ดูต้นฉบับสำหรับ กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน

{{See also |วัตถุดำ|การแผ่รังสีของวัตถุดำ|กฎของพลังค์|การแผ่รังสีความร้อน}}
[[ไฟล์:Stefan Boltzmann 001.svg|thumb|กราฟของฟังก์ชันซึ่งแสดงสัดส่วนระหว่างพลังงานทั้งหมดที่ถูกส่งออกมาจากวัตถุดำ <math>j^{\star}</math> กับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ <math>T\,</math> และเส้นสีฟ้าแสดงถึงพลังงานทั้งหมดตาม[[การประมาณของวีน]] (Wien approximation) <math> j^{\star}_{W} = j^{\star} / \zeta(4) \approx 0.924 \, \sigma T^{4} \!\, </math>]]

'''กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน''' ({{langx|en|Stefan–Boltzmann law}}) ใช้[[อุณหภูมิ]]เพื่ออธิบายถึงพลังงานที่[[วัตถุดำ]]แผ่รังสีออกมา โดยกล่าวว่า[[พลังงาน]]ทั้งหมดซึ่งวัตถุดำแผ่ออกมาต่อหน่วย[[พื้นที่|พื้นที่ผิว]]ที่[[การแผ่รังสีของวัตถุดำ#การอธิบายสเปกตรัมของการแผ่รังสีของวัตถุดำ|ความยาวคลื่นทุกค่า]]ต่อหน่วย[[เวลา]] <math> j^{\star}</math> (หรือเรียกว่า[[ความเปล่งรังสี]]ของวัตถุดำ) ซึ่งแปรผันตรงกับ[[อุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์]] ของวัตถุดำ ''T'' กำลังสี่:

:<math> j^{\star} = \sigma T^{4}.</math>

ในที่นี้ ''σ'' เป็น[[ค่าคงตัว]] เรียกว่า '''ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน''' (Stefan–Boltzmann constant) ซึ่งหามาได้จาก[[ค่าคงตัวทางฟิสิกส์]]ค่าอื่นที่รู้อยู่แล้ว ค่าคงตัวนี้มีค่าเท่ากับ

:<math>
\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670373 \times 10^{-8}\, \mathrm{W\, m^{-2}K^{-4}},
</math>

เมื่อ ''k'' เป็น[[ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน]] ''h'' เป็น[[ค่าคงตัวของพลังค์]] และ ''c'' เป็น[[อัตราเร็วของแสง|อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ]] [[ความแรงรังสี]] (radiance) จากองศาการมองที่กำหนด (วัตต์ต่อตารางเมตรต่อ[[สเตอเรเดียน]]) ถูกกำหนดไว้เป็น 
:<math> L = \frac{j^{\star}}\pi = \frac\sigma\pi T^{4}.</math>

วัตถุที่ไม่ดูดกลืนรังสีตกกระทบทั้งหมด (บางครั้งถูกเรียกว่าวัตถุเทา) ปล่อยพลังงานรวมทั้งหมดน้อยกว่าวัตถุดำและมีคุณลักษณะ[[สภาพเปล่งรังสี]] (Emissivity) <math>\varepsilon < 1</math>:

:<math> j^{\star} = \varepsilon\sigma T^{4}.</math>

การเปล่งรังสี <math> j^{\star}</math> มี[[การวิเคราะห์เชิงมิติ|มิติ]] (dimensional analysis) เป็น[[ฟลักซ์พลังงาน]] (energy flux) (พลังงานต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่) และ[[หน่วย SI]] ของมันคือ[[จูล]]ต่อวินาทีต่อตารางเมตรหรือ[[วัตต์]]ต่อตารางเมตร หน่วย SI ของอุณหภูมิสัมบูรณ์ ''T'' คือ[[เคลวิน]] [[สภาพเปล่งรังสี]]ของวัตถุเทาคือ ''<math>\varepsilon</math>'' และหากเป็นวัตถุดำที่สมบูรณ์ <math>\varepsilon=1</math> ส่วนในกรณีทั่วไป (และสมจริงกว่า) นั้นสภาพเปล่งรังสีขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น 

<math>\varepsilon=\varepsilon(\lambda)</math>

เราสามารถหา[[กำลัง (ฟิสิกส์)|กำลัง]]ทั้งหมดที่ถูกแผ่รังสีออกมาจากวัตถุได้ด้วยการคูณด้วยพื้นที่ผิว <math>A</math>:

:<math> P= A j^{\star} = A \varepsilon\sigma T^{4}.</math>

อนุภาคระดับความยาวคลื่นและเล็กกว่าความยาวคลื่น<ref name="Bohren">
{{cite book
 |last1=Bohren |first1=Craig F.
 |last2=Huffman |first2=Donald R.
 |year=1998
 |title=Absorption and scattering of light by small particles
 |url=https://books.google.com/books?id=ib3EMXXIRXUC
 |publisher=Wiley
 |isbn=978-0-471-29340-8
 |pages=123–126
}}</ref> [[อภิวัสดุ]] (metamaterial)<ref>
{{Cite book
 |last1=Narimanov |first1=Evgenii E.
 |last2=Smolyaninov |first2=Igor I.
 |year=2012
 |chapter=Beyond Stefan–Boltzmann Law: Thermal Hyper-Conductivity
 |title=Conference on Lasers and Electro-Optics 2012
 |series=OSA Technical Digest
 |publisher=Optical Society of America
 |pages=QM2E.1
 |doi=10.1364/QELS.2012.QM2E.1
 |isbn=978-1-55752-943-5
|citeseerx=10.1.1.764.846
 |s2cid=36550833
 }}</ref> และโครงสร้างนาโนอื่น ๆ ไม่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตหรือรังสี และอาจถูกออกแบบมาให้เกินกว่ากฎของชเต็ฟฟัน-บ็อลทซ์มัน 

