ดูต้นฉบับสำหรับ กฎการหาอนุพันธ์

{{แคลคูลัส|Differential}}

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและ'''กฎการหาอนุพันธ์''' หรือกฎสำหรับการคำนวณ[[อนุพันธ์]]ของ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]]ใน[[แคลคูลัส]]

== กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น ==
ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของ[[จำนวนจริง|จำนวนจริง ('''R''')]] ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่[[กำหนดไว้อย่างดี|มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม]]<ref>''Calculus (5th edition)'', F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, {{ISBN|978-0-07-150861-2}}.</ref><ref>''Advanced Calculus (3rd edition)'', R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, {{ISBN|978-0-07-162366-7}}.</ref> รวมถึงกรณีของ[[จำนวนเชิงซ้อน|จำนวนเชิงซ้อน ('''C''')]] ด้วย<ref>''Complex Variables'', M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, {{ISBN|978-0-07-161569-3}}</ref>

=== กฎพจน์ค่าคงที่ ===
สำหรับฟังก์ชั่น <math>f</math> และ <math>g</math> และจำนวนจริง <math>a</math> และ <math>b</math> ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>h(x) = af(x) + bg(x)</math> ในส่วน <math>x</math> คือ<math> h'(x) = a f'(x) + b g'(x)</math>

==== การพิสูจน์ ====
: <math>\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(c) - (c)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} 0 \\
&= 0
\end{align}</math>

บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0

==== คำอธิบายททางเรขาคณิต ====
[[อนุพันธ์]]ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของ[[แทนเจนต์|เส้นสัมผัส]]ของเส้นโค้งที่จุดนั้น [[ความชัน]]ของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจาก[[แทนเจนต์|เส้นสัมผัส]]ของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง
[[ไฟล์:Tangent_function_animation.gif|right|frame| ในแต่ละจุด[[อนุพันธ์]]คือความชันของ[[เส้นตรง]]ที่สัมผัสกับ[[เส้นโค้ง]]ที่จุดนั้น หมายเหตุ อนุพันธ์ที่จุด A เป็นค่าบวก โดยแสดงเป็นเส้นสีเขียวประ–ค่า[[จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ|ลบ]]เป็นเส้นสีแดงประ และ [[0|เป็นศูนย์]] เมื่อเป็นเส้นสีดำทึบ]]

=== การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น ===
{{หลัก|ความเป็นเชิงเส้นของอนุพันธ์}}

สำหรับฟังก์ชัน<math>f</math> และ <math>g</math> และจำนวนจริง <math>a</math> และ <math>b</math> ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>h(x) = af(x) + bg(x)</math> ที่ส่วน <math>x</math> คือ <math> h'(x) = a f'(x) + b g'(x)</math>

[[สัญกรณ์ของไลบ์นิซ]]เขียนในรูป 

<math display="block"> \frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}</math>

กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่

* ''กฎตัวประกอบค่าคงที่'' <math display="block">(af)' = af' </math>
* ''กฎผลรวม'' <math display="block">(f + g)' = f' + g'</math>
* ''กฎผลต่าง'' <math display="block">(f - g)' = f' - g'.</math>

=== กฎผลคูณ ===
{{หลัก|กฎผลคูณ}}

สำหรับฟังก์ชั่น <math>f</math> และ <math>g</math> ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>h(x) = f(x) g(x)</math> ในส่วน <math>x</math> คือ 

<math display="block"> h'(x) = (fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)</math>

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 

<math display="block">\frac{d(fg)}{dx} = g \frac{df}{dx} + f \frac{dg}{dx}</math>

 
ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่ <math>\text{D}</math> ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

<math display="block"> [\text{D} (f\circ g)]_x = [\text{D} f]_{g(x)} \cdot [\text{D}g]_x\,</math>

=== กฎลูกโซ่ ===
{{หลัก|กฎลูกโซ่}}

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>h(x) = f(g(x))</math> คือ<math display="block"> h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).</math>

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป <math display="block">\frac{d}{dx}h(x) = \left.\frac{d}{dz}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x)</math>

มักจะย่อเป็น <math display="block">\frac{dh(x)}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}</math>

สำหรับค่า <math>c</math> ใด ๆ เมื่อ <math>c \in \mathbb{R}</math>, ถ้า <math>f(x)</math> คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่ <math>f(x) = c</math> แล้ว <math>\frac{df}{dx} = 0</math>  <ref>{{Cite web|title=Differentiation Rules|url=https://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/47/6|access-date=3 May 2022|website=University of Waterloo – CEMC Open Courseware}}</ref>

=== กฎฟังก์ชันผกผัน ===
{{หลัก|กฎฟังก์ชันผกผัน}}

ถ้าฟังก์ชัน {{Mvar|f}} มี[[ฟังก์ชันผกผัน]] {{Mvar|g}} ซึ่งหมายความว่า <math>g(f(x)) = x</math> และ <math>f(g(y)) = y</math> แล้ว <math display="block">g' = \frac{1}{f'\circ g}</math>

เมื่อ <math>r = 1</math> จะเป็นกรณีพิเศษถ้า <math>f(x) = x</math> แล้ว <math>f'(x) = 1</math>

