ดูต้นฉบับสำหรับ ฉบับร่าง:พีชคณิตเชิงเรขาคณิต

{{for multi|โครงสร้างทางพีขคณิตทั่วไป|พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด|การใช้งานอื่น ๆ}}

''ระวังสับสนกับ[[เรขาคณิตเชิงพีชคณิต]]''

ในทางคณิตศาสตร์ '''พีชคณิตเชิงเรขาคณิต''' ([[ภาษาอังกฤษ|อังกฤษ]]: geometric algebra: GA) (และรู้จักในชื่อ[[พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด]]) เป็นส่วนขยายของ[[พีชคณิตมูลฐาน]]เพื่อใช้กับวัตถุทางเรขาคณิต เช่น [[เวกเตอร์]] พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสร้างขึ้นจากการตำเนินการมูลฐานสองตัวคือการบวกและผลคูณเชิงเรขาคณิต การคูณเวกเตอร์ให้ผลลัพธ์ในมิติที่สูงขึ้นเรียก[[มัลติเวกเตอร์]] เมื่อเทียบกับรูปนัยนิยมอื่นที่กระทำกับวัตถุทางเรขาคณิต น่าสังเกตว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมีการหารเวกเตอร์ (แต่โดยทั้วไปไม่ทุกสมาชิกที่ทำได้) และการบวกของวัตถุต่างมิติ

[[แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน|แฮร์มัน กรัสมัน]]ได้อธีบายผลคูณเชิงเรขาคณิตนี้ไว้สั้น ๆ โดยมากเขาสนใจพัฒนา[[พีชคณิตภายนอก]]ซึ่งคล้าย ๆ กัน ในปีค.ศ.1878 [[วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ด]]ได้ขยายผลงานของกรัสมันได้สร้างสิ่งที่ตอนนี้โดยทั่วไปเรียกกันว่าพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา (แต่คลิฟฟอร์ดเองเลือกที่จะเรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิต) คลิฟฟอร์ดได้นิยามพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดกับผลของมันไว้ว่าเป็นการรวมกันของ[[พีชคณิตภายนอก|พีชคณิตแบบกรัสมัน]]และ[[พีชคณิตควอเทอร์เนียน]] การเพิ่มคู่ของผลคูณภายนอกกรัสมันยอมให้การใช้[[พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี]] และ[[แบบคงรูป]]ของอันหลังรวมกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแบบคงรูปผลให้เกิด[[พีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป]] ([[ภาษาอังกฤษ|อังกฤษ]]: conformal geometric algebra: CGA) ให้โครงร่างสำหรับ[[เรขาคณิตแบบไคลน์|เรขาคณิตแบบฉบับ]] ในทางปฏิบัติ การตำเนินการเหล่านี้และอนุพันธ์ยอมให้เกิดการสมนัยกันของสมาชิก [[ปริภูมิย่อย]]และการตำเนินการของพีชคณิตที่มีความหมายทางเรขาคณิต เป็นเวลาหลายทศวรรษที่พีชคณิตเชิงเรขาคณิตค่อนข้างถูกละเลย ถูกบดบังไปมากโดย[[แคลคูลัสเวกเตอร์]]แล้วพัฒาขึ้นใหม่เพื่ออธิบายแม่เหล็กไฟฟ้า คำว่า"พีชคณิตเชิงเรขาคณิต"เป็นที่นิยมอีกครั้งในช่วงทศวรรษ1960 โดย[[เดวิด เฮสเทเนส|เฮสเทเนส]] ผู้บอกความสำคัญต่อฟิสิกส์สัมพัทธภาพ

สเกลาร์และเวกเตอร์มีความหมายเหมือนปกติ และประกอบเป็นปริภูมิย่อยที่เด่นชัดในพีชคณิตเชิงเรขาคณิต  [[ไบเวกเตอร์]]เป็นตัวแทนที่ธรรมชาติกว่าของปริมาณ[[เวกเตอร์เทียม]]ของแคลคูลัสเวกเตอร์ โดยปกติจะนิยามโดยใช้[[ผลคูณไขว้|ผลคูณเชิงเวกเตอร์]] เช่น พื้นที่กำหนดทิศ มุมหมุนกำหนดทิศ ทอร์ค โมเมนตัมเชิงมุม และ[[สนามแม่เหล็ก]]  [[ไทรเวกเตอร์]]สามารถแทนปริมาตรกำหนดทิศ และอื่น ๆ  สมาชิกตัวหนึ่งเรียกว่า[[เบลด (เรขาคณิต)|เบลด]]อาจใช้แทนปริภูมิย่อยของ <math>V</math> และภาพฉายเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยนั้น การหมุนและการสะท้อนจะแสดงเป็นสมาชิก ต่างจากพีชคณิตเวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตโดยธรรมชาติจะรองรับมิติจำนวนเท่าไหร่ก็ได้ และรูปกำลังสองใด ๆ เช่นใน[[ทฤษฎีสัมพัทธภาพ|สัมพัทธภาพ]]

ตัวอย่างการใช้งานพีชคณิตเชิงเรขาคณิตในฟิสิกส์ได้แก่ [[พีชคณิตกาลากาศ]](และที่ไม่พบบ่อย[[พีชคณิตของปริภูมิกายภาพ]]) และ[[พีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป]]  [[แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต]] ส่วนขยายของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่รวม[[อนุพันธ์]]และ[[ปริพันธ์]] สามารถใช้กำหนดทฤษฎีอื่น ๆ เช่น[[การวิเคราะห์เชิงซ้อน]] และ[[เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์]] ต.ย. โดยใช้พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแทน[[รูปแบบเชิงอนุพันธ์]]  พีชคณิตเชิงเรขาคณิตได้รับการสนับสนุนจากโดยเฉพาะ[[เดวิด เฮสเทเนส]]และ[[คริส ดอรัน]] ให้เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสำหรับฟิสิกส์  ผู้เสนออ้างว่าให้คำอธิบายที่กระทัดรัดและเข้าใจง่ายในหลายสาขารวมทั้ง[[กลศาสตร์ดั้งเดิม|กลศาสตร์แบบฉบับ]]และ[[กลศาสตร์ควอนตัม|ควอนตัม]] [[ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า]] และ[[ทฤษฎีสัมพัทธภาพ|สัมพัทธภาพ]] พีชคณิตเชิงเรขาคณิตยังสามารถใช้เป้นเครื่องมือในการคำนวนใน[[คอมพิวเตอร์กราฟิกส์]] และ[[วิทยาการหุ่นยนต์]]

