ดูต้นฉบับสำหรับ การหารสังเคราะห์พหุนาม

[[ไฟล์:Synthdiv.gif|thumb|189x189px|ภาพเคลื่อนไหวแสดงการหารสังเคราะห์ เพื่อหาผลหารของ <math>2x^4 + 3x^2 + 5x + 1</math> หารด้วย <math>x-2</math>  สังเกตได้ว่าไม่มีพจน์ <math>x^3</math> ดังนั้นหลักที่ 4 จากทางขวาจึงเป็นศูนย์]]
ใน[[พีชคณิต]] '''การหารสังเคราะห์พหุนาม''' หรือ'''การหารสังเคราะห์''' ([[ภาษาอังกฤษ|อังกฤษ]]: synthetic division) เป็นการคำนวนโดยใช้[[วิธีการหารพหุนามยุคลิด]] และเป็นวิธีที่สั้นกว่า[[การหารยาวพหุนาม]] 

ส่วนใหญ่จะสอนใช้กับแค่[[พหุนามโมนิก]][[เชิงเส้น]] ([[กฎของรัฟฟินี]]) แต่สามารถวางนัยกับ[[พหุนาม]]ทั่วไปได้

ข้อดีของการหารสังเคราะห์คือ สามารถทดได้โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร คำนวนน้อย และใช้พื้นที่น้อยกว่าการหารยาว อีกทั้งการลบในการหารยาวเปลี่ยนเป็นการบวกแทนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตอนแรก ๆ ช่วยป้องกันการเขียนเครื่องหมายผิด

== การหารสังเคราะห์ปกติ ==
ตัวอย่างแรกคือการหารสังเคราะห์ที่มีตัวส่วนเป็น[[พหุนามโมนิก|โมนิก]]เชิงเส้น <math>x-a</math>

<math>\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}</math>

[[ตัวเศษ]]เขียนใหม่ได้เป็น <math>P(x)=x^3-12x^2+0x-42</math>

รากของตัวส่วน <math>g(x)</math> คือ <math>3</math>

สัมประสิทธิ์ของ <math>P(x)</math> เรียงได้ดังนี้ โดยเขียนรากของ <math>g(x)</math> ไว้ทางซ้าย

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} \ 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
    \end{array}
\end{array}</math>

{{สี|blue|สัมประสิทธิ์ตัวแรก}}หลังเส้นกั้น ถูกดึงลงมาแถวสุดท้าย

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        \color{blue}1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
        \color{blue}1 &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}</math>

{{สี|blue|เลขที่ถูกดึง}}คูณกับ{{สี|gray|เลขหน้าเส้นกั้น}} {{สี|brown|ผลคูณ}}วางทแยงไปขวาบนในหลักถัดไป

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ \color{grey}3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &   \color{brown}3 &   &     \\
        \hline 
        \color{blue}1 &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}</math>

{{สี|green|บวก}}กันภายในหลักถัดไป

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & \color{green}-12 & 0 & -42 \\
          &   \color{green}3 &   &     \\
        \hline 
        1 &  \color{green}-9 &   &     \\
    \end{array}
\end{array}</math>

ทำสองขั้นตอนที่แล้วไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงหลักสุดท้าย

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 &   0 & -42 \\
          &   3 & -27 & -81 \\
        \hline 
        1 & -9 & -27 & -123 
    \end{array}
\end{array}</math>

ที่นี้ หลักสุดท้าย (-123) คือเศษเหลือ ที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

<math>	\begin{array}{rrr|r} 
    1x^2 &  -9x & -27 & -123 
\end{array}</math>

ผลหารและเศษเหลือจะเป็นดังนี้

<math>q(x) = x^2 - 9x - 27 
</math>

<math>r(x) = -123</math>

=== การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ ===
รูปแบบการหารสังเคราะห์ข้างต้นมีประโยชน์ในการหาเศษเหลือจากพหุนาม[[ตัวแปรเดียว]]จาก[[ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม|ทฤษฎีบทเศษเหลือ]] โดยสรุป ค่าของ <math>P(x)</math> ณ <math>a</math> จะเท่ากับเศษเหลือจากการหาร <math>P(x)</math> ด้วย <math>x-a</math>

ข้อดีจากการใช้วิธีนี้ตือการคูณน้อยลงประมาณครึ่งหนึ่งจากการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ อีกวิธีทางเลือกคือ[[วิธีของฮอร์เนอร์]]

== การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย ==
วิธีนี้วางนัยได้กับการหาร[[พหุนามโมนิก]]ทั่วไปได้ ข้อแตกต่างจากวิธีปกติจะทำ'''เส้นหนา''' ใช้ขั้นตอนเหมือนกับวิธีปกติกับการหารพหุนามต่อไปนี้