== ประวัติ ==
ในปี ค.ศ. 1864 [[จอห์น ทินดัลล์]] (John Tyndall) นำแสนอการวัดค่าการเปล่งรังสีอินฟราเรดของเส้นใยทองคำขาวและสีของเส้นใยที่สอดคล้องกัน<ref>
* {{cite journal|last1=Tyndall|first1=John|title=On luminous [i.e., visible] and obscure [i.e., infrared] radiation|journal=Philosophical Magazine|date=1864|volume=28|pages=329–341|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=umn.31951000614117o;view=1up;seq=357|series=4th series}} ; ดูหน้า 333.
ในตำราฟิสิกส์ปี ค.ศ. 1875 ของ[[อาด็อล์ฟ วึลเนอร์]] (Adolf Wüllner) ได้มีการอ้างอิงผลการทดลองของทินดัลล์และเพิ่มประมาณการอุณหภูมิที่สอดคล้องกับสีต่าง ๆ ของเสนใยทองคำขาวเข้าไป:
* {{cite book|last1=Wüllner|first1=Adolph|title=Lehrbuch der Experimentalphysik|trans-title=Textbook of experimental physics|volume=3|date=1875|publisher=B.G. Teubner|location=Leipzig, Germany|page=215|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4062759;view=1up;seq=231|language=de}}
จาก (Wüllner, 1875), หน้า 215:  ''"Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht, … also fast um das 12fache zu."'' (ตามการทดลองของเดรเปอร์ซึ่งจะอภิปรายในอีกสักนิด การเรืองแสงสีแดงอ่อนสอดคล้องกับอุณหภูมิประมาณ 525°[C] การเรืองแสงสีขาวเต็มสอดคล้องกับ[อุณหภูมิ]ประมาณ 1200°[C]  ดังนั้นแม้อุณหภูมิจะสูงขึ้นมากกว่าสองเท่าเพียงเล็กน้อย ความเข้มของรังสีกลับเพิ่มขึ้นจาก 10.4 เป็น 122 หรือเกือบ 12 เท่า)</ref>{{sfn|Wisniak|2002|p=551–552}}
 
สัดส่วนกำลังสี่ของอุณหภูมิสัมบูรณ์นั้นถูกนิรนัยโดย[[โยเซ็ฟ ชเต็ฟฟัน]] (ค.ศ. 1835–1893) ในปี ค.ศ. 1879 บนพื้นฐานของการวัดผลการทดลองของทินดัลล์ในบทความ ''Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur'' (''เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการแผ่รังสีความร้อนกับอุณหภูมิ'') ใน ''Bulletins from the sessions'' ของ Vienna Academy of Sciences.<ref name="Stefan">{{cite journal|last1=Stefan|first1=J.|title=Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur|journal=Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe (Proceedings of the Imperial Philosophical Academy [of Vienna]: Mathematical and Scientific Class)|date=1879|volume=79|pages=391–428|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044093294874;view=1up;seq=419|trans-title=On the relation between heat radiation and temperature|language=de}}</ref><ref>ชเต็ฟฟันกล่าวว่า (Stefan, 1879), หน้า 421:  ''"Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen, … die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absoluten Temperatur proportional anzunehmen."'' (ก่อนอื่น ผมอยากชี้แจงถึงสังเกตการณ์ซึ่งวึลเนอร์เพิ่มลงไปในรายงานของการทดลองของทินดัลล์เกี่ยวกับการแผ่รังสีของเส้นใยทองคำขาวซึ่งถูกทำให้เรืองแสงด้วยกระแสไฟฟ้าในตำราของเขา เพราะสังเกตการณ์นี้ทำให้ผมอนุมานได้ว่าการแผ่รังสีความร้อนนั้นมีสัดส่วนกับกำลังสี่ของอุณหภูมิสัมบูรณ์)</ref>