== นิยามและสัญกรณ์ ==
มีหลากหลายวิธีที่นิยามระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิต วิธีดั้งเดิมของเฮสเทเนสเป็นเชิงสัจพจน์ "เต็มไปด้วยความสำคัญทางเรขาคณิต" และสมมูลกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดสากล 

ให้ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด <math>V</math> บน[[ฟีลด์]] <math>F</math> ด้วยรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตร (''การคูณภายใน'' ต.ย. ยูคลิเดียนหรือ[[ลอเรนต์เซียนเมตริก]]) <math>g : V \times V \to F</math>  '''พีชคณิตเชิงเรขาคณิต'''ของปริภูมิกำลังสอง <math>(V,g)</math> นั้นเป็น[[พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด]] <math>\operatorname{Cl}(V,g)</math> สมาชิกในนั้นเรียกว่ามัลติเวกเตอร์ พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดโดยทั่วไปแล้วจะกำหนดนิยามเป็น[[พีชคณิตผลหาร]]ของ[[พีชคณิตเทนเซอร์]] แต่การกำหนดนิยามแบบนี้นามธรรม ดั้งนั้นนิยามดังต่อไปนี้จะเสนอโดยไม่ต้องใช้[[พีชคณิตนามธรรม]]
{{ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์
| math_statement = พีชคณิตการเปลี่ยนหมู่เอกลักษณ์ <math>\operatorname{Cl}(V,g)</math> ที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่<i>ปรกคิ</i> <math>g: V \times V \to F</math> เป็นพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดของปริภูมิกำลังสอง <math>(V,g)</math> ถ้า
* มี <math>F</math> และ <math>V</math> เป็นปริภูมิย่อยแยกกัน
* <math> a^2 = g(a,a)1</math> สำหรับ <math>a \in V </math>
* <math>V</math> ก่อกำเนิด <math>\operatorname{Cl}(V,g)</math> เป็นพีชคณิต
*<math>\operatorname{Cl}(V,g)</math> ไม่ได้ถูกก่อกำเนิดโดยปริภูมิย่อยแท้ของ <math>V</math>
| name = นิยาม
}}
เพื่อปกปิดรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรลดรูป เงื่อนไขสุดท้ายต้องได้รับการแก้ไข สามารถแสดงได้ว่าเงื่อนไขหล่าวนี้บอกได้ว่าเป็นผลคูณเชิงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว

สำหรับที่เหลือของบทความนี้ จะพิจรณาแต่กรณีจริงที่ <math>F = \mathbb{R}</math>  สัญกรณ์ <math>\mathcal{G}(p,q)</math> (<math>\mathcal{G}(p,q,r)</math> ตามลำดับ) จะใช้แสดงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่ <math>g</math> มี[[ซิกเนเจอร์]]เป็น <math>(p,q)</math> (<math>(p,q,r)</math> ตามลำดับ)

ผลคูณในพีชคณิตนี้เรียกว่า''ผลคูณเชิงเรขาตณิต'' และผลคูณในพีชคณิตภายนอกที่มีอยู่เรียกว่าผลคูณภายนอก (บ่อยครั้งเรียกว่า''ผลคูณลิ่ม'') โดยมาตรฐานจะแสดงการคูณเหล่านี้โดยการเขียนติดกัน (โดยไม่เขียนสัญกรณ์การคูณ) และสัญกรณ์ <math>\wedge</math> ตามลำดับ

นิยามที่ได้กล่าวไปนั้นยังค่อนข้างเป็นนามธรรม ดังนั้นจะสรุปสมบัติของผลคูณเชิงเรขาคณิตที่นี่  สำหรับมัลติเวกเตอร์ <math>A,B,C \in \mathcal{G}(p,q)</math>:

* <math>AB \in \mathcal{G}(p,q)</math> ([[สมบัติการปิด]])
* <math>1A = A1 = A</math> เมื่อ <math>1</math> เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (การมีอยู่ของ[[สมาชิกเอกลักษณ์]])
* <math>A(BC) = (AB)C</math> ([[สมบัติการเปลี่ยนหมู่]])
* <math>A(B+C) = AB+AC</math> และ <math>(B+C)A = BA+CA</math> ([[สมบัติการแจกแจง]])
* <math>a^2 = g(a,a)1</math> สำหรับ <math>a \in V</math>

ผลคูณภายนอกมีสมบัติเหมือนกัน ยกเว้นสมบัติสุดท้ายได้รับการแทนที่โดย <math>a \wedge a = 0</math> สำหรับ <math>a \in V</math>

สังเกตว่าในสมบัติสุดท้ายข้างบน จำนวนจริง <math>g(a,a)</math> ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นลบ ถ้า <math>g</math> ไม่เป็นบวกแน่นอน  สมบัติที่สำคัญหนึ่งของผลคูณเชิงเรขาคณิตคือการมีอยู่ของสมาชิกที่มีตัวผกผันการคูณ  สำหรับเวกเตอร์ <math>a</math> ถ้า <math>a^2 \neq 0</math> แล้ว <math>a^{-1}</math> มีเท่ากับ <math>g(a,a)^{-1}a</math>  สมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ของพีชคณิตนี้ไม่จำเป็นว่าจะมีตัวผกผันการคูณเสมอ  ตัวอย่างเช่น ถ้า <math>u</math> เป็นเวกเตอร์ใน <math>V</math> เมื่อ <math display="inline">u^2 = 1</math> แล้วสมาชิก <math display="inline">\frac12 (1+u)</math> จะเป็นทั้ง[[สมาชิกนิจพล]]ไม่ชัดและ[[ตัวหารของศูนย์]] ดังนั้นจึงไม่มีตัวผกผัน

