ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ $𝖩$ (แม่แบบ:Langx) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไป คือเวอร์ชันซึ่งเป็นลอเรนซ์โคแวเรียนต์ (Lorentz covariant) ของเวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density) $𝐣$

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิตินิยามเหมือนกันในทุกระบบ โดย

$𝖩:=\left(J^{\mu }\right)=(\rho c,𝐣)$

โดยที่

$c$ คือ อัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light in vacuum)

$\rho$ คือ ความหนาแน่นประจุ (charge density)

$𝐣$ คือ ความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density)

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ คำกล่าวของกฎอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า (electric charge conservation law) (เมื่อเขียนในรูปสมการจะเรียกว่าสมการความต่อเนื่อง (continuity equation)) คือว่า

"ไดเวอร์เจนซ์แบบโลเร็นตซ์อินวาเรียนท์ (Lorentz invariant divergence) ของ เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ $𝖩$ เป็นศูนย์"

$\mathit{\partial }\cdot 𝖩={\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0$

เมื่อ $\mathit{\partial }$ เป็นตัวดำเนินการ (operator) ถูกเรียกว่าเกรเดียนท์สี่มิติ (four-gradient) และกำหนดโดย $(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\mathrm{\nabla })$ บางครั้งสมการความต่อเนื่องข้างบนถูกเขียนในรูป

$J^{\mu }{}_{,\mu }=0$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สมการความต่อเนื่องดังกล่าวจะถูกเขียนในรูป

$J^{\mu }{}_{;\mu }=0$

โดย semi-colon $;$ แทนอนุพันธ์โควาเรียนท์ (covariant derivative)

ดูเพิ่ม

• เวกเตอร์สี่มิติ (four-vector)