[[ลูทวิช บ็อลทซ์มัน]] (ค.ศ. 1844–1906) ได้นำเสนอการอนุพัทธ์กฎนี้ผ่านการพิจารณาเชิงทฤษฎีในปี ค.ศ. 1884 โดยนำงานของ[[อาดอลโฟ บาร์โตลี]] (Adolfo Bartoli) มาใช้<ref>{{cite journal|last1=Boltzmann|first1=Ludwig|title=Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie|journal=Annalen der Physik und Chemie|date=1884|volume=258|issue=6|pages=291–294|doi=10.1002/andp.18842580616|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.a0002763670;view=1up;seq=305|trans-title=Derivation of Stefan's law, concerning the dependency of heat radiation on temperature, from the electromagnetic theory of light|language=de|bibcode=1884AnP...258..291B|doi-access=free}}</ref> ในปี ค.ศ. 1876 บาร์โทลิได้อนุพัทธ์การมีอยู่ของ[[แรงดันรังสี]] (radiation pressure) จากหลัก[[อุณหพลศาสตร์]] และต่อมาบ็อลทซ์มันได้พิจารณาถึง[[เครื่องจักรความร้อน]]ที่ใช้รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสิ่งที่ทำงานแทนแก็สอุดมคติ

กฎนี้ถูกยืนยันผ่านการทดลองแทบจะทันที [[ไฮน์ริช ฟรีดริช เวเบอร์]] ได้ชี้ให้เห็นการเบี่ยงเบนในอุณหภูมิที่สูงกว่าแต่ได้มีการยืนยันถึงความแม่นยำเกือบสมบูรณ์ภายในความไม่แน่นอนของการวัดในอุณหภูมิสูงถึง 1535 เคลวินในปี ค.ศ. 1897<ref>Massimiliano Badino, ''The Bumpy Road: Max Planck from Radiation Theory to the Quantum (1896–1906)'' (2015), [https://books.google.ch/books?id=JcvWCQAAQBAJ&pg=PA31 p. 31].</ref> กฎนี้รวมไปถึงการคาดการณ์เชิงทฤษฎีของค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันว่าเป็นฟังก์ชันของ[[อัตราเร็วของแสง]] [[ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน]] และ[[ค่าคงตัวของพลังค์]]เป็น[[#การอนุพัทธ์จากกฎของพลังค์|ผลพวงโดยตรง]]ของ[[กฎของพลังค์]]อย่างที่ถูกกำหนดไว้ในปี ค.ศ. 1900

ตาม[[การนิยามหน่วยฐานเอสไอใหม่ พ.ศ. 2562]] ซึ่งแก้ไขค่าของค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน ''k'' ค่าคงตัวของพลังค์ ''h'' และอัตราเร็วของแสง ''c'' ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ
:<math>
\sigma = \frac{5454781984210512994952000000 \pi^5}{29438455734650141042413712126365436049}\, \mathrm{Wm^{-2}K^{-4}}\,.
</math>

== ตัวอย่าง ==
=== อุณหภูมิของดวงอาทิตย์ ===
ชเต็ฟฟันยังได้คำนวณอุณหภูมิบนพื้นผิวของ[[ดวงอาทิตย์]]ด้วยกฎของเขา<ref name="Stefan" />{{rp|426–427}}. เขาอนุมานจากข้อมูลของ [[ฌัก-หลุยส์ ซอแร]] (Jacques-Louis Soret; 1827&ndash;1890)<ref>Soret, J.L. (1872) "Comparaison des intensités calorifiques du rayonnement solaire et du rayonnement d'un corps chauffé à la lampe oxyhydrique" [การเปรียบเทียบความเข้มความร้อนของรังสีอาทิตย์กับรังสีจากวัตถุซึ่งถูกทำให้ร้อนด้วยเครื่องพ่นไฟออกซิไฮโดรเจน], ''Archives des sciences physiques et naturelles'' (Geneva, Switzerland), 2nd series, [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89048214449;view=1up;seq=684 '''44''':  220–229] ; [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89048214449;view=1up;seq=1094 '''45''': 252–256.]</ref> ได้ว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากแผ่นโลหะบาง ๆ ชนิดหนึ่งที่ร้อนถึง 29 เท่า แผ่นบาง (lamella) รูปร่างกลมถูกวางไว้ห่างไประยะหนึ่งซึ่งทำให้มองเห็นอยู่ในมุมเดียวกับดวงอาทิตย์ โซเรต์ประมาณไว้ว่าอุณหภูมิของแผ่นบางคือประมาณ 1900 ถึง 2000[[องศาเซลเซียส|°C]] ชเต็ฟฟันสันนิษฐานว่า ⅓ ของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์ถูกดูดกลืนโดย[[บรรยากาศของโลก]] เขาจึงถือว่าฟลักซ์พลังงานของดวงอาทิตย์ที่ถูกต้องมีค่ามากกว่าค่าของโซเรต์ 3/2 เท่า คือ 29 &times; 3/2 = 43.5 เท่า