<math>\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3}</math>

ดูเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวเศษ เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวตั้งข้างบน

<math>	\begin{array}{|rrrr} 
\     1 & -12 & 0 & -42 
\end{array}</math>

กลับเครื่องหมายตัวหาร

<math>	\begin{array}{rrr} 
     -1x^2 &-1x &+3
\end{array}</math>

เขียน{{สี|gray |สัมประสิทธิ์}}ทุกตัวยกเว้นตัวแรกทางซ้ายก่อนเส้นกั้น '''เขียนทแยงไปทางขวาบน''' (ดูภาพถัดไป)

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &\color{grey}3 \\ \color{grey}-1& \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} \ 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
          &     &   &     \\
        \hline 
    \end{array}
\end{array}</math>

สังเกตการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย'''จาก 1 เป็น -1 และจาก -3 เป็น 3''' ดึง{{สี|blue|สัมประสิทธิ์ตัวแรก}}หลังเส้นกั้นลงมาแถวสุดท้าย

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        \color{blue}1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
          &     &   &     \\
        \hline 
        \color{blue}1 &     &   &     \\    
    \end{array}
\end{array}</math>

คูณ{{สี|blue|เลขที่ถูกดึง}}กับ'''{{สี|gray|เลขทแยงหน้าเส้นกั้น}}''' {{สี|brown|ผลคูณ}}วางทแยงไปขวาบน'''จนกว่าจะคูณครบทุกเลขหน้าเส้นกั้น'''ในหลักถัด ๆ ไป

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &\color{grey}3 \\ \color{grey}-1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     & \color{brown}3 &     \\
          &  \color{brown}-1 &   &     \\
        \hline 
        \color{blue}1 &     &   &     \\    
    \end{array}
\end{array}</math>

{{สี|green|บวก}}กันภายในหลักถัดไป

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & \color{green}-12 & 0 & -42 \\
          &     & 3 &     \\
          &  \color{green}-1 &   &     \\
        \hline 
        1 & \color{green}-13 &   &     \\    
    \end{array}
\end{array}</math>

ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ '''จนกว่าเส้นทแยงผลคูณจะเลยหลักสุดท้าย'''

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 &  0 & -42 \\
          &     &  3 & -39 \\
          &  -1 & 13 &     \\
        \hline 
        1 & -13 & 16 &     \\    
    \end{array}
\end{array}</math>

แล้วก็บวกหลักที่เหลือ

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 &  0 & -42 \\
          &     &  3 & -39 \\
          &  -1 & 13 &     \\
        \hline 
        1 & -13 & 16 & -81 \\    
    \end{array}
\end{array}</math>

นับจำนวนตัวเลขหน้าเส้นกั้น เนื่องจากมีสองตัว เศษเหลือจึงมีดีกรีเป็นหนึ่ง สังเกตได้ว่าหลักที่ไม่ได้ถูกคูณจะเป็นเศษเหลือ ซึ่งเป็นสองหลักใต้เส้นกั้นที่นับจากทางขวา เขียนเส้นกั้นลงไป 

<math>	\begin{array}{rr|rr} 
    1 &  -13 & 16 & -81 
\end{array}</math>

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

<math>	\begin{array}{rr|rr} 
    1x &  -13 & 16x & -81 
\end{array}</math>

ผลลัพท์จากการหารจะได้ดังนี้

<math>\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}</math>

=== สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก ===
วิธีนี้ยังสามารถวางนัยทั่วไปให้สามารถใช้ได้กับพหุนามทั่วไป ไม่ใช่แค่[[พหุนามโมนิก]]โดยการดัดแปลงเล็กน้อย โดยปกติจะหารตัวหาร <math>g(x)</math> ด้วยสัมประสิทธิ์นำ <math>a</math>

<math>h(x) = \frac{g(x)}{a}</math>

แล้วหารสังเคราะห์โดยใช้ <math>h(x)</math> เป็นตัวหาร แล้วหารผลหารที่ได้ด้วย <math>a</math> ถึงจะได้ผลหารจากการหารด้วย <math>g(x)</math> (เศษเหลือยังคงเดิม) แต่วิธีนี้ผิดพลาดได้ง่ายเนื่องจากตัวคูณในการหารสังเคราะห์เป็นเศษส่วน

จากการสังเกตจากการหารยาวพหุนามด้วยตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก สัมประสิทธิ์ <math>P(x)</math> จะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของ <math>g(x)</math> หลังถูกดึงและก่อนคูณ

โดยแสดงจากการหารพหุนามดังต่อไปนี้

<math>\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}</math>

ใช้ตารางที่ถูกดัดแปลงเล็กน้อย

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &     &  &     \\
          &    &   &     \\
        \hline
          &     &   &     \\ 
          &     &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}</math>