โดยปกติจะระบุ <math>\mathbb{R}</math> และ <math>V</math> กับเรนจ์ภายใต้[[การซ้อน]]ธรรมชาติ <math>\mathbb{R} \to \mathcal{G}(p,q)</math> และ <math>V \to \mathcal{G}(p,q)</math>  ในบทความนี้ การระบุนี้จะได้รับการสมมติ  โดยตลอด คำว่าสเกลาร์และเวกเตอร์จะอ้างถึงสมาชิกของ <math>\mathbb{R}</math> และ <math>V</math> ตามลำดับ (และเรนจ์ภายใต้การซ้อนนี้)

=== ผลคูณเชิงเรขาคณิต ===
{{main|รูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตร|พีชคณิตภายนอก}}
[[File:GA_parallel_and_perpendicular_vectors.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:GA_parallel_and_perpendicular_vectors.svg|right|thumb|248x248px|ให้เวกเตอร์สองตัว <math>a</math> และ <math>b</math>  ถ้าผลคูณเชิงเรขาคณิต <math>ab</math> ต่อต้านการสลับที่ จะตั้งฉาก (บน) เพราะ <math>a \cdot b =0</math>  ถ้าสลับที่ได้ จะขนาน (ล่าง) เพราะ <math>a \wedge b =0</math>.]]
สำหรับเวกเตอร์ <math>a</math> และ <math>b</math> เราสามารถเขียนผลคูณเชิงเรขาคณิตของสองเวกเดอร์ใด ๆ <math>a</math> และ <math>b</math> เป็นผลบวกของผลคูณสมมาตรและผลคูณอสมมาตร

<math>ab = \frac{1}{2} (ab + ba) + \frac{1}{2} (ab - ba) </math>

จึงกำหนดนิยามของการคูณภายในเป็น

<math>a \cdot b := g(a,b)</math>

ทำให้ผลคูณสมมาตรสามาตรเขียนได้เป็น

<math>\frac{1}{2}(ab + ba) = \frac{1}{2} \left((a + b)^2 - a^2 - b^2\right) = a \cdot b </math>

ในทางกลับกัน <math>g</math> ได้รับการกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยพีชคณิตนี้  ผลคูณอสมมาตรคือผลคูนภายนอกของสองเวกเตอร์ ผลคูณของ[[พีชคณิตภายนอก]]ที่อยู่ภายใน

<math>a \wedge b := \frac{1}{2}(ab - ba) = -(b \wedge a) </math>

{{multiple image|left|footer=ความหมายทางเรขาคณิตของสมาชิกเกรด-<math>n</math> ในพีชคณิตภายนอกจริงสำหรับ <math>n = 0</math> (จุดมีเครื่องหมาย), <math>1</math> (ส่วนของเส้นตรงระบุทิศทาง หรือเวกเตอร์), <math>2</math> (สมาชิกระนาบระบุทิศทาง) <math>3</math> (ปริมาตรระบุทิศทาง)  ผลคูณภายนอกของ <math>n</math> สามารถนึกภาพเวกเตอร์เป็นรูปทรง <math>n</math>-มิติใด ๆ ก็ได้่   เช่น <math>n</math>-[[ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน]], <math>n</math>-[[ทรงรี]]) ที่มีขนาด ([[ปริมาตรเกิน]]) และ[[ทิศทาง (ปริภูมิเวกเตอร์)|ทิศทาง]]กำหนดนิยามโดยที่บนขอบของ  <math>n</math>-มิติและบนข้างที่ภายในอยู่|width1=220|image1=N vector positive.svg|caption1=ทิศทางได้รับการกำหนดนิยามโดยเซตอันดับของเวกเตอร์|width2=220|image2=N vector negative.svg|caption2=ทิศทางตรงกันข้ามสมนัยกันกับการนิเสธผลคูณภายนอก}}

แล้วโดยการบวกตรง ๆ

<math>ab=a \cdot b + a \wedge b </math> คือรูปไม่ทั่วไปหรือรูปเวกเตอร์ของผลคูณเชิงเรขาคณิต

ผลคูณภายในและภายนอกมีความสัมพันธ์กับแนวคิดในพีชคณิตเวกเตอร์  ในทางเรขขาคณิต <math>a</math> และ <math>b</math> จะขนานก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายใน ในทางกลับกัน <math>a</math> และ <math>b</math> จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายนอก ในระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตซึ่งกำลังสองของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นบวก ผลคูณภายในของเวกเตอร์ทั้งสองสามารถระบุได้ว่าคือ[[ผลคูณจุด]]ในพีชคณิตเวกเตอร์ ผลคูณภายนอกสามารถระบุได้ว่าคือ[[พื้นที่มีเครื่องหมาย]]ที่โดนล้อมโดย[[รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน|สี่เหลี่ยมด้านขนาน]]โดยมีด้านเป็นเวกเตอร์  [[ผลคูณไขว้]]ของสองเวกเตอร์ใน <math>3</math> มิติที่มีรูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนดกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผลคูณภายนอก

ระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่สนใจส่วนใหญ่มีรูปแบบกำลังสองไม่ลดรูป  ถ้ารูปแบบกำลังสอง[[รูปแบบกำลังสองไม่ลดรูป|ลดรูป]]โดยสมบูรณ์แล้ว ผลคูณภายในระหว่างสองเวกเตอร์ใด ๆ จะมีค่าเป็นศูนย์ และระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตนั้นจะเป็นเพียงแค่ระบบระบบพีชคณิตภายนอก  บทความนี้จะพูดถีงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่ไม่ลดรูป เว้นแต่จะระบุไว้

ผลคูณภายนอกโดยธรรมชาติจะขยายเป็นตัวดำเนินการทวิภาคเชิงเส้นคู่เปลี่ยนหมู่ได้ของสองสมาชิกในระบบพีชคณิต สอดคล้องกับเอกลักษณ์

<math>\begin{align}
                          1 \wedge a_i &= a_i \wedge 1 = a_i \\
  a_1 \wedge a_2\wedge\cdots\wedge a_r &= \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)}a_{\sigma(2)} \cdots a_{\sigma(r)},
\end{align}</math>

