สมการชเรอดิงเงอร์ใน 3 มิติ

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ปัญหาที่สำคัญหนึ่งในกลศาสตร์ควอนตัม คือ อนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร กล่าวคือ มีศักย์ที่ขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างอนุภาคและจุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าอนุภาคนั้น คือ อิเล็กตรอนและมีศักย์เป็นไปตามกฎของคูลอมบ์ ปัญหานี้จะสามารถใช้อธิบายอะตอมหรือไอออนของไฮโดรเจน

ในกรณีทั่วไป ฮามิลโตเนียนของอนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร เป็นไปตามสมการ

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m_0}+V(r)$

เมื่อ   $m_0$  คือ มวลของอนุภาค

        $\hat{p}$ คือ ตัวดำเนินการโมเมนตัม

        $V(r)$ คือ พลังงานศักย์ ขึ้นอยู่กับ r เท่านั้น

ฟังก์ชันคลื่นที่เป็น Eigen function และพลังงาน (Eigenvalues) สามารถหาได้จากการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ โดยมีรูปทั่วไปใน 3 มิติ เป็น

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐫)+V(𝐫)\psi (𝐫)=E\psi (𝐫)(1)$

ปกติที่ใช้กันมากในวิชาฟิสิกส์จะเป็นการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ในพิกัดฉากและพิกัดทรงกลม ซึ่งระบบพิกัดทรงกลมจะใช้ได้เหมาะสมมากกว่า เนื่องจากความเป็นทรงกลมสมมาตรของระบบ (อนุภาค) และวิธีหนึ่งที่จะช่วยในการแก้สมการได้สะดวกขึ้น คือ วิธีการแยกตัวแปร (Separation of variable) 

อนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร

พิกัดทรงกลม (r, θ, φ) ถูกใช้เป็นปกติในวิชาฟิสิกส์ 

พิจารณาพิกัดทรงกลม (r, θ, φ) ตามรูปด้าน

โดยระบุ ทิศทางของเวกเตอร์ r เป็นระยะทาง r จากจุดกำเนิด

          มุม θ (เซต้า) มีทิศทำมุมกับแกน Z

           มุม φ (ฟี) โปรเจกชั่นของทิศทางบนระนาบ x-y มีทิศทำมุมกับแกน x

ซึ่งมีความสัมพันธ์กับพิกัดฉากตามสมการ

$\begin{array}{cc}x& =r\sin \theta \cos \phi \\ y& =r\sin \theta \sin \phi \\ z& =r\cos \theta \end{array}$

ดังนั้นจากสมการชเรอดิงเงอร์ใน 3 มิติ (1) สามารถเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ในพิกัดทรงกลมได้เป็น

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}[\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \psi }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\varphi }^2}]+V(𝐫)\psi (𝐫)=E\psi (𝐫)(2)$

เมื่อ ตัวดำเนินการลาปราส (${\mathrm{\nabla }}^2$) ในพิกัดทรงกลม เป็น

${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}$

ใช้วิธีการแยกตัวแปร โดยกำหนดให้ ฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ r คูณกับฟังก์ชันที่ขึ้นกับ θ และ φ ตามสมการ

$\psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi ).$

หลังจากแก้สมการชเรอดิงเงอร์ตามสมการ (2) จะได้สมการทั้งหมด ดังนี้

$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{2m{r}^2}{{\hslash }^2}[E-V(r)]=\lambda (3),\frac{1}{Y}\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })+\frac{1}{Y}\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\varphi }^2}=-\lambda .(4)$

เมื่อ $\lambda =l(l+1)$

โดย สมการ (3) เรียกว่า Radial equation

      สมการ (4) เป็นส่วนของ Angular equation

สมการในส่วนของมุม (Angular equation)

