เมทริกซ์แต่งเติม

แม่แบบ:ขาดอ้างอิง เมทริกซ์แต่งเติม (แม่แบบ:Langx) คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมกันของเมทริกซ์อื่นสองเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากัน เพื่อประโยชน์ในการคำนวณหาตัวผกผันของเมทริกซ์และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นต้น

ตัวอย่าง กำหนดให้เมทริกซ์ A และ B

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 0& 1\\ 5& 2& 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ 1\end{array}\right]$

จะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B) เท่ากับ

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 4\\ 2& 0& 1& 3\\ 5& 2& 2& 1\end{array}\right]$

ตำราบางเล่มอาจใช้เส้นตรงคั่นระหว่างกลางในตัวเมทริกซ์ เพื่อแยกแยะว่าสมาชิกตัวไหนเป็นของเมทริกซ์ใด

การนำไปใช้

เมทริกซ์ผกผัน

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน สามารถมีตัวผกผันได้ทุกเมทริกซ์ โดยการคำนวณผ่านเมทริกซ์แต่งเติมเป็นอีกวิธีหนึ่งที่ทำได้ เช่น กำหนดให้เมทริกซ์ C

$C=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -5& 0\end{array}\right]$

การหาเมทริกซ์ผกผันเริ่มจากการนำเมทริกซ์เริ่มต้น มาผนวกกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติเท่ากัน เป็นเมทริกซ์ (C|I)

$(C|I)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ -5& 0& 0& 1\end{array}\right]$

แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (C|I) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ตัวผกผันของเมทริกซ์ที่ซีกขวา

$(I|C^{-1})=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{1}{5}\\ 0& 1& \frac{1}{3}& \frac{1}{15}\end{array}\right],C^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{5}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{15}\end{array}\right]$

ระบบสมการเชิงเส้น

เมทริกซ์แต่งเติมมีส่วนช่วยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น สมการจะต้องมีจำนวนไม่ต่ำกว่าจำนวนตัวแปรของทั้งระบบสมการ เช่นตัวแปรมี 3 ตัว จำเป็นต้องใช้ 3 สมการ ดังตัวอย่าง

$\begin{array}{ccc}{x}_1+2x_2+3x_3& =& 0\\ 3x_1+4x_2+7x_3& =& 2\\ 6x_1+5x_2+9x_3& =& 11\end{array}$

เมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายจะประกอบไปด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่อยู่ตามลำดับ ส่วนซีกขวาเป็นค่าคงตัวของสมการนั้นๆ

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 4& 7\\ 6& 5& 9\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 11\end{array}\right]$

เราจะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B)

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 3& 4& 7& 2\\ 6& 5& 9& 11\end{array}\right]$

แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (A|B) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ค่าของตัวแปรแต่ละตัวที่ซีกขวา

$(I|X)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ -2\end{array}\right]$

$\therefore x_1=4,x_2=1,x_3=-2$