เมื่อผลบวกรวมทุกการสับเปลี่ยนของเลขดัชนี ที่มี <math>\operatorname{sgn}(\sigma)</math> เป็น[[ภาวะของการสับเปลี่ยน|เครื่องหมายของการสับเปลี่ยน]] และ <math>a_i</math> เป็นเวกเตอร์ (ไม่ใช่สมาชิกทั่วไปของระบบพีชคณิต)  เนื่องจากทุกสมาชิกของระบบพีชคณิตสามารถเขียนในรูปของผลบวกของผลคูณในรูปนี้ สามารถนิยามผลคูณภายนอกสำหรับทุกคู่ของสมาชิกระบบพีชคณิต มาจากนิยามของผลคูณภายนอกก่อระบบ[[พีชคณิตสลับ]]

=== เบลด เกรด และฐานหลัก ===
มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลคูณภายนอกของ <math>r</math> เวกเตอร์ที่อิสระเชิงเส้นเรียกว่า''เบลด'' และมีเกรด <math>r</math>  มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลดเกรด <math>r</math> เรียกว่ามัลติเวกเตอร์(เอกพันธุ์)เกรด <math>r</math>  จากสัจพจน์สมบัติการปิด ทุกมัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลด

== การจำลองทางเรขาคณิต ==

== ความหมายทางเรขาคณิตในแบบจำลองปริภูมิเวกเตอร์ ==

=== การฉาย และรีเจกชัน ===
สำหรับเวกเตอร์ <math>a</math> ใด ๆ และเวกเตอร์ <math>m</math> ใด ๆ ที่หาตัวผกผันได้ 
[[File:GA_plane_subspace_and_projection.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:GA_plane_subspace_and_projection.svg|right|thumb|300x300px|ในปริภูมิ 3 มิติ ไบเวกเตอร์ <math>a \land b</math> นิยามปริภูมิย่อยระนาบ 2 มิติ (สีน้ำเงินอ่อน ขยายไปอย่างไม่สิ้นสุดในทิศทางที่บ่งชี้). เวกเตอร์ <math>c</math> ใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติสามารถแตกเป็นภาพฉาย <math>c_\Vert</math> บนระนาบและรีเจกชัน <math>c_\perp</math>จากระนาบนี้]]
<math> a = amm^{-1} = (a\cdot m + a \wedge m)m^{-1} = a_{\| m} + a_{\perp m} </math>

เมื่อ'''ภาพฉาย'''ของ <math>a</math> บน <math>m</math> (หรือส่วนขนาน) คือ

<math> a_{\| m} = (a \cdot m)m^{-1} </math>

และฺ'''รีเจกชัน'''ของ <math>a</math> จาก <math>m</math> (หรือส่วนที่ตั้งฉาก) คือ

<math> a_{\perp m} = a - a_{\| m} = (a\wedge m)m^{-1} </math>

ใช้แนวคิดว่า <math>k</math>-เบลด <math>B</math> เป็นตัวแทนปริภูมิย่อยของ <math>V</math> และทุกมัลติเวกเตอร์มารถเขียนในรูปของพจ์ของเวกเตอร์ สามารวางนัยการฉายของมัลติเวกเตอร์ทั่วไปบน <math>k</math>-เบลด <math>B</math> ที่หาตัวผกผันได้ ให้อยู่ในรูปทั่วไปได้เป็น

<math> \mathcal{P}_B (A) = (A \;\rfloor\; B) \;\rfloor\; B^{-1} </math>

และรีเจกชันสามารถนิยามได้เป็น

<math> \mathcal{P}_B^\perp (A) = A - \mathcal{P}_B (A)</math>

การฉายและรีเจกชันสามารถวางนัยทั่วไปได้กับเบลดศูนย์ <math>B</math> โดยการเปลี่ยนตัวผกผัน <math>B^{-1}</math> ด้วยตัวผกผันเทียม <math>B^{+}</math>เทียบกับผลคูณย่อ  ผลลัพท์ของการฉายทับกันสนิททั้งสองกรณีสำหรับเบลดไม่เป็นศูนย์  สำหรับเบลดศูนย์ <math>B</math> นิยามของการฉายที่ได้ให้มานี้ด้วยผลคูณย่อตัวแรกแทนที่จะเป็นตัวที่สองที่ซึ่งควรใช้ตัวผกผันเทียม เพราะเมื่อนั้นผลลัพท์จะจำเป็นต้องอยู่ในปริภูมิย่อยที่มี <math>B</math> เป็นตัวแทน

การฉายวางนัยทั่วไปผ่านสภาพเชิงเส้นไปยังมัลติเวกเตอร์ทั่วไป <math>A</math>  การฉายจะไม่เป็นเชิงเส้นที่ <math>B</math> และไม่สามารถวางนัยทั่วไปกับวัตถุ <math>B</math> ที่ไม่ใช่เบลดได้ 

=== การสะท้อน ===
[[การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์|การสะท้อนอย่างง่าย]]ในระนาบเกินเขียนได้ง่ายในพีชคณิตนี้ผ่านการคอนจูเกตด้วยเวกเตอร์ สามารถก่อกำเนิดกรุปของ[[การหมุน (เรขาคณิต)|การหมุน]]และ[[การหมุนไม่ตรงแบบ]]ทั่วไป
[[File:GA_reflection_along_vector.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:GA_reflection_along_vector.svg|left|thumb|200x200px|การสะท้อนของเวกเตอร์ <math>c</math> ตามเวกเตอร์ <math>m</math>  มีแค่เวกเตอร์ประกอบของ <math>c</math> ที่ขนานกับ <math>m</math> จะติดลบ]]
ภาพสะท้อน <math display="inline">c'</math> ของเวกเตอร์ <math display="inline">c</math> ตามเวกเตอร์ <math>m</math> หรือโดยสมมูล ในระนาบเกินตั้งฉากกับ <math>m</math>  ผลลัพธ์ของการสะท้อนจะเป็น <math> c' = {-c_{\| m} + c_{\perp m}} = {-(c \cdot m)m^{-1} + (c \wedge m)m^{-1}}
= {(-m \cdot c - m \wedge c)m^{-1}}
= -mcm^{-1} </math>

