ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว

สำหรับสถิติศาสตร์แล้ว ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (แม่แบบ:Langx) เป็นการวัดปริมาณการเปลี่ยนแปลงของสองตัวแปรว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงตามกันมาน้อยเท่าใด ความแปรปรวน (variance) เป็นกรณีพิเศษของความแปรปรวนร่วมเกี่ยวโดยที่สองตัวแปรที่พิจารณาคือตัวแปรตัวแปรเดียวกัน

นิยาม

ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวตัวแปรเดี่ยว

นิยามความแปรปรวนร่วมเกี่ยวระหว่างสองตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมกัน $X$ และ $Y$ ที่สามารถนิยามโมเมนต์ที่ 2 ได้ (second moment) คือ

$\mathrm{cov}(X,Y)=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$

โดย $\mathrm{E}(X)$ คือ ค่าคาดหมาย (expected value) ของ $X$ ทั้งนี้ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวสามารถเขียนแทนด้วย ${\sigma }_{XY}$ หรือ $\sigma (X,Y)$ ได้เช่นกัน

จากนิยามข้างต้นของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว สามารถเขียนในรูปใหม่ได้โดยใช้คุณสมบัติของค่าคาดหมายและคุณสมบัติการคูณ ดังนี้

$$\begin{array}{cc}\mathrm{cov}(X,Y)& =\mathrm{E}\left[(X-\mathrm{E}\left[X\right])(Y-\mathrm{E}\left[Y\right])\right]\\ & =\mathrm{E}[XY-X\mathrm{E}\left[Y\right]-\mathrm{E}\left[X\right]Y+\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right]]\\ & =\mathrm{E}\left[XY\right]-\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right]-\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right]+\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right]\\ & =\mathrm{E}\left[XY\right]-\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right]\end{array}$$

ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวหลายตัวแปร

สำหรับเวกเตอร์สุ่ม $X$ และ $Y$ ที่มีขนาดไม่เท่ากัน โดย $X$ มีขนาด $m\times 1$ และ $Y$ มีขนาด $n\times 1$ แล้ว เมตริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวของ $X$ และ $Y$ จะเป็นเมตริกซ์ขนาด $m\times n$ ที่เท่ากับ

$\mathrm{cov}(X,Y)=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y]{)}^{\prime }]=\mathrm{E}[X{Y}^{\prime }]-\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y{]}^{\prime }$

โดยสัญลักษณ์ ${\displaystyle }$ บน Matrix เช่น $M^{\prime }$ หมายถึง เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ $M$

สมาชิกแถว $i$ หลัก $j$ ของ $\mathrm{cov}(X,Y)$ จะเท่ากับค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยว $\mathrm{cov}(X_i,Y_i)$ ระหว่างสมาชิกที่ $i$ ของ $X$ และสมาชิกที่ $j$ ของ $Y$

$\mathrm{Cov}(Y,X)$ จะเท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยน ของ $\mathrm{Cov}(Y,X)$

ตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยวระหว่างกันเป็น 0 จะเรียกว่า ตัวแปรทั้งสองไม่มีสหสัมพันธ์กัน (uncorrelated)

หน่วยของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว $\mathrm{cov}(Y,X)$ คือ หน่วยของ $X$ คูณหน่วยของ $Y$ แต่สำหรับสหสัมพันธ์ (correlation) ไม่มีหน่วย

ดูเพิ่ม

• ความแปรปรวน (variance)
• Covariance matrix
• สหสัมพันธ์ (correlation)

แหล่งข้อมูลอื่น

• MathWorld page on calculating the sample covariance