เมทริกซ์สมมาตร

ในทางพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นคือ

$A^{\mathrm{T}}=A$

ความสมมาตรในสมาชิกของเมทริกซ์สมมาตร สามารถสังเกตได้จากเส้นทแยงมุม (จากซ้ายบนไปยังขวาล่าง) ซึ่งสมาชิกทุกตัวที่อยู่เหนือและใต้เส้นทแยงมุม จะมีค่าเท่ากันเหมือนการสะท้อนในกระจกเงา ดังนั้นเราสามารถนิยามเมทริกซ์สมมาตรได้อีกอย่างหนึ่งว่า

$a_{ij}=a_{ji}$

สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j

ตัวอย่างต่อไปนี้คือเมทริกซ์สมมาตร ในมิติ 3×3

${\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& -5\\ 3& -5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& -5\\ 3& -5& 6\end{array}\right]$

อนึ่ง เมทริกซ์เอกลักษณ์และเมทริกซ์ทแยงมุม ก็เป็นเมทริกซ์สมมาตรชนิดหนึ่ง เนื่องจากสมาชิกตัวอื่นนอกจากบนเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ เมื่อสลับเปลี่ยนแล้วทำให้ค่าไม่เปลี่ยนแปลง

คุณสมบัติ

ทุก ๆ เมทริกซ์จัตุรัสจำนวนจริง X สามารถเขียนอยู่ในรูปผลบวกของเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์สมมาตรเสมือน ดังนี้:

$X=\frac{1}{2}(X+X^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(X-X^{\mathrm{T}})$

ดูเพิ่ม

• เมทริกซ์สมมาตรเสมือน หรือ เมทริกซ์ปฏิสมมาตร