=== การหมุน ===
[[File:GA_planar_rotations.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:GA_planar_rotations.svg|right|thumb|286x286px|โรเตอร์ที่หมุนเวกเตอร์ในระนาบหมุนเวกเตอร์ผ่านมุม <math>\theta</math> นั่นคือ <math>x \mapsto R_\theta x \tilde R_\theta</math> เป็นการหมุนของ <math>x</math> ผ่านมุม <math>\theta</math>  มุมระหว่าง <math>u</math> และ <math>v</math> คือ <math>\theta</math>  การตีความที่คล้ายกันก็สมเหตุสมผลกันกับมัลติเวกเตอร์ <math>X</math> ทั่วไป แทนเวกเตอร์ <math>x</math>]]
ถ้ามีผลคูณเวกเตอร์ <math>R = a_1a_2 \cdots a_r</math> แล้วจะเขียนการผันกลับได้เป็น

<math>\tilde R = a_r\cdots a_2 a_1</math>

ให้เป็นตัวอย่าง สมมติว่า <math> R = ab </math> เราจะได้

<math>R\tilde R = abba = ab^2a = a^2b^2 = ba^2b = baab = \tilde RR</math>

ปรับขนาด <math>R</math> เพื่อที่ <math>R\tilde R = 1</math> แล้ว

<math>(Rv\tilde R)^2 = Rv^{2}\tilde R = v^2R\tilde R = v^2 </math>

ดังนั้น <math>Rv\tilde R</math> ไม่เปลี่ยนแปลงขนาดของ <math>v</math>  ยังสามารถแสดงได้ว่า

<math>(Rv_1\tilde R) \cdot (Rv_2\tilde R) = v_1 \cdot v_2</math>

ดังนั้นการแปลง <math>Rv\tilde R</math> ทำให้ทั้งขนาดและมุม(ระหว่างเวกเตอร์)คงสภาพ จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นการหมุนหรืแการหมุนไม่ตรงแบบ เรียก <math>R</math> ว่า[[โรเตอร์]] ถ้าเป็น[[การหมุนไม่ตรงแบบ|การหมุนแท้]] (ตามที่เป็นอยู่ถ้าสามารถเขียนได้อยู่ในรูปผลคูณของเวกเตอร์คู่ตัว) และเป็นตัวอย่างของสิ่งใน GA ที่เรียกว่า[[เวอร์เซอร์]]

มีวิธีทั่วไปในการหมุนเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับมัลติเวกเตอร์ในรูป <math> R = e^{-B \theta / 2} </math> ที่ก่อให้เกิดการหมุน <math> \theta </math> ใน[[ระนาบ]]และทิศทา่งกำหนดโดย<math>2</math>-เบลด <math>B</math> 

โรเตอร์เป็นรูปทั่วไปของควอเทอร์เนีนรบนปริภูมิ<math>n</math>-มิติ

== ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้ ==

=== ปริมาตรเกินของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยเวกเตอร์ ===
สำหรับเวกเตอร์ <math>a</math> และ <math>b</math> ที่แผ่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจะได้ 

<math> a \wedge b = ((a \wedge b) b^{-1}) b = a_{\perp b} b </math>

== แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต ==
''บทความหลัก [[แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต]][[พีชคณิตของปริภูมิกายภาพ]]'' 

แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตขยายรูปนัยนิยมเพื่อรวมการอนุพันธ์และการปริพันธ์รวมถึงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และ[[รูปแบบเชิงอนุพันธ์]]

โดยพื้นฐาน อนุพันธ์เวกเตอร์ได้นิยามเพื่อให้[[ทฤษฎีบทของกรีน]]ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตเป็นจริง

<math>\int_A dA \,\nabla f = \oint_{\partial A} dx \, f</math>

จึงสามารถกล่าวได้ว่า 

<math>\nabla f = \nabla \cdot f + \nabla \wedge f</math>

เป็นผลคูณเชิงเรขาคณิต วางนัยทั่วไปได้กับ[[ทฤษฎีบทของสโตรกส์]]อย่างมีผล (รวมทั้งในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ด้วย)

ใน 1 มิติ เมื่อ <math>A</math> เป็นเส้นโค้งที่มีจุดปลายเป็น <math>a</math> และ <math>b</math> แล้ว

<math>\int_A dA \,\nabla f = \oint_{\partial A} dx \, f</math>

จะย่อลงเป็น

<math>\int_a^b dx \, \nabla f = \int_a^b dx \cdot \nabla f = \int_a^b df = f(b) -f(a)</math>

หรือทฤษฎีมูลฐานของแตลคูลัสเชิงปริพันธ์

และที่ได้รับพัฒนาคือแนวคิดของ[[แมนิโฟลด์เวกเตอร์]]และทฤษฎีการปริพันธ์เชิงเรขาคณิต(ที่วางนัยทั่วไปกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์)

== ประวัติ ==

== ดูเพิ่ม ==

* [[เปรียบเทียบระหว่างพีชคณิตเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเรขาคณิต]]
* [[พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด]]
* [[พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี]]
* [[พีชคณิตปริภูมิ-เวลา]]
* [[สปิเนอร์]]
* [[ควอเทอร์เนียน]]
* [[พีชคณิตของปริภูมิกายภาพ]]
* [[พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสากล]]

