สมการเลียปูนอฟ

แม่แบบ:ใช้ปีคศ แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น ในทฤษฎีระบบควบคุม สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง (แม่แบบ:Langx) คือ สมการในรูปแบบ

$AX{A}^H-X+Q=0$

โดยที่ $Q$ คือ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และ $A^H$ คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของ $A$

ในขณะที่ สมการเลียปูนอฟต่อเนื่อง (แม่แบบ:Langx) คือ สมการในรูปแบบ

$AX+X{A}^H+Q=0$

สมการเลียปูนอฟมักถูกใช้ในหลายสาขาของทฤษฎีระบบควบคุม เช่น ในการวิเคราะห์เสถียรภาพ และการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control) โดยชื่อของสมการนี้ตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918)

การประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์เสถียรภาพ

ในที่นี้เรากำหนดให้ $A,P,Q\in {ℝ}^{n\times n}$ และ $P$ และ $Q$ เป็นเมทริกซ์สมมาตร สัญลักษณ์ $P>0$ หมายถือว่า $P$ คือ เมทริกซ์บวกแน่นอน (Positive-definite matrix)

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่อง ถ้ามี $P>0$ และ $Q>0$ ที่สามารถทำให้ $A^{T}P+PA+Q=0$ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น (linear system) $\dot{x}=Ax$ เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable) โดยที่สมการกำลังสอง $V(z)=z^{T}Pz$ นั้นจะนิยามเป็น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) ซึ่งใช้ในการตวรจสอบเสถียรภาพของระบบ

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง ถ้ามี $P>0$ และ $Q>0$ ที่สามารถทำให้ $A^{T}PA-P+Q=0$ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น $x(t+1)=Ax(t)$ เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ และ $z^{T}Pz$ นั้นคือฟังก์ชันเลียปูนอฟ

แง่มุมในการคำนวณ

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่องสามารถใช้ ส่วนเติมเต็มชูร์ (Schur complement) ในการคำนวณได้ดังขั้นตอนวิธีที่แสดงข้างล่างนี้

$\left[\begin{array}{cc}{X}^{-1}& A\\ A^H& X-Q\end{array}\right]=0$

ซึ่งสมมูลกับ

$\left[\begin{array}{cc}X& XA\\ A^{H}X& X-Q\end{array}\right]=0$

นอกจากนี้ยังมีซอฟต์แวร์เฉพาะทางให้เลือกใช้ในการคำนวณสมการเลียปูนอฟ โดยในกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง วิธีการของชูร์โดยกิตากาวา (Schur method of Kitagawa) มักเป็นที่นิยม ในขณะที่กรณีสมการเลียปูนอฟต่อเนื่องวิธีการของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ สามารถใช้ได้เช่นกัน

ผลตอบเชิงวิเคราะห์

เราสามารถหาผลตอบเชิงวิเคราะห์ (analytic solution) สำหรับกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง โดนนิยามให้ $\text{vec}(A)$ เป็นตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ของเมทริกซ์$A$ และนิยาม $\text{kron}(A,B)$ เป็น ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) ระหว่าง $A$ และ $B$ และโดยการใช้ผลจาก $\text{vec}(ABC)=\text{kron}(C^T,A)\text{vec}(B)$, เราสามารถใช้ $(I-\text{kron}(A,A))\text{vec}(X)=\text{vec}(Q)$ เมื่อ $I$ คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ conformable จากนั้นเราสามารถแก้สมการสำหรับหาค่าของ $\text{vec}(X)$ โดยการหาเมทริกซ์ผกผันหรือการแก้สมการเชิงเส้น โดยในการได้มาซึ่งค่า $X$ ต้องมีการปรับขนาดของ $\text{vec}(X)$ อย่างเหมาะสมด้วย

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันเลียปูนอฟ
• สมการซิลเวสเตอร์
• สมการริกคาติกเชิงพืชคณิต (Algebraic Riccati equation)
• ทฤษฎีระบบควบคุม

แหล่งข้อมูลอื่น

• Online solver for arbitrary sized matrices.แม่แบบ:ลิงก์เสีย