ค่าของ[[การดูดกลืน (รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า)|การดูดกลืน]]ของบรรยากาศไม่เคยมีการวัดค่าอย่างแม่นยำจนกระทั่งปี ค.ศ. 1888 และ 1904 ค่าของอุณหภูมิที่ชเต็ฟฟันได้มาคือค่ามัธยฐานของค่าก่อน ๆ คือ 1950&nbsp;°C และค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 2200&nbsp;K ในเมื่อ 2.57<sup>4</sup> = 43.5 จึงอนุมานตามกฎได้ว่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าอุณหภูมิของแผ่นบางแผ่นนั้น 2.57 เท่า เขาจึงได้ค่าออกมาเท่ากับ 5430&nbsp;°C หรือ 5700&nbsp;K (ค่าที่วัดได้ปัจจุบันคือ 5778&nbsp;K<ref>{{Cite web | url=https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/sunfact.html | title=Sun Fact Sheet}}</ref>) นี่เป็นการวัดค่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ที่สมเหตุสมผลเป็นครั้งแรก แต่ก่อนนี้ค่าที่วัดได้มีค่าต่ำสุดตั้งแต่ 1800&nbsp;°C จนถึงค่าสูงสุด 13,000,000&nbsp;°C<ref>{{cite journal|last1=Waterston|first1=John James|title=An account of observations on solar radiation|journal=Philosophical Magazine|date=1862|volume=23|pages=497–511|url=https://books.google.com/books?id=v1YEAAAAYAAJ&pg=PA497|series=4th series|issue=2|doi=10.1093/mnras/22.2.60|bibcode=1861MNRAS..22...60W}} ในหน้า 505, นักฟิสิกส์ชาวสก็อต[[จอห์น เจมส์ วอเตอร์สตัน]] (John James Waterston) ประมาณอุณหภูมิบนพื้นผิวดวงอาทิตย์ไว้ว่าอาจเทากับ 12,880,000°.</ref> [[โกลด ปูยเย]] (Claude Pouillet) (ค.ศ. 1790–1868) คำนวณได้ค่าต่ำสุด 1800&nbsp;°C ในปี ค.ศ. 1838 โดยใช้[[กฎของดูลง–เปอตี]] (Dulong–Petit law)<ref>ดูที่:
*  {{cite journal|last1=Pouillet|title=Mémoire sur la chaleur solaire, sur les pouvoirs rayonnants et absorbants de l'air atmosphérique, et sur la température de l'espace|journal=Comptes Rendus|date=1838|volume=7|issue=2|pages=24–65|url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/81350#page/34/mode/1up|trans-title=Memoir on solar heat, on the radiating and absorbing powers of the atmospheric air, and on the temperature of space|language=fr}}  หน้า 36, ปูยเยประมาณอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ไว้:  ''" … cette température pourrait être de 1761° … "'' ( … อุณหภูมินี้ [นั่นคือ ของดวงอาทิตย์] อาจเท่ากับ 1761° … )
* คำแปลภาษาอังกฤษ:  Pouillet (1838) [https://books.google.com/books?id=Qcc-AAAAYAAJ&pg=PA44#v=onepage&q&f=false "Memoir on the solar heat, on the radiating and absorbing powers of atmospheric air, and on the temperature of space"] in:  Taylor, Richard, ed. (1846) ''Scientific Memoirs, Selected from the Transactions of Foreign Academies of Science and Learned Societies, and from Foreign Journals.'' vol. 4. London, England:  Richard and John E. Taylor. pp. 44–90 ; see pp. 55–56.</ref>

=== อุณหภูมิของดาวฤกษ์ ===
อุณหภูมิของ[[ดาวฤกษ์]]ดวงอื่นนอกเหนือจากดวงอาทิตย์สามารถประมาณได้ด้วยวิธีที่คล้ายกันโดยการถือพลังงานที่เปล่งออกมาเสมือนการแผ่รังสีของ[[วัตถุดำ]]<ref name="luminosity">{{cite web |url=http://outreach.atnf.csiro.au/education/senior/astrophysics/photometry_luminosity.html |title=Luminosity of Stars |publisher=Australian Telescope Outreach and Education |access-date=2006-08-13 |archive-date=2014-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140809120004/http://www.atnf.csiro.au/outreach//education/senior/astrophysics/photometry_specparallax.html |url-status=dead |df=dmy-all}}</ref> So:

: <math>L = 4 \pi R^2 \sigma {T_e}^4 </math>

โดย ''L'' เป็น[[กำลังส่องสว่าง]] ''σ'' เป็นค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน ''R'' เป็นรัศมีของดาว (stellar radius) และ ''T'' เป็น[[อุณหภูมิยังผล]] เราสามารถใช้สูตรเดียวกันเพื่อคำนวณรัศมีโดยประมาณของดาวฤกษ์แถบลำดับหลัก (main sequence stars) เทียบกับของดวงอาทิตย์:

: <math>\frac{R}{R_\odot} \approx \left ( \frac{T_\odot}{T} \right )^{-2} \cdot \sqrt{\frac{L}{L_\odot}}</math>

โดย <math>R_\odot</math> เป็น[[รัศมีดวงอาทิตย์]] <math>L_\odot</math> เป็น[[ความสว่างดวงอาทิตย์]]เป็นต้น

[[นักดาราศาสตร์]]สามารถอนุมานหารัศมีของดาวฤกษ์ได้ด้วยกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน 

กฎนี้ปรากฏใน[[อุณหพลศาสตร์ของหลุมดำ|อุณหพลศาสตร์]] (Black hole thermodynamics) ของ[[หลุมดำ]]ในสิ่งที่เรียกว่า[[การแผ่รังสีฮอว์กิง]]