== หมายเหตุ ==
{{รายการหมายเหตุ}}

== อ้างอิง ==

== แหล่งอ้างอิงและอ่านเพิ่มเติม ==
{{refbegin|2}}
: ''Arranged chronologically''
* {{citation|last=Grassmann|first=Hermann|title=Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert|url=https://books.google.com/books?id=bKgAAAAAMAAJ|year=1844|location=Leipzig|publisher=O. Wigand|oclc=20521674|author-link=Hermann Grassmann}}
* {{citation|last1=Clifford|first1=Professor|title=Applications of Grassmann's Extensive Algebra|date=1878|journal=American Journal of Mathematics|volume=1|issue=4|pages=350–358|doi=10.2307/2369379|jstor=2369379}}
* {{citation|last=Artin|first=Emil|title=Geometric algebra|year=1988|orig-year=1957|series=Wiley Classics Library|publisher=Wiley|doi=10.1002/9781118164518|isbn=978-0-471-60839-4|mr=1009557|author-link=Emil Artin}}
* {{citation|last=Hestenes|first=David|title=Space–time Algebra|year=1966|publisher=Gordon and Breach|isbn=978-0-677-01390-9|oclc=996371|author-link=David Hestenes}}
* {{citation|last1=Wheeler|first1=J. A.|title=Gravitation|year=1973|publisher=W.H. Freeman|isbn=978-0-7167-0344-0|last2=Misner|first2=C.|last3=Thorne|first3=K. S.|title-link=Gravitation (book)}}
* {{citation|last=Bourbaki|first=Nicolas|title=Eléments de Mathématique. Algèbre|year=1980|chapter=Ch. 9 "Algèbres de Clifford"|publisher=Hermann|isbn=9782225655166|author-link=Nicolas Bourbaki}}
* {{cite book|last1=Hestenes|first1=David|title=Clifford Algebra to Geometric Calculus, a Unified Language for Mathematics and Physics|last2=Sobczyk|first2=Garret|publisher=Springer Netherlands|year=1984|isbn=978-90-277-1673-6|mode=cs2|author-link1=David Hestenes}}
* {{citation|last1=Hestenes|first1=David|title=Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics|volume=183|pages=1–23|year=1986|editor1=J.S.R. Chisholm|series=NATO ASI Series (Series C)|chapter=A Unified Language for Mathematics and Physics|publisher=Springer|doi=10.1007/978-94-009-4728-3_1|isbn=978-94-009-4728-3|editor2=A.K. Commons|author-link1=David Hestenes}}
* {{citation|last=Wilmot|first=G.P.|title=The Structure of Clifford algebra. Journal of Mathematical Physics|volume=29|pages=2338–2345|year=1988a}}
* {{citation|last=Wilmot|first=G.P.|title=Clifford algebra and the Pfaffian expansion|journal=Journal of Mathematical Physics|volume=29|pages=2346–2350|year=1988b|doi=10.1063/1.528118}}
* {{citation|last=Chevalley|first=Claude|title=The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras, Collected Works|volume=2|year=1991|publisher=Springer|isbn=3-540-57063-2}}
* {{citation|last=Doran|first=Chris J. L.|title=Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics|year=1994|type=PhD thesis|publisher=[[University of Cambridge]]|doi=10.17863/CAM.16148|oclc=53604228|author-link=Chris J. L. Doran|hdl=1810/251691}}
* {{citation|title=Clifford (Geometric) Algebra with Applications to Physics, Mathematics, and Engineering|year=2011|editor=Baylis, W. E.|orig-year=1996|publisher=[[Birkhäuser]]|isbn=9781461241058}}
* {{citation|last1=Aragón|first1=G.|title=Clifford Algebras and Geometric Algebra|journal=Advances in Applied Clifford Algebras|volume=7|issue=2|pages=91–102|year=1997|doi=10.1007/BF03041220|last2=Aragón|first2=J.L.|last3=Rodríguez|first3=M.A.|s2cid=120860757}}
* {{citation|last=Hestenes|first=David|title=New Foundations for Classical Mechanics|year=1999|edition=2nd|publisher=Springer Verlag|isbn=978-0-7923-5302-7|author-link=David Hestenes}}
* {{citation|last1=Lasenby|first1=Joan|title=A Unified Mathematical Language for Physics and Engineering in the 21st Century|url=http://geometry.mrao.cam.ac.uk/wp-content/uploads/2015/02/00RSocMillen.pdf|journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]]|volume=358|issue=1765|pages=21–39|year=2000|archive-url=https://web.archive.org/web/20150319085814/http://geometry.mrao.cam.ac.uk/wp-content/uploads/2015/02/00RSocMillen.pdf|bibcode=2000RSPTA.358...21L|doi=10.1098/rsta.2000.0517|archive-date=2015-03-19|last2=Lasenby|first2=Anthony N.|last3=Doran|first3=Chris J. L.|author-link3=Chris J. L. Doran|url-status=live|s2cid=91884543}}
* {{citation|last=Lounesto|first=Pertti|title=Clifford Algebras and Spinors|year=2001|edition=2nd|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-00551-7}}
* {{citation|last=Baylis|first=W. E.|title=Electrodynamics: A Modern Geometric Approach|year=2002|edition=2nd|publisher=[[Birkhäuser]]|isbn=978-0-8176-4025-5}}
* {{citation|last=Dorst|first=Leo|title=Applications of Geometric Algebra in Computer Science and Engineering|pages=35–46|year=2002|editor-last=Dorst|editor-first=L.|chapter=The Inner Products of Geometric Algebra|publisher=[[Birkhäuser]]|doi=10.1007/978-1-4612-0089-5_2|isbn=978-1-4612-0089-5|editor2-last=Doran|editor2-first=C.|editor3-last=Lasenby|editor3-first=J.}}
* {{citation|last1=Doran|first1=Chris J. L.|title=Geometric Algebra for Physicists|url=http://assets.cambridge.org/052148/0221/sample/0521480221WS.pdf|year=2003|archive-url=https://web.archive.org/web/20090106022223/http://assets.cambridge.org/052148/0221/sample/0521480221ws.pdf|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-71595-9|archive-date=2009-01-06|last2=Lasenby|first2=Anthony N.|author-link=Chris J. L. Doran|url-status=live}}
* {{citation|last=Hestenes|first=David|title=Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics|url=http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/OerstedMedalLecture.pdf|journal=Am. J. Phys.|volume=71|issue=2|pages=104–121|year=2003|archive-url=https://web.archive.org/web/20100617123323/http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/OerstedMedalLecture.pdf|bibcode=2003AmJPh..71..104H|citeseerx=10.1.1.649.7506|doi=10.1119/1.1522700|archive-date=2010-06-17|author-link=David Hestenes|url-status=live}}