พิจารณาส่วนของมุม (Angular) ตามสมการ (4) ซึ่งนักฟิสิกส์พยายามที่จะใช้วิธีการแยกตัวแปร เพื่อแยกตัวแปรเกี่ยวกับมุม ให้อยู่ในรูป $Y_{lm}(\theta ,\varphi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\varphi )$แต่ไม่สามารถแยกตัวแปร $\theta$ กับ $\varphi$ ให้เป็นอิสระต่อกันได้ และจากสมการ (4) จะได้

$\frac{1}{\mathrm{\Phi }}\frac{d^2\mathrm{\Phi }}{d{\varphi }^2}=-m^2$

$\lambda {\sin }^2\theta +\frac{\sin \theta }{\mathrm{\Theta }}\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d\mathrm{\Theta }}{d\theta })=m^2$

ได้คำตอบในส่วนของมุมเป็น

$Y_{\ell }^m(\theta ,\varphi )=(-1{)}^m\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\varphi }(5)$

โดย $l=0,1,2,...$ และเรียก l ว่า Orbital angular momentum quantum number

$m=-l,-l+1,...,-1,0,1,...,l-1,l$ และเรียก m ว่า Magnetic quantum number

และเรียก $Y_{\ell }^m(\theta ,\varphi )$ ว่า Spherical harmonics ซึ่งจะมีสมบัติ Orthonormal ตามสมการ

$\underset{\theta =0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{\phi =0}{\overset{2\pi }{\int }}{Y}_{\ell }^m{}^{*}{Y}_{{\ell }^{\prime }}^{m^{\prime }}\sin \theta d\theta d\varphi ={\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$

สมการในส่วนของรัศมี (Radial equation)

จากสมการ (3) เราจะสามารถแก้สมการได้ง่ายขึ้น ถ้าทำการเปลี่ยนตัวแปร โดยกำหนดให้ $u(r)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}rR(r)$

จัดรูปใหม่จะได้ $-\frac{{\hslash }^2}{2m_{0}r}\frac{d^2}{d{r}^2}(rR(r))+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m_0{r}^2}R(r)+V(r)R(r)=ER(r)(5)$

จะพบว่ามีรูปแบบเหมือนกับสมการชเรอดิงเงอร์ใน 1 มิติ ยกเว้นจะมีเทอมของศักย์ยังผล (Effective potential) เพิ่มเข้ามา

$V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(r)=V(r)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m_0{r}^2}$

Orbital angular momentum

ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม L หาค่าได้จากผลคูณเชิงเวกเตอร์ของตัวดำเนินการตำแหน่งของฟังก์ชันคลื่น r กับ ตัวดำเนินการโมเมนตัม p  ตามสมการ $𝐋=𝐫\times 𝐩$ ซึ่งจะคล้ายคลึงกับการนิยาม โมเมนตัมเชิงมุมในกลศาสตร์ดั้งเดิม

เนื่องจาก ${𝐋}^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2$

ดังนั้น จะได้

$\begin{array}{cc}{𝐋}^2& =-r^2{\mathrm{\nabla }}^2+(r\frac{\partial }{\partial r}+1)r\frac{\partial }{\partial r}\\ & =-\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}.\end{array}$

เมื่อ $\hslash =1$

ถ้านำ ${𝐋}^2$ ไป operate กับ $Y_{\ell }^m(\theta ,\varphi )$ จะได้

${\hat{L}}^2{Y}_{lm}(\theta ,\varphi )=\{-\frac{1}{{\sin }^2\theta }[\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}]\}{Y}_{lm}(\theta ,\varphi ).(6)$

จะพบว่าในวงเล็บ () ของสมการ (6) จะตรงกับสมการ (4) โดยมี $-\lambda$ เป็น eigenvalue เขียนสมการใหม่เป็น

${\hat{L}}^2{Y}_{lm}(\theta ,\varphi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\varphi ).(7)$

และถ้าพิจารณา L ในแนวแกน Z จะได้

$L_z{Y}_{lm}(\theta ,\varphi )=m{Y}_{lm}(\theta ,\varphi ).(8)$