การแปลงแบบบัญญัติ

แม่แบบ:ปรับภาษา ในกลศาสตร์แฮมิลตัน การแปลงแบบบัญญัติ (canonical transformation) คือ การเปลี่ยนแปลงของพิกัดแบบบัญญัติ แม่แบบ:Math ซึ่งยังคงรูปแบบของสมการแฮมิลตันไว้ ในบางครั้งก็ถูกเรียกว่า รูปแบบความสัมพันธ์ของตัวแปร (form invariance) ไม่จำเป็นที่จะต้องรักษารูปแบบของกลศาสตร์แฮมิลตันเดิมเอาไว้ การแปลงแบบบัญญัติสามารถนำไปใช้ได้อย่างมีรูปแบบ ซึ่งนำไปสู่สมการแฮมิลตัน–ยาโคบี (วิธีการที่ใช้สำหรับคำนวณพลังงานที่อนุรักษ์) และทฤษฎีของลีอูวิล (ตัวพื้นฐานของกลศาสตร์สถิติคลาสสิก)

เนื่องจากกลศาสตร์ลากร็องฌ์ขึ้นอยู่กับพิกัดทั่วไป การแปลงพิกัด แม่แบบ:Math จะไม่ส่งผลต่อรูปแบบสมการอ็อยเลอร์–ลากร็องฌ์ (Lagrange’s equation) และด้วยเหตุนี้ จึงไม่ส่งผลกระทบต่อรูปแบบสมการของแฮมิลตัน (Hamilton’s equation) ด้วย ถ้าหากเราเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมด้วยวิธีการแปลงเลอฌ็องดร์ (Legendre transform) แทนในสมการ

$P_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_i}$

ดังนั้น การแปลงพิกัด (หรือ การแปลงจุด (point transformations)) จึงเป็นหนึ่งในวิธีการแปลงฯ อย่างไรก็ตาม ระดับการแปลงแบบบัญญัติเป็นที่ยอมรับมากขึ้น ตั้งแต่การแปลงพิกัดทั่วไปแบบเก่า โมเมนตัมและแม้กระทั่งเวลาอาจจะถูกรวมกันในรูปแบบพิกัดทั่วไปและโมเมนตัมแบบใหม่ การแปลงแบบบัญญัติที่ไม่มีพจน์ของเวลาจะถูกเรียกว่าการแปลงแบบบัญญัติที่ถูกจำกัด (restricted canonical transformations) (ตำราเรียนหลายเล่มก็พิจารณาแต่กรณีนี้) เพื่อความชัดเจน เราจำกัดการนำเสนอไว้ที่แคลคูลัสและกลศาสตร์คลาสสิก ผู้อ่านหลาย ๆ คน คงคุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ขั้นสูง เช่น cotangent bundles, exterior derivatives และ symplectic manifolds สามารถอ่านได้จากบทความที่เกี่ยวข้องกับ symplectomorphism (การแปลงแบบบัญญัติเป็นกรณีพิเศษของ symplectomorphism) อย่างไรก็ตาม คำแนะนำสั้น ๆ ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่อยู่ที่ท้ายของบทความนี้

ดูเพิ่ม

• Symplectomorphism
• Hamilton–Jacobi equation
• Liouville's theorem (Hamiltonian)
• Mathieu transformation
• Linear canonical transformation

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book