* {{citation|last1=Hildenbrand|first1=Dietmar|title=Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics|url=http://www.gaalop.de/dhilden_data/CLUScripts/eg04_tut03.pdf|journal=Proceedings of Eurographics 2004|year=2004|archive-url=https://web.archive.org/web/20150906043232/http://www.gaalop.de/dhilden_data/CLUScripts/eg04_tut03.pdf|doi=10.2312/egt.20041032|archive-date=2015-09-06|last2=Fontijne|first2=Daniel|last3=Perwass|first3=Christian|last4=Dorst|first4=Leo|url-status=live}}
* {{citation|last1=Lasenby|first1=Anthony|title=AIP Conference Proceedings|date=2004|volume=736|pages=53–70|chapter=Conformal Models of de Sitter Space, Initial Conditions for Inflation and the CMB|arxiv=astro-ph/0411579|doi=10.1063/1.1835174|s2cid=18034896}}
* {{citation|last1=Hestenes|first1=David|title=Introduction to Primer for Geometric Algebra|url=http://geocalc.clas.asu.edu/html/IntroPrimerGeometricAlgebra.html|year=2005}}
* {{cite book|last1=Selig|first1=J.M.|url=http://link.springer.com/10.1007/b138859|title=Geometric Fundamentals of Robotics|publisher=Springer New York|year=2005|isbn=978-0-387-20874-9|series=Monographs in Computer Science|location=New York, NY|language=en|doi=10.1007/b138859}}
* {{citation|last=Bain|first=J.|title=The ontology of spacetime|url=https://books.google.com/books?id=OI5BySlm-IcC&pg=PT72|page=54 ''ff''|year=2006|editor=[[Dennis Dieks]]|publisher=Elsevier|isbn=978-0-444-52768-4|section=Spacetime structuralism: §5 Manifolds ''vs.'' geometric algebra}}
* {{citation|last1=Dorst|first1=Leo|title=Geometric algebra for computer science: an object-oriented approach to geometry|url=http://www.geometricalgebra.net/|year=2007|publisher=Elsevier|isbn=978-0-12-369465-2|oclc=132691969|last2=Fontijne|first2=Daniel|last3=Mann|first3=Stephen}}
* {{citation|last=Penrose|first=Roger|title=The Road to Reality|year=2007|publisher=Vintage books|isbn=978-0-679-77631-4|author-link=Roger Penrose|title-link=The Road to Reality}}
* {{citation|last1=Francis|first1=Matthew R.|title=The Construction of Spinors in Geometric Algebra|journal=[[Annals of Physics]]|volume=317|issue=2|pages=383–409|year=2008|arxiv=math-ph/0403040v2|bibcode=2005AnPhy.317..383F|doi=10.1016/j.aop.2004.11.008|last2=Kosowsky|first2=Arthur|s2cid=119632876}}
* {{citation|last=Li|first=Hongbo|title=Invariant Algebras and Geometric Reasoning|url=https://books.google.com/books?id=bUEcbyfW55YC|year=2008|publisher=World Scientific|isbn=9789812770110}}. [https://web.archive.org/web/20110629144727/http://www.worldscibooks.com/etextbook/6514/6514_chap01.pdf Chapter 1] as PDF
* {{citation|last=Vince|first=John A.|title=Geometric Algebra for Computer Graphics|year=2008|publisher=Springer|isbn=978-1-84628-996-5}}
* {{cite arXiv |eprint=0907.5356v1 |class=math-ph |first1=Douglas |last1=Lundholm |first2=Lars |last2=Svensson |title=Clifford Algebra, Geometric Algebra and Applications |year=2009 |mode=cs2}}
* {{citation|last1=Perwass|first1=Christian|title=Geometric Algebra with Applications in Engineering|date=2009|volume=4|series=Geometry and Computing|bibcode=2009gaae.book.....P|doi=10.1007/978-3-540-89068-3|isbn=978-3-540-89067-6}}
* {{citation|last1=Selig|first1=J. M.|title=Clifford algebra of points, lines and planes|date=2000|url=http://researchopen.lsbu.ac.uk/99/1/Cliff.pdf|journal=Robotica|volume=18|issue=5|pages=545–556|doi=10.1017/S0263574799002568|s2cid=28929170}}
* {{citation|last=Bayro-Corrochano|first=Eduardo|title=Geometric Computing for Wavelet Transforms, Robot Vision, Learning, Control and Action|year=2010|publisher=Springer Verlag|isbn=9781848829299}}
* {{citation|title=Geometric Algebra Computing in Engineering and Computer Science|url=https://books.google.com/books?id=MaVDAAAAQBAJ|year=2010|editor-last=Bayro-Corrochano|editor-first=E.|publisher=Springer|isbn=9781849961080|editor-last2=Scheuermann|editor-first2=Gerik}} Extract online at http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html #5 New Tools for Computational Geometry and rejuvenation of Screw Theory
* {{citation|last=Goldman|first=Ron|title=Rethinking Quaternions: Theory and Computation|year=2010|at=Part III. Rethinking Quaternions and Clifford Algebras|publisher=Morgan & Claypool|isbn=978-1-60845-420-4}}
* {{citation|last1=Dorst|first1=Leo.|title=Guide to Geometric Algebra in Practice|year=2011|publisher=Springer|isbn=9780857298119|last2=Lasenby|first2=Joan}}
* {{citation|last=Macdonald|first=Alan|title=Linear and Geometric Algebra|url=http://faculty.luther.edu/~macdonal/laga/|year=2011|publisher=CreateSpace|isbn=9781453854938|oclc=704377582}}
* {{citation|last=Snygg|first=John|title=A New Approach to Differential Geometry using Clifford's Geometric Algebra|year=2011|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-8282-8}}
* {{citation|last1=Hildenbrand|first1=Dietmar|title=Foundations of Geometric Algebra computing|date=2012|journal=Numerical Analysis and Applied Mathematics Icnaam 2012: International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics|volume=1479|issue=1|pages=27–30|series=AIP Conference Proceedings|bibcode=2012AIPC.1479...27H|doi=10.1063/1.4756054}}
* {{citation|last1=Sokolov|first1=Andrey|title=Clifford algebra and the projective model of Minkowski (Pseudo-Euclidean) spaces|date=2013|arxiv=1307.4179}}