สังเกตว่ามีแถวเพิ่มขึ้นข้างล่าง ใช้เพื่อเขียนค่าหลังจากหารตัวที่ถูกดึงด้วยสัมประสิทธิ์นำของ <math>g(x)</math> (ในที่นี้คือ /3 สังเกตว่าตัวเลขนี้ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ต่างจากสัมประสิทธิ์ตัวอื่น ๆ ของ <math>g(x)</math>)

{{สี|blue|สัมประสิทธิ์ตัวแรก}}ของ <math>P(x)</math> ถูกดึงลงมาตามเดิม

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        \color{blue} 6 & 5 & 0 & -7 \\
          &     &  &     \\
          &    &   &     \\
        \hline
        \color{blue} 6 &     &   &     \\ 
          &     &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}</math>

{{สี|blue|ตัวเลขที่ถูกดึง}}ลงมาหารด้วย 3 แล้วเขียนลงไปในแถวถัดไป

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &     &  &     \\
          &    &   &     \\
        \hline
        \color{blue}6 &     &   &     \\ 
        \color{blue}2 &     &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}</math>

'''{{สี|blue|ตัวเลขใหม่}}ที่ถูกหารนี้''' ไปคูณกับเลขหน้าเส้นกั้นและเขียนในแถวที่เป็นพหุคูณของ {{สี|gray|2 และ 1}} ดังที่ได้อธิบายไว้ในวิธีส่วนขยายที่กล่าวไป

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &\color{grey} 1& \\ \color{grey} 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &   & \color{brown} 2 &     \\
          & \color{brown} 4 &   &     \\
        \hline
        6 &     &   &     \\ 
        \color{blue} 2 &     &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}</math>

{{สี|green|เลข 5}}ถูกดึงและบวกกับ 4 ผลลัพท์จะถูกหารด้วย 3

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & \color{green}5 & 0 & -7 \\
          &   & 2 &    \\
          & \color{green}4 &  &     \\
        \hline
        6 & \color{green}9 &   &     \\ 
        2 & \color{green} 3 &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}</math>

ทำเข่นเดียวกันกับ{{สี|blue|เลข 3}}

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &\color{gray}1& \\ \color{gray} 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &   & 2 &  \color{brown}3  \\
          & 4 & \color{brown}6 &     \\
        \hline
        6 & 9 &   &     \\ 
        2 & \color{blue}3 &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}</math>

ณ จุดนี้หลัวจากได้ผลบวกตัวที่สาม เส้นทแยงผลคูณจะ "ตกขอบขวา" ดังนั้นผลบวกตัวนี้จะเป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกของเศษเหลือ เหมือนในวิธีส่วนขยายที่ได้กล่าวไป แต่ค่าของเศษเหลือจะ'''ไม่'''ถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}
    \begin{array}{|rrrr} 
        6 & 5 & 0 & -7 \\
          &   & 2 &  3  \\
          & 4 & 6 &     \\
        \hline
        6 & 9 & 8 & -4  \\ 
        2 & 3 &   &     \\   
    \end{array}
\end{array}</math>

เหมือนในการหารสังเคราะห์แบบขยาย สองหลักสุดท้ายจะเป็นสัมประสิทธิ์เศษเหลือ (ดีกรีของตัวหารเป็น 2) ส่วนค่าที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

<math>	\begin{array}{rr|rr} 
    2x &  +3 & 8x & -4 
\end{array}</math>

ผลลัพท์จะได้ดังนี้

<math>\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1} = 2x + 3 + \frac{8x - 4}{3x^2-2x-1}</math>

=== การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ ===
แต่ว่าการเขียน'''แนวทแยง'''จากที่ได้กล่าวมานั้น จะกินพื้นที่เมื่อดีกรีตัวหารเกินครึ่งหนี่งของตัวตั้ง พิจารณาได้จากการหารต่อไปนี้

<math>\dfrac{a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0}</math>

จะเห็นได้ว่าจะเขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดไหนก็ได้ ขอให้แค่ถูกหลักก็พอ โดยใช้'''กลยุทธ์แบบละโมบ'''ใน'''การย่อ'''ขั้นตอนวิธี ดังการหารต่อไปนี้

<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & r_2 & r_1 & r_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>

ต่อไปนี้คือขั้นตอนวิธีของการหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ สามารถใช้ได้กับพหุนามไม่เป็นโมนิกอีกด้วย

