การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม

แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม (แม่แบบ:Langx ; FSF) หรือ การวางขั้ว (pole placement) ซึ่งเป็นวิธีการออกแบบตัวควบคุมสำหรับป้อนกลับในทฤษฎีระบบควบคุม เพื่อวางขั้วของระบบวงปิดในเป็นไปในตำแหน่งที่ผู้ออกแบบต้องการในระนาบของผลการแปลงลาปลาซ (s-plane) โดยการวางขั้วในที่นี้หมายถึงการกำหนดค่าลักษณะเฉพาะของตัวระบบ (ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ A ในสมการแบบจำลองปริภูมิสถานะ) นั้นมีความเกี่ยวพันกับเสถียรภาพของตัวระบบโดยตรงตามทฤษฎีระบบควบคุมเชิงเส้น และวิธีการนี้ใช้ได้กับเฉพาะระบบที่มีสภาพควบคุมได้เท่านั้น ซึ่งนั้นหมายความว่าในที่นี้เราถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด ซึ่งเป็นกรณีที่อุดมคติมากในความเป็นจริง

หลักการ

ถ้าระบบวงปิดสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการปริภูมิสถานะ ดังนี้แล้ว

$\dot{\underset{\_}{x}}=𝐀\underset{\_}{x}+𝐁\underset{\_}{u};$

$\underset{\_}{y}=𝐂\underset{\_}{x}+𝐃\underset{\_}{u}$

ดังนั้นขั้ว (pole) ของระบบคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ ที่มีรูปแบบดังนี้

$|s\mathbf{\text{I}}-\mathbf{\text{A}}|=0.$

เมื่อทำการป้อนกลับโดยใช้ค่าสถานะทุกตัว $\underset{\_}{x}$ แล้ว (เพราะถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด) สัญญาณขาเข้า $\underset{\_}{u}$ คือ

$\underset{\_}{u}=-𝐊\underset{\_}{x}$.

แทนค่า $\underset{\_}{u}$ ข้างต้นลงในสมการสถานะ จะได้ว่า

$\dot{\underset{\_}{x}}=(𝐀-𝐁𝐊)\underset{\_}{x};$

$\underset{\_}{y}=(𝐂-𝐃𝐊)\underset{\_}{x}.$

ขั้วของระบบที่ได้รับการป้อนกลับแล้วจะหาได้จากสมการลักษณะเฉพาะ $\det [s\mathbf{\text{I}}-(\mathbf{\text{A}}-\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{K}})]$ และโดยการเทียบสัมประสิทธิ์ ของสมการนี้กับ สมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการ ผู้ออกแบบก็จะสามารถหาค่าของเมทริกซ์ $\mathbf{\text{K}}$ ที่ใช้ในการควบคุมระบบให้มีขั้วตามสมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการได้

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการปริภูมิสถานะ

$\dot{\underset{\_}{x}}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]\underset{\_}{x}+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\underset{\_}{u}$

จะพบว่าเมื่อไม่มีการควบคุมนั้น ตัวระบบวงปิดมีขั้วที่ $s=-1$ และ $s=-2$ แต่ถ้าเราต้องการให้ระบบวงปิดมีขั้วที่ $s=-1$ และd $s=-5$ แทน (ซึ่งมีสมการลักษณะเฉพาะคือ $s^2+6s+5=0$ ) .

ขั้นตอนการการป้อนกลับสถานะแบบเต็ม เป็นดังนี้คือ กำหนดให้ ค่าคงที่ $𝐊=\left[\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right]$

และสมการลักษณะเฉพาะของระบบที่ติดตัวแปร $𝐊$คือ

$|s𝐈-(𝐀-𝐁𝐊)|=\det \left[\begin{array}{cc}s& -1\\ 2+k_1& s+3+k_2\end{array}\right]=s^2+(3+k_2)s+(2+k_1)$.

เมื่อทำการเทียบ สัมประสิทธิ์ของทั้งสองสมการลักษณะเฉพาะแล้วจะได้

$𝐊=\left[\begin{array}{cc}3& 3\end{array}\right]$.

จะเห็นได้ว่าการกำหนดให้ $\underset{\_}{u}=-𝐊\underset{\_}{x}$ (ซึ้งก็คือการป้อนสถานะแบบเต็มนั้นเอง) ทำให้ระบบวงปิดมีขั้วและคุณสมบัติตามที่เราต้องการนั้นเอง

หมายเหตุ: ตัวอย่างข้างต้นนี้สำหรับกรณี สัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (Single-Input and Single-Output) เท่านั้น ในกรณี สัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (Multiple-Input and Multiple-Output) ค่า เมทริกซ์ $\mathbf{\text{K}}$ อาจจะมีได้หลายค่าและให้ผลต่อระบบวงปิดในแบบเดียวกัน ดังนั้นการเลือกใช้ K ที่ดีที่สุดและเหมาะกับสภาพความเป็นจริงของปัญหาก็เป็นอีกประเด้นหนึ่งที่ผู้ออกแบบต้องพิจารณา ซึ่งโดยปรกติแล้วเราจะนิยมใช้วิธีการ linear-quadratic regulator กันมากกว่า

ดูเพิ่ม

• Pole splitting
• Step response
• ทฤษฎีระบบควบคุม
• ระบบควบคุมพีไอดี