introductiontore00bart_1|title=Introduction to Real Analysis|last2=Sherbert|first2=Donald R.|date=2000|publisher=J. Wiley|edition=3rd|location=New York|author-link=Robert G. Bartle|url-access=registration}}
* {{Cite book|last=Fitzpatrick|first=Patrick M.|title=Advanced Calculus|date=2006|publisher=Thomson Brooks/Cole|isbn=0-534-37603-7|edition=2nd|location=Belmont, CA}}
*{{Cite book|last=Garling|first=D. J. H.|url=https://www.worldcat.org/oclc/842256400|title=A course in mathematical analysis. Volume 1, Foundations and elementary real analysis|date=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-31469-6|location=Cambridge|oclc=842256400}}
*{{Cite book|last=Pugh|first=C. C.|url=https://www.worldcat.org/oclc/915757451|title=Real mathematical analysis|date=2015|publisher=Springer|isbn=978-3-319-17771-7|edition=2nd|oclc=915757451}}

[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงจริง]]