เมทริกซ์หนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์ เมทริกซ์หนึ่ง (แม่แบบ:Langx) หมายถึงเมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นหนึ่ง ดังตัวอย่าง

$J_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right);J_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right);J_{2,5}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$

ในบางบริบท เมทริกซ์หนึ่งอาจเรียกแทนด้วย เมทริกซ์หน่วย ซึ่งเป็นอีกชื่อหนึ่งของเมทริกซ์เอกลักษณ์

คุณสมบัติ

กำหนดให้ U เป็นเมทริกซ์หนึ่งขนาด n×n เมทริกซ์ U จะมีคุณสมบัติต่อไปนี้

• รอยเมทริกซ์ (trace) ของ U เท่ากับ n และดีเทอร์มิแนนต์ของ U เท่ากับ 0
• ค่าลำดับชั้น (rank) ของ U เท่ากับ 1 และค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) จะเท่ากับ n หนึ่งตัว และเท่ากับ 1 อีก n−1 ตัว
• $U^k=n^{k-1}U$ เมื่อ k = 1, 2, 3, ...
• เมทริกซ์ แม่แบบ:เศษ U เป็นนิจพล (idempotent)
• $\exp (U)=I+\frac{e^n-1}{n}U$ เมื่อ exp (U) หมายถึง เมทริกซ์เลขชี้กำลัง (matrix exponential)
• การคูณเมทริกซ์ U ด้วยผลคูณอาดามาร์ (Hadamard product) เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์