เส้นโค้งเบซีเย

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง เส้นโค้งเบซีเย (Bézier curve) ในคณิตศาสตร์ถือว่าเป็นเส้นโค้งหนึ่งที่มีความสำคัญอย่างมากในเรื่องของ คอมพิวเตอร์กราฟิกส์ เพราะวิธีการที่เสถียรที่สุด ในการสร้างจุดต่างๆบนเส้นโค้งเบซีเยสามารถทำได้โดยใช้ ขั้นตอนวิธีของเดอคาสเซิลโจ (de Casteljau's algorithm) รูปแบบหนึ่งของเส้นโค้งเบซีเยเมื่อเพิ่มมิติให้สูงขึ้น เราเรียกว่า พื้นผิวเบซีเย โดยมี พื้นผิวสามเหลี่ยมเบซีเย เป็นรูปแบบพิเศษอีกแบบหนึ่ง

เส้นโค้งเบซีเยถูกเผยแพร่สู่สาธารณชนเป็นครั้งแรกเมื่อปี พ.ศ. 2505 โดยนักวิศวกรชาวฝรั่งเศส ที่ชื่อปีแยร์ เบซีเย ซึ่งขณะนั้นเป็นนักวิชาการอยู่ในแผนกออกแบบที่บริษัทรถยนต์ยี่ห้อเรโนลด์ แต่ในความเป็นจริงแล้ว เส้นโค้งนี้ได้ถูกคิดค้นเป็นครั้งแรก เมื่อปี พ.ศ. 2502 โดยนายปอล เดอ กัสแตลโฌ

สมการเส้นโค้งเบซีเย

นิยาม เส้นโค้งเบซีเยที่ดีกรี $n$ สามารถเขียนเป็นสมการได้จาก จุดควบคุมที่กำหนดให้ p₀, p₁,..., p_n ดังนี้

$𝐁(t)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(1-t{)}^{n-i}{t}^i{𝐩}_i\text{ , }t\in [0,1].$

ตัวอย่าง

เส้นโค้งเบซีเยเชิงเส้น

กำหนดให้ จุดควบคุมมี 2 จุด คือ p₀ และ p₁ เส้นโค้งเบซีเยเชิงเส้นก็คือส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดนั่นเอง โดยมีสมการคือ

$𝐁(t)=(1-t){𝐩}_0+t{𝐩}_1\text{ , }t\in [0,1].$

เส้นโค้งเบซีเยกำลังสอง

กำหนดให้ จุดควบคุมมี 3 จุด คือ p₀ p₁ และ p₂ เส้นโค้งเบซีเยกำลังสอง มีสมการ คือ

$𝐁(t)=(1-t{)}^2{𝐩}_0+2t(1-t){𝐩}_1+t^2{𝐩}_2\text{ , }t\in [0,1].$

เส้นโค้งเบซีเยกำลังสาม

กำหนดให้ จุดควบคุมมี 4 จุด คือ p₀ p₁ p₂ และ p₃ เส้นโค้งเบซีเยกำลังสาม มีสมการ คือ

$𝐁(t)=(1-t{)}^3{𝐩}_0+3t(1-t{)}^2{𝐩}_1+3t^2(1-t){𝐩}_2+t^3{𝐩}_3\text{ , }t\in [0,1].$

แหล่งข้อมูลอื่น

• Bezier Curves interactive applet แม่แบบ:Webarchive
• 3rd order Bezier Curves applet
• Living Math Bézier applet
• Living Math Bézier applets of different spline types, JAVA programming of splines in An Interactive Introduction to Splines
• Don Lancaster's Cubic Spline Library describes how to approximate a circle (or a circular arc, or a hyperbola) by a Bézier curve; using cubic splines for image interpolation, and an explanation of the math behind these curves.
• Pictovia: ทำ กราฟ แม่แบบ:Webarchive