=== อุณหภูมิยังผลของโลก ===
ในทางคล้ายกันเราสามารถคำนวณ[[อุณหภูมิยังผล]]ของโลก ''T''<sub>⊕</sub> ด้วยการจับพลังงานที่ได้รับจากดวงอาทิตย์มาเท่ากับพลังงานที่แผ่รังสีจากโลกภายใต้การประมาณของวัตถุดำ (การผลิตพลังงานของโลกเองนั้นน้อยพอที่ไม่จำเป็นต้องสนใจ) กำลังส่องสว่างของดวงอาทิตย์ ''L''<sub>⊙</sub> ถูกกำหนดไว้เป็น:
:<math>
L_\odot = 4\pi R_\odot^2 \sigma T_\odot^4
</math>

พลังงานเคลื่อนมาที่โลกผ่านทรงกลมรัศมี ''a''<sub>0</sub> หรือระยะทางจากดวงอาทิตย์มาที่โลก [[ความรับอาบรังสี]] (irradiance) (พลังที่ได้รับต่อหน่วยพื้นที่) ถูกกำหนดไว้เป็น

:<math>
E_\oplus = \frac{L_\odot}{4\pi a_0^2}
</math>

รัศมีของโลกเท่ากับ ''R''<sub>⊕</sub> ดังนั้นจึงมีพื้นที่ตัดขวางเท่ากับ <math>\pi R_\oplus^2</math> [[ฟลักซ์การแผ่รังสี]] (radiant flux) (นั่นคือ พลังแสงอาทิตย์) ที่โลกดูดกลืนถูกกำหนดเป็น:

:<math>
\Phi_\text{abs} = \pi R_\oplus^2 \times E_\oplus
:</math>

เพราะกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันใช้เลขชี้กำลังที่สี่ จึงมีผลให้การแลกเปลี่ยนเสถียร ฟลักซ์ที่ถูกปล่อยจากโลกจึงมีแนวโน้มเท่ากับฟลักซ์ที่ดูดกลืน และมีสภาพใกล้เคียงกับสภาวะคงที่:

:<math>
\begin{align}
4\pi R_\oplus^2 \sigma T_\oplus^4 &= \pi R_\oplus^2 \times E_\oplus \\
 &= \pi R_\oplus^2 \times \frac{4\pi R_\odot^2\sigma T_\odot^4}{4\pi a_0^2} \\
\end{align}
</math>

''T''<sub>⊕</sub> จึงหาได้จาก:

:<math>
\begin{align}
T_\oplus^4 &= \frac{R_\odot^2 T_\odot^4}{4 a_0^2} \\
T_\oplus &= T_\odot \times \sqrt\frac{R_\odot}{2 a_0} \\
& = 5780 \; {\rm K} \times \sqrt{696 \times 10^{6} \; {\rm m} \over 2 \times 149.598 \times 10^{9} \; {\rm m} } \\
& \approx 279 \; {\rm K}
\end{align}
</math>

โดย ''T''<sub>⊙</sub> เป็นอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ ''R''<sub>⊙</sub> เป็นรัศมีของดวงอาทิตย์ และ ''a''<sub>0</sub> เป็นระยะทางระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ ทั้งหมดนี้ให้ค่าอุณหภูมิยังผลของโลกเท่ากับ 6&nbsp;°C บนพื้นผิวของโลก เมื่อเราถือว่าโลกไม่มีชั้นบรรยากาศและสามารถดูดกลืนการเปล่งรังสีที่ตกกระทบได้ทั้งหมด

โลกมี[[อัตราส่วนสะท้อน]]เท่ากับ 0.3 นั่นหมายความว่า 30% ของรังสีจากดวงอาทิตย์ที่ชนโลกนั้นจะสะท้อนกลับไปในอวกาศ ผลของอัตราส่วนสะท้อนที่มีต่ออุณหภูมิสามารถถูกประมาณได้ว่าพลังงานที่ถูกดูดกลืนลดลงเหลือ 70% แต่โลกก็จะยังแผ่รังสีออกแบบวัตถุดำ (ตามนิยามของ[[อุณหภูมิยังผล]]ซึ่งเป็นสิ่งที่เรากำลังคำนวณ) การประมาณอันนี้ลดอุณหภูมิที่คำนวณลงได้ 0.7<sup>1/4</sup> เท่าเหลือ 255&nbsp;K (&minus;18&nbsp;°C)<ref name= "IPCC4_ch01">{{Cite report |url=http://www.ipcc.ch/pdf/assessment-report/ar4/wg1/ar4-wg1-chapter1.pdf |title=Intergovernmental Panel on Climate Change Fourth Assessment Report |department=Chapter 1: Historical overview of climate change science |archive-url=https://web.archive.org/web/20181126204443/http://www.ipcc.ch/pdf/assessment-report/ar4/wg1/ar4-wg1-chapter1.pdf |archive-date=2018-11-26 |page=97 |df=dmy-all}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://eesc.columbia.edu/courses/ees/climate/lectures/radiation/ |title=Solar Radiation and the Earth's Energy Balance |date=Spring 2007 |author=Yochanan Kushnir |orig-year=2000 |publisher=Columbia University |archive-url=https://archive.today/20120717025320/http://eesc.columbia.edu/courses/ees/climate/lectures/radiation/ |archive-date=2012-07-17 |df=dmy-all |access-date=2021-03-04 |url-status=dead }}</ref>

