มวลลดทอน

ในทางฟิสิกส์ มวลลดทอน (Reduced mass) คือ มวลเฉื่อยยังผล (Effective inertia mass) ที่ปรากฏอยู่ในปัญหาที่มีวัตถุ 2 ชิ้นของกลศาสตร์ เป็นปริมาณของมวลหนึ่งอนุภาคที่มีค่าเท่ากับมวลของระบบที่ประกอบด้วยอนุภาค 2 อนุภาค ที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กันภายใต้อันตรกิริยาระหว่างกัน กล่าวคือ เป็นการเปลี่ยนระบบการเคลื่อนที่ของ 2 อนุภาค ให้เป็นปัญหาที่มีวัตถุเพียง 1 ชิ้น มวลลดทอน แทนด้วยสัญลักษณ์ $\mu$ (mu) มีหน่วยเป็น กิโลกรัม (kg)

ยกตัวอย่างเช่น ระบบของโลกและดวงจันทร์ในกลศาสตร์ท้องฟ้า หรือโปรตอนและอิเล็กตรอนของอะตอมไฮโดรเจนในกลศาสตร์ควอนตัม เราสามารถแก้ปัญหาของระบบเหล่านี้ได้สะดวกยิ่งขึ้นเมื่อใช้มวลลดทอน

สมการ

มีวัตถุ 2 ชิ้น มีมวล m₁ และ m₂ ถ้าจะพิจารณาให้เป็นปัญหาที่มี 1 วัตถุ เราสามารถใช้มวลลดทอน ดังสมการ

$\mu =\frac{1}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}}=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2},$

สมบัติของมวลลดทอน

มวลลดทอนจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับมวลของแต่ละวัตถุเสมอ

$\mu \le m_1,\mu \le m_2$

และมีสมบัติการบวกส่วนกลับของมวลลดทอน ดังนี้

$\frac{1}{\mu }=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$

ในกรณีที่ $m_1=m_2$

$\mu =\frac{m_1}{2}=\frac{m_2}{2}$

ที่มา

สมการของมวลลดทอน สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

กลศาสตร์นิวตัน

จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน แรงที่วัตถุที่ 2 กระทำต่อวัตถุที่ 1 คือ

${𝐅}_{12}=m_1{𝐚}_1$

ในขณะเดียวกัน แรงที่วัตถุที่ 1 กระทำต่อวัตถุที่ 2 คือ

${𝐅}_{21}=m_2{𝐚}_2$

และจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน แรงที่วัตถุที่ 2 กระทำต่อวัตถุที่ 1 จะเท่ากับแรงที่วัตถุที่ 1 กระทำต่อวัตถุที่ 2 แต่มีทิศทางตรงกันข้าม จะได้ว่า

${𝐅}_{12}=-{𝐅}_{21}$

ดังนั้น

$m_1{𝐚}_1=-m_2{𝐚}_2$

และ

${𝐚}_2=-\frac{m_1}{m_2}{𝐚}_1$

ความเร่งสัมพัทธ์ a_rel ระหว่าง 2 วัตถุ คือ

${𝐚}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}={𝐚}_1-{𝐚}_2=(1+\frac{m_1}{m_2}){𝐚}_1=\frac{m_2+m_1}{m_1{m}_2}{m}_1{𝐚}_1=\frac{{𝐅}_{12}}{m_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}}$

กลศาสตร์แบบลากรางจ์

สมการลากรางจ์ของปัญหาที่มีวัตถุ 2 ชิ้น คือ

$L=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{𝐫}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{𝐫}}_2^2-V(|{𝐫}_1-{𝐫}_2|)$

โดยที่ ${𝐫}_i$ คือ เวกเตอร์บอกตำแหน่งของมวล $m_i$ และพลังงานศักย์ V คือฟังก์ชันที่ขึ้นกับระยะห่างระหว่างอนุภาค กำหนดให้

$𝐫={𝐫}_1-{𝐫}_2$

และให้จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้ง 2 ชิ้น เป็นจุดร่วมกัน โดยอยู่ที่จุดกำเนิด

$m_1{𝐫}_1+m_2{𝐫}_2=0$

จะได้ว่า

${𝐫}_1=\frac{m_2𝐫}{m_1+m_2},{𝐫}_2=-\frac{m_1𝐫}{m_1+m_2}$

จากนั้น แทนค่า ${𝐫}_1$ และ ${𝐫}_2$ ในสมการลากรางจ์

$L=\frac{1}{2}\mu {\dot{𝐫}}^2-V(r),$

โดยที่ $\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$ คือ มวลทดทอน

แหล่งข้อมูลอื่น

• [1]
• [2]