* {{citation|last=Bromborsky|first=Alan|title=An introduction to Geometric Algebra and Calculus|url=http://mathschoolinternational.com/Math-Books/Books-Geometric-Algebra/Books/An-Introduction-to-Geometric-Algebra-and-Calculus-by-Alan-Bromborsky.pdf|year=2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20191015203752/http://mathschoolinternational.com/Math-Books/Books-Geometric-Algebra/Books/An-Introduction-to-Geometric-Algebra-and-Calculus-by-Alan-Bromborsky.pdf|archive-date=2019-10-15|url-status=live}}
* {{citation|last1=Klawitter|first1=Daniel|title=Clifford Algebras|date=2015|doi=10.1007/978-3-658-07618-4|isbn=978-3-658-07617-7}}
* {{citation|last=Kanatani|first=Kenichi|title=Understanding Geometric Algebra: Hamilton, Grassmann, and Clifford for Computer Vision and Graphics|year=2015|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-5951-3}}
* {{cite arXiv |eprint=1507.06634v1 |class=math.MG |first1=Hongbo |last1=Li |first2=Lei |last2=Huang |title=Three-Dimensional Projective Geometry with Geometric Algebra |year=2015 |last3=Shao |first3=Changpeng |last4=Dong |first4=Lei |mode=cs2}}
* {{citation|last1=Hestenes|first1=David|title=The Genesis of Geometric Algebra: A Personal Retrospective|date=2017|journal=Advances in Applied Clifford Algebras|volume=27|pages=351–379|doi=10.1007/s00006-016-0664-z|s2cid=253592888}}
* {{citation|last1=Dorst|first1=Leo|title=3D Oriented Projective Geometry Through Versors of {{tmath|1= \mathbb{R}^{3,3} }}|date=2016|journal=Advances in Applied Clifford Algebras|volume=26|issue=4|pages=1137–1172|doi=10.1007/s00006-015-0625-y}}
* {{cite book|last=Lengyel|first=Eric|title=Foundations of game engine development|publisher=Terathon Software LLC|year=2016|isbn=978-0-9858117-4-7|series=Mathematics|volume=1|location=Lincoln, California}}
* {{citation|last1=Vaz|first1=Jayme|title=An Introduction to Clifford Algebras and Spinors|year=2016|publisher=Oxford University Press|bibcode=2016icas.book.....V|isbn=978-0-19-878292-6|last2=da Rocha|first2=Roldão}}
* {{citation|last1=Easter|first1=Robert Benjamin|title=Double Conformal Geometric Algebra|date=2017|journal=Advances in Applied Clifford Algebras|volume=27|issue=3|pages=2175–2199|doi=10.1007/s00006-017-0784-0|last2=Hitzer|first2=Eckhard|s2cid=253600526}}
* {{citation|last1=Du|first1=Juan|title=Modeling 3D Geometry in the Clifford Algebra R(4, 4)|date=2017|journal=Advances in Applied Clifford Algebras|volume=27|issue=4|pages=3039–3062|doi=10.1007/s00006-017-0798-7|last2=Goldman|first2=Ron|last3=Mann|first3=Stephen|s2cid=253587390}}
* {{cite book|last=Bayro-Corrochano|first=Eduardo|url=https://books.google.com/books?id=SSVhDwAAQBAJ|title=Computer Vision, Graphics and Neurocomputing|publisher=Springer|year=2018|isbn=978-3-319-74830-6|series=Geometric Algebra Applications|volume=I}}
* {{cite thesis|year=2018|last=Breuils|first=Stéphane|title=Structure algorithmique pour les opérateurs d'Algèbres Géométriques et application aux surfaces quadriques|type=PHD|publisher=université-paris-est|url=http://monge.univ-mlv.fr/~breuils/manuscritBreuils.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20190714145624/http://monge.univ-mlv.fr/~breuils/manuscritBreuils.pdf|archive-date=2019-07-14|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Lavor|first1=Carlile|url=https://books.google.com/books?id=avBjDwAAQBAJ&pg=PA117|title=A Geometric Algebra Invitation to Space-Time Physics, Robotics and Molecular Geometry|last2=Xambó-Descamps|first2=Sebastià|last3=Zaplana|first3=Isiah|publisher=Springer|year=2018|isbn=978-3-319-90665-2|pages=1–}}
* {{citation|last1=Hrdina|first1=Jaroslav|title=Geometric Algebra for Conics|date=2018|journal=Advances in Applied Clifford Algebras|volume=28|issue=3|doi=10.1007/s00006-018-0879-2|last2=Návrat|first2=Aleš|last3=Vašík|first3=Petr|s2cid=125649450}}
* {{citation|last1=Breuils|first1=Stéphane|title=Three-dimensional quadrics in extended conformal geometric algebras of higher dimensions from control points, implicit equations and axis alignment|date=2019|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02169419/file/main.pdf|journal=Advances in Applied Clifford Algebras|volume=29|issue=3|doi=10.1007/s00006-019-0974-z|last2=Fuchs|first2=Laurent|last3=Hitzer|first3=Eckhard|last4=Nozick|first4=Vincent|last5=Sugimoto|first5=Akihiro|s2cid=253597480}}
* {{cite book|last1=Josipović|first1=Miroslav|url=https://books.google.com/books?id=4uG_DwAAQBAJ|title=Geometric Multiplication of Vectors: An Introduction to Geometric Algebra in Physics|publisher=Springer International Publishing;Birkhäuser|year=2019|isbn=978-3-030-01756-9|pages=256}}
* {{citation|last1=Hadfield|first1=Hugo|title=Advances in Computer Graphics|date=2020|volume=12221|pages=459–471|series=Lecture Notes in Computer Science|chapter=Constrained Dynamics in Conformal and Projective Geometric Algebra|chapter-url=https://www.repository.cam.ac.uk/handle/1810/324261|doi=10.1007/978-3-030-61864-3_39|isbn=978-3-030-61863-6|last2=Lasenby|first2=Joan|s2cid=224820480}}
* {{citation|last1=Wu|first1=Bofeng|title=A signature invariant geometric algebra framework for spacetime physics and its applications in relativistic dynamics of a massive particle and gyroscopic precession|date=2022|journal=Scientific Reports|volume=12|issue=1|page=3981|arxiv=2111.07353|bibcode=2022NatSR..12.3981W|doi=10.1038/s41598-022-06895-0|pmc=8901677|pmid=35256628}}
* {{cite web|last=Wilmot|first=G.P.|year=2023|title=The Algebra Of Geometry|url=https://github.com/GPWilmot/geoalg|website=[[GitHub]]}}
{{refend}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
<references />