อุณหภูมิที่คำนวณได้ด้านบนเป็นอุณหภูมิของโลกอย่างที่มองเห็นจากอวกาศ ไม่ใช่อุณหภูมิบนพื้นผิวแต่เป็นค่าเฉลี่ยของวัตถุที่เปล่งรังสีทั้งหมดตั้งแต่บนพื้นผิวจนถึงพื้นที่ระดับสูง อุณหภูมิพื้นผิวเฉลี่ยจริงของโลกคือประมาณ 288&nbsp;K (15&nbsp;°C) ซึ่งสูงกว่าอุณหภูมิยังผล 255&nbsp;K และอุณหภูมิของวัตถุดำ 279&nbsp;K เนื่องมาจาก[[ปรากฏการณ์เรือนกระจก]]

ด้านบนเราสมมติว่าพื้นผิวทั้งหมดของโลกมีอุณหภูมิเดียวกัน เราจึงถามได้อีกว่าอุณหภูมิของพื้นผิววัตถุดำบนโลกจะมีอุณหภูมิเท่าใดหากเราสมมติว่าผิวนั้นอยู่ในสภาวะสมดุลกับแสงอาทิตย์ที่ตกกระทบ แต่นี่ขึ้นอยู่กับองศาของแสงอาทิตย์และปริมาณบรรยากาศที่แสงส่องผ่าน เมื่อดวงอาทิตย์อยู่เหนือศีรษะและพื้นผิวนอนราบ ความรับอาบรังสีสามารถสูงถึง 1120&nbsp;W/m<sup>2</sup><ref name="Solar constant at ground level">{{cite web|title=Introduction to Solar Radiation|url= http://www.newport.com/Introduction-to-Solar-Radiation/411919/1033/content.aspx|publisher= Newport Corporation|url-status= live|archive-url= https://web.archive.org/web/20131029234117/http://www.newport.com/Introduction-to-Solar-Radiation/411919/1033/content.aspx|archive-date=29 ตุลาคม 2013}}</ref> และเราได้อุณหภูมิจากกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันเท่ากับ

:<math>T=\left(\frac{1120\text{ W/m}^2}\sigma\right)^{1/4}\approx 375\text{ K}</math>

หรือ 102&nbsp;°C (ด้านบนชั้นบรรยากาศอุณหภูมิจะสูงขึ้นเป็น: 394 K.) เราสามารถมองพื้นผิวของโลกได้ว่า "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลในช่วงเวลากลางวันแต่ถูกทำให้เย็นลงโดยบรรยากาศ และ "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลกับแสงดาวและแสงจันทร์ในช่วงเวลากลางคืนแต่ถูกทำให้อุ่นโดยบรรยากาศ

== ต้นกำเนิด ==

=== การอนุพัทธ์ความหนาแน่นของพลังงานโดยทางอุณหพลศาสตร์ ===
ข้อเท็จจริงว่า[[ความหนาแน่นของพลังงาน]] (energy density) ภายในกล่องที่บรรจุรังสีแปรผันกับ <math>T^{4}</math> นั้นสามารถหามาได้ด้วยอุณหพลศาสตร์<ref>{{Cite web|url=http://www.pha.jhu.edu/~kknizhni/StatMech/Derivation_of_Stefan_Boltzmann_Law.pdf|title=Derivation of the Stefan–Boltzmann Law|last=Knizhnik|first=Kalman|website=Johns Hopkins University – Department of Physics & Astronomy|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304133636/http://www.pha.jhu.edu/~kknizhni/StatMech/Derivation_of_Stefan_Boltzmann_Law.pdf|archive-date=2016-03-04|url-status=dead|access-date=2018-09-03|df=dmy-all}}</ref>{{sfn|Wisniak|2002|p=554}} การอนุพัทธ์นี้ใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง[[แรงดันรังสี]] ''p'' กับความหนาแน่นของ[[พลังงานภายใน]] (internal energy) <math>u</math> ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบของ[[เทนเซอร์ความเค้น-พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า]] (electromagnetic stress–energy tensor) ความสัมพันธ์นี้คือ:

: <math> p = \frac{u}{3}.</math>

จาก[[ความสัมพันธ์ทางอุณหพลศาสตร์มูลฐาน]] (fundamental thermodynamic relation)

: <math> dU = T \, dS - p \, dV, </math>

หลังจากหารด้วย <math> dV </math> และตรึงค่า <math> T </math> ไว้ เราจึงได้นิพจน์ดังต่อไปนี้:

: <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T - p = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p. </math>

สมการสุดท้ายได้มาจาก[[ความสัมพันธ์ของแมกซ์เวลล์]]:

: <math> \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V. </math>

จากนิยามของความหนาแน่นของพลังงาน เราจึงได้

: <math> U = u V </math>

โดยความหนาแน่นของพลังงานของการแผ่รังสีขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ดังนั้น

: <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = u \left(\frac{\partial V}{\partial V}\right)_T = u. </math>