# เขียนสัมประสิทธิ์ตัวตั้งบนเส้นกั้น
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{|rrrrrrrr} \ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \end{array} \end{array}</math>
# กลับเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ของตัวหาร ยกเว้นสัมประสิทธิ์ตัวนำ แล้วเขียนลงทางซ้ายของเส้นกัั้น
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrrrrr}\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \end{array} \end{array}</math>
# นับจำนวนสัมประสิทธิ์ตัวหารให้เท่ากับสัมประสิทธิ์หน้าเส้นกั้น โดยเริ่มจากหลักขวาสุด แล้วเขียนเส้นกั้นลงทางซ้ายเพื่อแบ่งหลักที่เป็นสัมประสิทธิ์ผลหารกับเศษเหลือ
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr|rrrr} a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
# ดึงสัมประสิทธิ์หลักแรกลงใต้เส้นกั้น
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr|rrrr} a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
#* หารจำนวนที่ถูกดึง/บวกมาด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร แล้วเขียนผลหารลงแถวข้างล่าง (ขั้นตอนนี้ไม่จำเป็นถ้าสัมประสิทธิ์ตัวนำตัวหารเป็น 1) ในที่นี้ <math>q_3 = \frac{a_7}{b_4}</math> ซึ่งดัชนีของ <math>q</math> เป็น <math>3=7-4</math> นั้นเกิดจากการลบดัชนีของตัวตั้งกับตัวหาร
#* คูณจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหาร ด้วยสัมประสิทธิ์ตัวหารที่ถูกกลับเครื่องหมายหน้าเส้นกั้น (เริ่มจากซ้ายสุด) ข้ามขั้นตอนนี้ถ้าจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหารเป็นศูนย์ เขียนผลคูณในหลักถัด ๆ ไปตามลำดับ<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & & & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & & & & & & & \\ q_3 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
# ทำการบวกภายในหลักถัดไป ในที่นี้ <math>q'_2=q_3b_3+a_6</math>
<math>\begin{array}{cc}\begin{array}{rrrr} \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & & & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & & & & & & \\ q_3 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
# ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงเลขหน้าเส้นกั้น i. ให้ <math>q_2 = \frac{q_2'}{b_4}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & & & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & & & & & \\ q_3 & q_2 & & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math> ii.ให้ <math>q_1 = \frac{q_1'}{b_4}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & & & & \\ q_3 & q_2 & q_1 & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math> iii.ให้ <math>q_0 = \frac{q_0'}{b_4}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & & & \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
# ทำการบวกหลักที่เหลือ (เพื่อคำนวนหาเศษเหลือ)
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & r_2 & r_1 & r_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
# ในแถวล่างสุดใต้เส้นกั้เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ส่วนหน้าเส้นกั้นเป็นของผลหาร ส่วนหลังเส้นกั้นเป็นเศษเหลือ สัมประสิทธิ์เหล่านี้มีดีกรีเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย โดยเริ่มที่ศูนย์ทั้งผลหารและเศษเหลือ
<math>\dfrac{a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0} = q_3 x^3 + q_2 x^2 + q_1 x + q_0 + \dfrac{r_3 x^3 + r_2 x^2 + r_1 x + r_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0}</math>

== ดูเพิ่ม ==

* [[โดเมนแบบยุคลิด]]
* [[ตัวหารร่วมมากของพหุนาม|ตัวหารร่วมมากของสองพหุนาม]]
* [[ฐานหลักเกริบเนอร์]]
* [[แบบแผนฮอร์เนอร์]]
* [[ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม]]
* [[กฎของรัฟฟินี]]

== อ้างอิง ==

* {{Cite journal|last=Fan|first=Lianghuo|date=June 2003|title=A Generalization of Synthetic Division and A General Theorem of Division of Polynomials|url=http://eprints.soton.ac.uk/168861/1/FLH_article_on_polynomial_division.pdf|url-status=live|journal=Mathematical Medley|volume=30|issue=1|pages=30-37|archive-url=https://web.archive.org/web/20150907175117/https://eprints.soton.ac.uk/168861/1/FLH_article_on_polynomial_division.pdf|archive-date=September 7, 2015}}
* {{Cite journal|last=Li|first=Zhou|date=January 2009|title=Short Division of Polynomials|url=https://maa.org/sites/default/files/Zhou-CMJ0920066.pdf|url-status=live|journal=College Mathematics Journal|volume=40|issue=1|pages=44-46|archive-url=https://web.archive.org/web/20200709185213/https://maa.org/sites/default/files/Zhou-CMJ0920066.pdf|archive-date=July 9, 2020}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==

* {{Mathworld|author=Goodman, Len; Stover, Christopher & Weisstein, Eric W.|title=Synthetic Division|id=SyntheticDivision}}
* {{Mathworld|author=Stover, Christopher|title=Ruffini's Rule|id=RuffinisRule}}

[[หมวดหมู่:พหุนาม]]
[[หมวดหมู่:การหาร]]