ฟังก์ชันเลียปูนอฟ

แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (แม่แบบ:Langx) เป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการการหาเสถียรภาพของระบบพลวัตในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ โดยตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918) ฟังก์ชันนี้มีบทบาทสำคัญมากในทฤษฎีเสถียรภาพ และ ทฤษฎีระบบควบคุม

ในขณะนี้ยังไม่มีวิธีการทั่วไปในการหาฟังก์ชันเลียปูนอฟของระบบในกรณีทั่วไป เพราะในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟสามารถบอกได้เพียงว่า ถ้าหากฟังก์ชันเลียปูนอฟสอดคล้องกับเกณฑ์ของเสถียรภาพจึงสามารถสรุปได้ว่าระบบนั้นมีเสถียรภาพ แต่ในทางกลับกัน ระบบที่มีเสถียรภาพไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าฟังก์ชันแบบใดที่เป็นฟังก์ชันเลียปูนอฟได้ ดังนั้นในการพิสูจน์เสถียรภาพของระบบ จะกระทำโดยการสร้างฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติตรงตามคุณสมบัติฟังก์ชันที่เข้าเกณฑ์การเป็นฟังก์เลียปูนอฟจะเรียกว่า ฟังก์ชันพลังงาน (Energy function หรือ Lyapunov-candidate-functions) กล่าวคือ การที่ไม่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟได้นันไม่ได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้นไม่ได้มีเสถียรภาพ แต่การที่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟมาพิสูจน์เสถียรภาพได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้น ๆ มีเสถียรภาพ

ในทางปฏิบัติสำหรับระบบพลวัตทางฟิสิกส์ มักนิยมใช้กฎอนุรักษ์ต่าง ๆ ในการสร้างฟังก์ชันพลังงานได้

นิยามของฟังก์ชันพลังงาน

กำหนดให้ $V:{ℝ}^n\to ℝ$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและเป็นสเกลาร์

$V$ จะเป็นฟังก์ชันพลังงานถ้าหาก $V$ เป็นฟังก์ชันบวกแน่นอนเฉพาะแห่ง (locally positive-definite function) กล่าวคือ

• $V(x)>0\mathrm{\forall }x\in U\setminus \{0\}$ โดยที่ $U$ เป็นเซตบริเวณใกล้เคียงรอบจุด $x=0$
• $V(0)=0$

หมายเหตุ: ตัวอย่างของฟังก์ชันพลังงาน ได้แก่ $V(z)=z^{T}Pz$ โดยที่ $P=P^T\in R^{n\times n}>0$ กล่าวคือ $P$ คือเมทริกซ์บวกแน่นอน

นิยามของจุดสมดุลของระบบ

กำหนดให้ $g:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$

$\dot{y}=g(y)$ เป็นระบบพลวัตอัตตาณัติที่กำหนดให้ โดยมีจุดสมดุลกำหนดให้เป็น $y^{*}$ ดังนั้น

$0=g(y^{*})$

โดยไม่เสียความเป็นนัยยะทั่วไป เราสามารถแปลงพิกัดในอยู่ในรูป $x=y-y^{*}$ เพื่อให้ระบบที่เราจะพิจารณาต่อไปมีจุดสมดุลอยู่ที่จุดกำเนิด ทำให้ความสะดวกต่อการพิจารณาต่อไป ดังต่อไปนี้

$\dot{x}=g(x+y^{*})=f(x)$

$f(0)=0$

พื้นฐานของทฤษฎีเสถียรภาพเลียปูนอฟสำหรับระบบอัตตาณัติ

กำหนดให้ $x^{*}=0$ เป็นจุดสมดุลของระบบอัตตาณัติ

$\dot{x}=f(x)$

และให้ $\dot{V}(x)=\frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}=\mathrm{\nabla }V\cdot \dot{x}=\mathrm{\nabla }V\cdot f(x)$

เป็นเป็นอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงาน$V$

เสถียรภาพของจุดสมดุล

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน $V$ เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบกึ่งแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative semidefinite):

$\dot{V}(x)\le 0\mathrm{\forall }x\in ℬ\setminus \{0\}$

สำหรับย่าน $ℬ$ รอบจุด $0$ จะสรุปได้ว่าจุดสมดุลนั้นมีเสถียรภาพ (stable)

เสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน $V$ เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative definite):

$\dot{V}(x)<0\mathrm{\forall }x\in ℬ\setminus \{0\}$

สำหรับย่าน $ℬ$ รอบจุด $0$ จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ (locally asymptotically stable)

เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน $V$ เป็นบวกแน่นอนวงกว้าง (globally positive definite) และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนวงกว้าง (globally negative definite):

$\dot{V}(x)<0\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n\setminus \{0\},$

จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable)

หมายเหตุ :ฟังก์ชันพลังงาน $V(x)$ จะไม่มีขอบเขตถ้าหาก $\Vert x\Vert \to \mathrm{\infty }\Rightarrow V(x)\to \mathrm{\infty }$

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการอนุพันธ์ ที่มีคำตอบเป็น $x$ โดยที่ $x\in ℝ$:

$\dot{x}=-x$

จะเห็นว่า $|x|$ มีค่าเป็นบวกรอบจุดกำเนิด ซึ่งเราสามารถนำมาเป็นฟังก์ชันพลังงานได้ กำหนดให้ $V(x)=|x|$ โดยที่ $x\in ℝ\setminus \{0\}$ ดังนั้น

$\dot{V}(x)=V^{\prime }(x)f(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)\cdot (-x)=-|x|<0$

จะเห็นได้ว่าระบบที่ถูกอธิบายด้วยสมการอนุพันธ์ข้างต้นมีเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับรอบจุดกำเนิด

ดูเพิ่ม

• Ordinary differential equations
• Control-Lyapunov function
• Foster's theorem
• ทฤษฎีระบบควบคุม
• สมการเลียปูนอฟ

อ้างอิง

• แม่แบบ:Mathworld
• แม่แบบ:Cite book

แหล่งข้อมูลอื่น

• Example แม่แบบ:Webarchive of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function
• Some Lyapunov diagrams แม่แบบ:Webarchive