แล้วสมการนี้

: <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p, </math>

เมื่อแทน <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}</math> และ <math> p </math> ด้วยนิพจน์ซึ่งสมมูลของแต่ละอันลงไปในสมการ ก็จะเขียนใหม่ได้เป็น

: <math> u = \frac{T}{3} \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V - \frac{u}{3}. </math>

ในเมื่ออนุพันธ์ย่อย <math> \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V </math> สามารถแสดงออกเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง <math> u </math> และ <math> T </math> เพียงสองอย่างเท่านั้น (ถ้าย้ายข้างไปอยู่อีกฝั่งของสมการ) เราสามารถเปลี่ยนอนุพันธ์ย่อยนี้เป็นอนุพันธ์แบบธรรมดา และหลังจากแยกผลต่างเชิงอนุพันธ์ออกจากกันแล้วสมการจะกลายเป็น 

: <math> \frac{du}{4u} = \frac{dT}{T}, </math>

ซึ่งนำไปสู่ <math> u = A T^4 </math> โดย <math> A </math> เป็นค่าคงตัวของปริพันธ์ค่าหนึ่ง

=== การอนุพัทธ์จากกฎของพลังค์ ===
[[ไฟล์:Stefan-Boltzmann_Law.png|thumb|การอนุพัทธ์กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันด้วย[[กฎของพลังค์]]]]
เราสามารถอนุพัทธ์กฎนี้ได้ด้วยการพิจารณาพื้นผิวของ[[วัตถุดำ]]แบนราบราบขนาดเล็กซึ่งแผ่รังสีออกมาเป็นครึ่งทรงกลม และจะใช้[[ระบบพิกัดทรงกลม]]ในการอนุพัทธ์ โดย ''θ'' เป็นมุมเชิงขั้ว (zenith angle) และ ''φ'' เป็นมุมทิศ (azimuth angle) พื้นผิวของวัตถุดำแบนราบอยู่บนระนาบ xy ที่ ''θ'' = <sup>{{pi}}</sup>/<sub>2</sub>

ความเข้มของแสงที่เปล่งออกมาจากพื้นผิววัตถุดำถูกกำหนดโดย[[กฎของพลังค์]]เป็น:

::<math>I(\nu,T) =\frac{2 h\nu^3}{c^2}\frac{1}{ e^{h\nu/(kT)}-1}.</math>
:โดย
:*<math>I(\nu,T)\,</math> คือปริมาณของ[[กำลัง (ฟิสิกส์)|กำลัง]]ต่อหน่วย[[พื้นที่ผิว]]ต่อหน่วย[[มุมตัน]] (solid angle) ต่อหน่วย[[ความถี่]] ที่เปล่งออกมา ณ ความถี่ <math>\nu \,</math> จากวัตถุดำที่อุณหภูมิ ''T''.
:*<math>h \,</math> คือ[[ค่าคงตัวของพลังค์]]
:*<math>c \,</math> คือ[[อัตราเร็วของแสง]] และ
:*<math>k \,</math> คือ[[ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน]]

<math>I(\nu,T) ~A ~d\nu ~d\Omega</math> คือปริมาณของกำลังที่แผ่ออกมาโดยพื้นที่ผิว A ผ่านมุมตัน ''dΩ'' ในช่วงความถี่ระหว่าง ''ν'' และ ''ν''&nbsp;+&nbsp;''dν''.

กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันกำหนดกำลังที่เปล่งออกมาต่อหน่วยพื้นที่ของวัตถุเป็น
::<math>\frac{P}{A} = \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int \cos \theta \, d\Omega \,</math>

โคไซน์มีอยู่ในสมการเพราะวัตถุดำเป็นแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ท (นั่นคือ ปฏิบัติตาม[[กฎโคไซน์ของลัมแบร์ท]]) หมายความว่าความเข้มที่ตรวจวัดได้ตลอดทรงกลมนั้นจะเท่ากับความเข้มจริงคูณด้วยโคไซน์ของมุมเชิงขั้ว เราจำเป็นเป็นต้องปริพันธ์ <math display="inline">d\Omega = \sin \theta\ d\theta d\varphi</math> ตลอดครึ่งทรงกลม และปริพันธ์ <math>\nu</math> จาก  0 ถึง ∞ เพื่ออนุพัทธ์หากฎของชเต็ฟฟันบ็อลทซ์มัน

:: <math>
\begin{align}
\frac{P}{A} & = \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int_0^{2\pi} \, d\varphi \int_0^{\pi/2} \cos \theta \sin \theta \, d\theta  \\
& = \pi \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu
\end{align}
</math>

แล้วใส่ค่า ''I'' ลงไป:

:: <math>\frac{P}{A} = \frac{2 \pi h}{c^2} \int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} \, d\nu </math>

เราต้องใช้การแทนที่เพื่อแก้ปริพันธ์นี้

::<math>
\begin{align}
u & = \frac{h \nu}{k T} \\[6pt]
du & = \frac{h}{k T} \, d\nu
\end{align}
</math>

และได้:

: <math>\frac{P}{A} = \frac{2 \pi h }{c^2} \left(\frac{k T}{h} \right)^4 \int_0^\infty \frac{u^3}{ e^u - 1} \, du.</math>

