เมทริกซ์สมมาตรเสมือน

ในทางพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สมมาตรเสมือน หรือ เมทริกซ์ปฏิสมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ

$A^{\mathrm{T}}=-A$

เราสามารถนิยามเมทริกซ์สมมาตรเสมือนได้อีกอย่างหนึ่งว่า

$a_{ij}=-a_{ji}$

สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j

ตัวอย่างต่อไปนี้คือเมทริกซ์สมมาตรเสมือน ในมิติ 3×3

${\left[\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ -2& 0& -4\\ 1& 4& 0\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 2& 0& 4\\ -1& -4& 0\end{array}\right]=(-1)\left[\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ -2& 0& -4\\ 1& 4& 0\end{array}\right]$

คุณสมบัติ

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สมมาตรเสมือน มีคุณสมบัติดังนี้

$\det (A)=\det (A^{\mathrm{T}})=\det (-A)=(-1{)}^n\det (A)$

ซึ่งหาก n เป็นจำนวนคี่ ดีเทอร์มิแนนต์จะกลายเป็นศูนย์ ตามทฤษฎีบทของจาโคบี ซึ่งตั้งโดย คาร์ล กุสตาฟ จาโคบี (Carl Gustav Jacobi)

ดูเพิ่ม

• เมทริกซ์สมมาตร