แผนภาพโวโรนอย

แม่แบบ:เก็บกวาด แผนภาพโวโรนอย (แม่แบบ:Langx) เป็นหนึ่งในโครงสร้างที่สำคัญที่ใช้ในการคำนวณเชิงเรขาคณิต โดยแผนภาพนี้ใช้ทำการบันทึกข้อมูลว่าอะไรอยู่ใกล้กับอะไร

คำจำกัดความ

ให้ $P=\{p_1,p_2,...,p_n\}$ เป็นเซตของจุดที่สนใจ (sites) n จุด ในระนาบ แผนภาพโวโรนอยของ P คือ การแบ่งส่วนระนาบออกเป็นเซลล์ V(p_i) จำนวน n เซลล์ (1 เซลล์ ต่อ 1 site) จุด q คือ จุดที่อยู่ในเซลล์ ซึ่งมีความสัมพันธ์กับ site p_i โดยที่ $p_i\in P$ กล่าวคือ $V(p_i)=\{q:|p_{i}q|<|p_{j}q|,j\ne i\}$

สมบัติของแผนภาพโวโรนอย

• เส้นเชื่อมโวโรนอย (voronoi edge) : แต่ละจุดบนเส้นเชื่อมของ แผนภาพโวโรนอย คือ จุดที่มีระยะห่างระหว่างไซท์สองไซท์ (p_i, p_j) ที่อยู่ติดกันเป็นระยะเท่ากัน และ ณ จุดนั้นเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งมี p_i และ p_j สัมผัสอยู่ที่เส้นวง และไม่มีไซท์อื่นๆ อยู่ภายในวงนั้นๆ
• voronoi vertex : จุดที่เกิดจากการที่ เซลล์สามเซลล์มาบรรจบกัน ซึ่งจาก voronoi vertex นั้น จะมีระยะห่างจากไซท์ทั้งสาม เป็นระยะเท่าๆ กัน และ ณ จุดนั้น เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งเส้น
• รอบวงลากผ่านไซท์เหล่านั้นพอดี และไม่มีไซท์อื่นๆ อยู่ภายในวงนั้นๆ
• ดีกรี (degree) : หากเราสร้างแผนภาพให้แต่ละ vertex ไม่มีไซ์ในเส้นวง เป็น 4 ไซท์ จะได้ว่า ทุกจุดยอด มีดีกรีเท่ากับ 3
• ขนาด (size) : ให้ n คือ จำนวน sites ทั้งหมด และ แผนภาพโวโรนอยเป็นพลาน่ากราฟที่มีหน้า n หน้าจะได้ว่า จำนวน voronoi vertex ทั้งหมดมีจำนวน 2n – 5 จุดยอด และ จำนวนเส้นเชื่อมโวโรนอยทั้งหมด มีจำนวน 3n – 6 เส้นเชื่อม

อ้างอิง

1. http://nms.csail.mit.edu/~aklmiu/6.838/
2. http://www.skynet.ie/~sos/mapviewer/docs/Voronoi_Diagram_Notes_1.pdf แม่แบบ:Webarchive