ปริพันธ์ฝั่งขวาเป็นแบบมาตรฐานซึ่งมีชื่อเรียกหลายชื่อ มันเป็นกรณีเฉพาะของปริพันธ์โพส-ไอน์สไตน์ (Bose-Einstein integral), [[โพลีลอการิทึม]] (Polylogarithm) หรือ[[ฟังก์ชันซีตาของรีมัน]] <math> \zeta(s) </math> ค่าของปริพันธ์เท่ากับ <math> 6\zeta(4) =\frac{\pi^4}{15} </math> ทำให้ได้ผลลัพธ์สำหรับพื้นผิววัตถุดำเป็น:

: <math>j^\star =  \sigma T^4 ~, ~~ \sigma = \frac{2 \pi^5 k^4 }{15 c^2 h^3} = \frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2}. </math>

สุดท้าย แม้การพิสูจน์นี้เริ่มจากการพิจารณาพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กเท่านั้น แต่เราสามารถประมาณพื้นผิวที่[[แมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้|อนุพันธ์ได้]] (Differentiable manifold) ทุกผิวด้วยพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กได้ พลังงานทั้งหมดที่แผ่ออกมาคือผลรวมของพลังงานที่แผ่ออกมาจากพื้นผิวทั้งหมดตราบใดที่ลักษณะทางเรขาคณิตของพื้นผิวนั้นไม่ทำให้วัตถุดำต้องดูดกลืนรังสีที่ตัวเองเปล่งออกมากลับเข้าไป และพื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวแต่ละผิว ดังนั้นกฎนี้จึงเป็นจริงสำหรับวัตถุดำ[[เซตคอนเวกซ์|แบบคอนเวกซ์หรือนูน]] (convex set) ทุกวัตถุตราบใดที่พื้นผิวมีอุณหภูมิเท่ากันตลอดทั้งผิว กฎนี้สามารถขยายไปใช้กับวัตถุที่ไม่นูนได้เพียงใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า[[เปลือกหุ้มคอนเวกซ์]] (convex hull) ของวัตถุดำนั้นแผ่รังสีเสมือนตัวมันเองเป็นวัตถุดำ

=== ความหนาแน่นของพลังงาน ===
เราสามารถคำนวณความหนาแน่นของพลังงานรวม ''U'' ได้ในลักษณะคล้ายกัน ต่างกันเพียงคราวนี้เราจะปริพันธ์ตลอดทั้งทรงกลม และไม่มีโคไซน์ และเราจะหารฟลักซ์พลังงาน (U c) ด้วยอัตราเร็ว ''c'' เพื่อให้ค่าความหนาแน่นของพลังงาน ''U'':
::<math>U = \frac{1}{c} \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int \, d\Omega \,</math>
ดังนั้น  <math>\int_0^{\pi/2} \cos \theta \sin \theta \, d\theta </math> ถูกแทนที่ด้วย  <math>\int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta </math>, ซึ่งให้ตัวประกอบเพิ่มค่าเท่ากับ 4

ดังนั้น จากทั้งหมดได้:
::<math>U = \frac{4}{c} \, \sigma \, T^4 </math>

== ดูเพิ่ม ==
*[[กฎการกระจัดของวีน]] (Wien's displacement law)
*[[กฎของเรย์ลี–จีนส์]] (Rayleigh–Jeans law)
*[[ความแผ่รังสี]]
*[[วัตถุดำ]]
*[[สมการซากุมะ–ฮัตโตริ]] (Sakuma–Hattori equation)

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

== บรรณานุกรม ==
* {{Citation |last1=Wisniak |first1=Jaime |title=Heat radiation law – from Newton to Stefan|journal=Indian Journal of Chemical Technology |date=2002 |volume=9 |pages=545–555 |df=dmy-all}} ; Available at:  [http://nopr.niscair.res.in/bitstream/123456789/18926/1/IJCT%209%286%29%20545-555.pdf National Institute of Science Communication and Information Resources (New Dehli, India)]
* {{Citation |last=Boltzmann |first=L. |title=Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie |language=de |trans-title=Derivation of Stefan's little law concerning the dependence of thermal radiation on the temperature of the electro-magnetic theory of light |journal=Annalen der Physik und Chemie |volume=258 |issue=6 |year=1884 |pages=291–294 |doi=10.1002/andp.18842580616 |bibcode = 1884AnP...258..291B |doi-access=free }}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
{{Sister project|project=wikibooks|text=[[วิกิตำรา]]ภาษาเยอรมัน มีคู่มือเกี่ยวกับ: '''''[[B:de:Formelsammlung Physik/ plancksches Strahlungsgesetz|Formelsammlung Physik/ plancksches Strahlungsgesetz]]'''''}}
* {{คอมมอนส์-หมวดหมู่-บรรทัด|Stefan-Boltzmann law|กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน}}

{{กฎการแผ่รังสีของวัตถุดำ}}

{{DEFAULTSORT:กฎของชเต็ฟฟัน-บ็อลทซ์มัน}}
[[หมวดหมู่:กฎของอุณหพลศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:การถ่ายเทความร้อน]]