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป <math display="block"> \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}</math>

== กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ ==

=== กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น ===
{{หลัก|กฎยกกำลัง}}

ถ้า <math>f(x) = x^r</math> สำหรับจำนวนจริงใดๆ <math>r \neq 0</math> แล้ว

: <math>f'(x) = rx^{r-1}</math>

การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้

=== กฎส่วนกลับ ===
{{หลัก|กฎส่วนกลับ}}

อนุพันธ์ของ <math>h(x)=\frac{1}{f(x)}</math> สำหรับฟังก์ชัน ''{{Mvar|f}}'' (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ

: <math> h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> โดยที่ ''{{Mvar|f}}'' ไม่เป็นศูนย์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 

: <math> \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}</math>

กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่

=== กฎผลหาร ===
{{หลัก|กฎผลหาร}}

ถ้า ''{{Mvar|f}}'' และ ''{{Mvar|g}}'' เป็นฟังก์ชัน แล้ว

: <math>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad</math> โดยที่ ''{{Mvar|g}}'' ไม่เป็นศูนย์

ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ

=== กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป ===
{{หลัก|กฎยกกำลัง}}

: <math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right) \quad</math>

ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม

กรณีพิเศษ

* ถ้า <math display="inline">f(x)=x^a\!</math> แล้ว <math display="inline">f'(x)=ax^{a-1}</math> เมื่อ ''{{Mvar|a}}'' เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ ''{{Mvar|x}}'' เป็นบวก
* กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่ <math display="inline">g(x)=-1\!</math> 

== อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม ==
<math> \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {ac^{ax} \ln c } ,\qquad c > 0</math>

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก {{Mvar|c}} แต่อนุพันธ์เมื่อ <math display="inline">c<0</math> ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน
: <math> \frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}</math>

: <math> \frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c}, \qquad c > 1</math>

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก ''{{Mvar|c}}'' แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก <math display="inline">c<0\!</math> -

: <math> \frac{d}{dx}\left( \ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0</math>

: <math> \frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x} ,\qquad x \neq 0</math>

: <math> \frac{d}{dx}\left( W(x)\right) = {1 \over {x+e^{W(x)}}} ,\qquad x > -{1 \over e}.\qquad</math> เมื่อ <math>W(x)</math> คือ[[ฟังก์ชันแลมเบิร์ต W|ฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท]]

: <math> \frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).</math>

: <math> \frac{d}{dx}\left( f(x)^{ g(x) } \right ) = g(x)f(x)^{g(x)-1} \frac{df}{dx} + f(x)^{g(x)}\ln{( f(x) )}\frac{dg}{dx}, \qquad \text{if }f(x) > 0, \text{ and if } \frac{df}{dx} \text{ and } \frac{dg}{dx} \text{ exist.}</math>

: <math> \frac{d}{dx}\left( f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x)}}} \right ) = \left [\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial }{\partial x_{k}} \left( f_{1}(x_1)^{f_{2}(x_2)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x_n)}}} \right ) \right ] \biggr\vert_{x_1 = x_2 = ... =x_n = x}, \text{ if } f_{i<n}(x) > 0 \text{ and }</math> <math> \frac{df_{i}}{dx} \text{ exists. }</math>

=== อนุพันธ์เชิงลอการิทึม ===
[[อนุพันธ์ลอการิทึม|อนุพันธ์เชิงลอการิทึม]]เป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์[[ลอการิทึม]]ของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):

: <math> (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad</math> โดยที่ ''{{Mvar|f}}'' เป็นบวก

[[การหาอนุพันธ์ลอการิทึม|อนุพันธ์เชิงลอการิทึม]] เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริง{{ต้องการอ้างอิงเฉพาะส่วน|date=October 2021}}<sup class="noprint Inline-Template Template-Fact" style="white-space:nowrap;">&#x5B; ''[[วิกิพีเดีย:ต้องการอ้างอิง|<span title="This claim needs references to reliable sources. (October 2021)">จำเป็นต้องอ้างอิง</span>]]'' &#x5D;</sup>

ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์

== อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ==
{{หลัก|การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ}}
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
| width="50%" |<math> \frac{d}{dx} \sin x = \cos x </math>
| width="50%" |<math> \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} </math>
|-
|<math> \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x</math>
|<math> \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} </math>
|-
|<math> \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x </math>
|<math> \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} </math>
|-
|<math> \frac{d}{dx} \csc x = -\csc{x}\cot{x} </math>
|<math> \frac{d}{dx} \operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} </math>
|-
|<math> \frac{d}{dx} \sec x = \sec{x}\tan{x} </math>
|<math> \frac{d}{dx} \operatorname{arcsec} x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} </math>
|-
|<math> \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -1 - \cot^2 x</math>
|<math> \frac{d}{dx} \operatorname{arccot} x = -{1 \over 1 + x^2} </math>
|}
ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น <math>[0,\pi]\!</math> และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น <math>\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนด[[อะทัน2|ฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว]] <math>\arctan(y,x) </math>  ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง <math>[-\pi,\pi]</math> และสะท้อนจตุภาคของจุด <math>(x,y)</math> สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น <math>x > 0</math> ) มี <math>\arctan(y, x>0) = \arctan(y/x)</math> อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ

: <math> \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} \qquad </math>และ<math> \qquad \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}.</math>

== อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก ==
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
| width="50%" |<math>\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x</math>
| width="50%" |<math>\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x</math>
|<math>\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}</math>
|-
|<math>\frac{d}{dx} \tanh x = {\operatorname{sech}^2 x} = 1 - \tanh^2 x</math>
|<math>\frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}</math>
|-
|<math>\frac{d}{dx} \operatorname{csch} x = -\operatorname{csch}{x}\coth{x}</math>
|<math>\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1 + x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{d}{dx} \operatorname{sech} x = -\operatorname{sech}{x}\tanh{x}</math>
|<math>\frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{d}{dx} \coth x = -\operatorname{csch}^2 x = 1 - \coth^2 x</math>
|<math>\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth} x = -\frac{1}{x^2-1}</math>
|}
ดู[[ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก|ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก]]สำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้

== อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ ==

; [[ฟังก์ชันแกมมา]]
: <math>\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\, dt</math>
: <math>\begin{align}
\Gamma'(x) & = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt \\
& = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) \\
& = \Gamma(x) \psi(x)
\end{align}</math>{{Paragraph break}} กับ <math>\psi(x)</math> เป็น [[ฟังก์ชันไดแกมมา|ฟังก์ชันไดแกมม่า]] ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ <math>\Gamma(x)</math> ในบรรทัดด้านบน
; [[ฟังก์ชันซีตาของรีมัน|ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]]
: <math>\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}</math>
: <math>\begin{align}
\zeta'(x) & = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x}
=-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \\
& = -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2} \prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}}
\end{align}</math>

== อนุพันธ์ของปริพันธ์ ==
{{หลัก|การหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์}}
สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน ''x'' ของฟังก์ชัน

: <math>F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt</math>

ที่ฟังก์ชั่น <math>f(x,t)</math> และ <math>\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)</math> ต่อเนื่องทั้ง <math>t</math> และ <math>x</math> ในบางบริเวณของระนาบ <math>(t,x)</math> รวมทั้ง <math>a(x)\leq t\leq b(x),</math> <math>x_0\leq x\leq x_1</math> และฟังก์ชัน <math>a(x)</math> และ <math>b(x)</math> ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ <math>x_0\leq x\leq x_1</math> - แล้วเมื่อ <math>\,x_0\leq x\leq x_1</math> -

: <math> F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\, </math>

สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ [[กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ]] และสามารถหาได้โดยใช้[[ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส]]

== อนุพันธ์อันดับดับที่ ''n'' ==
มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่ {{Mvar|n}} ของฟังก์ชัน โดยที่ {{Mvar|n}} เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง

=== สูตรของฟาอาดิบรูโน ===
ถ้า {{Mvar|f}} และ {{Mvar|g}} สามารถหาอนุพันธ์ได้ {{Mvar|n}} ครั้ง <math display="block"> \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}</math> เมื่อ <math display="inline"> r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m</math> และเซต <math> \{k_m\}</math> ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์ <math display="inline"> \sum_{m=1}^{n} m k_m = n</math> -

=== กฎทั่วไปของไลบ์นิซ ===
ถ้า {{Mvar|f}} และ {{Mvar|g}} สามารถหาอนุพันธ์ได้ {{Mvar|n}} ครั้ง  <math display="block">\frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)</math>

== ดูเพิ่ม ==

* {{annotated link|ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้}}
* {{annotated link|ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของฟังชัน}}
* {{annotated link|การหาอนุพันธ์ของปริพันธ์}}
* {{annotated link|การหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์}}
* {{annotated link|ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก}}
* {{annotated link|ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน}}
* {{annotated link|ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน}}
* {{annotated link|รายการปริพันธ์}}
* {{annotated link|รายการฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์}}
* {{annotated link|แคลคูลัสเมทริก}}
* {{annotated link|ฟังก์ชันตรีโกณมิติ}}
* {{annotated link|เอกลักษณ์แคลคูลัสเวกเตอร์}}

== อ้างอิง ==
<references responsive="1"></references>

== ที่มาและอ่านเพิ่มเติม ==
กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน

* ''คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3)'', S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, {{ISBN|978-0-07-154855-7}}.
* ''คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์'', G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, {{ISBN|978-0-521-57507-2}}.
* ''วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม'', KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, {{ISBN|978-0-521-86153-3}}.
* ''คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์'', FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, {{ISBN|978-0-521-19225-5}}.

== แหล่งข้อมูลอื่น ==

* [http://www.planetcalc.com/675/ เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมการทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย]
{{หัวข้อแคลคูลัส}}
[[หมวดหมู่:ตารางทางคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:รายชื่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์]]
[[หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child]]
[[หมวดหมู่:กฎการหาอนุพันธ์| ]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในแคลคูลัส]]
[[หมวดหมู่:เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์]]