ภาวะคู่กันปวงกาเร

ในคณิตศาสตร์ ภาวะคู่กันปวงกาเร (แม่แบบ:Langx) เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างของกรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีของแมนิโฟลด์ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าถ้า $M$ เป็นแมนิโฟลด์มิติ $n$ ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิด (เป็นแมนิโฟลด์กระชับและไม่มีขอบ) และกำหนดทิศทางได้ แล้วกรุปคอฮอมอโลยีตัวที่ $k$ ของ $M$ จะสมสัณฐานกับกรุปฮอมอโลยีตัวที่ $n-k$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $k$ หรือเขียนได้ว่า

$H^k(M)\cong H_{n-k}(M)$

ภาวะคู่กันปวงกาเรเป็นจริงสำหรับทุกริงสัมประสิทธิ์ ตราบเท่าที่เลือกใช้การกำหนดทิศทางบนแมนิโฟลด์ที่สอดคล้องกับริงนั้น และเนื่องจากทุกแมนิโฟลด์มีการกำหนดทิศทางเพียงหนึ่งเดียวมอดุโล 2 แล้วจะได้ว่าภาวะคู่กันปวงการเรเป็นจริงมอดุโลสองโดยไม่ต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม

ประวัติ

รูปแบบหนึ่งของภาวะคู่กันปวงกาเรถูกกล่าวขึ้นเป็นครั้งแรกโดย อ็องรี ปวงกาเร ในปีค.ศ. 1893 โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ ปวงกาเรตั้งทฤษฎีบทนี้ในเทอมของจำนวนเบ็ตตีว่าจำนวนเบ็ตตีตัวที่ $k$ และ $n-k$ ของแมนิโฟลด์ปิด (แมนิโฟลด์กระชับและไม่มีขอบ) และกำหนดทิศทางได้มิติ $n$ จะเท่ากันเสมอ แนวคิดเรื่องคอฮอมอโลยีต้องรอไปอีก 40 ปีจากขณะนั้นถึงจะชัดเจนสมบูรณ์ ในปีค.ศ. 1895 ในรายงานวิจัย Analysis Situs ปวงกาเรได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ผ่านทฤษฎีการตัดขวางเชิงทอพอโลยี (topological intersection theory) ซึ่งปวงกาเรเป็นผู้ประดิษฐ์ขึ้นมา แต่คำวิจารณ์จาก Poul Heegaard ชี้ให้ปวงกาเรเห็นว่าบทพิสูจน์ของเขาผิดพลาด ในส่วนเพิ่มเติมของรายงาน Analysis Situs ที่ตีพิมพ์ภายหลัง ปวงกาเรให้บทพิสูจน์ใหม่ผ่าน dual triangulations

ภาวะคู่กันปวงกาเรปรากฎในรูปแบบปัจจุบันภายหลังแนวคิดเรื่องคอฮอมอโลยีปรากฎขึ้นในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 1930 เมื่อ เอดูอาร์ด เช็ค และ แฮสเลอร์ วิทนีร์ นิยามผลคูณถ้วย (cup product) และผลคูณหมวก (cap product) จากนั้นใช้แนวคิดทั้งสองเพื่อเขียนภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบใหม่

ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบัน

ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบันนิยมกล่าวผ่านฮอมอโลยีและคอฮอมอโลยี แม่แบบ:ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์

เพื่อนิยามฟังก์ชันสมสัณฐานดังกล่าว เราเลือกชั้นมูลฐาน (fundamental class) $[M]$ ของ $M$ ซึ่งนิยามถ้า $M$ กำหนดทิศทางได้ จะได้ว่าฟังก์ชันสมสัณฐานเป็นการส่งสมาชิก $\alpha \in H^k(M)$ ไปยังผลคูณหมวก $[M]⌢\alpha$

กรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีนิยามให้เป็นศูนย์สำหรับดีกรีเป็นจำนวนเต็มลบ ดังนั้นภาวะคู่กันของปวงกาเรจึงบ่งว่ากรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีของแมนิโฟลด์มิติ $n$ ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้จะเป็นศูนย์สำหรับทุกดีกรีที่สูงกว่า $n$

ในรูปแบบข้างต้นกรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีมีค่าเป็นจำนวนเต็ม แต่ภาวะสมสัณฐาณนี้เป็นจริงไม่ว่าใช้ริงสัมประสิทธิ์ใด ๆ ในกรณีที่แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางได้ไม่กระชับ จะต้องเปลี่ยนฮอมอโลยีเป็น Borel–Moore homology

$H^i(X)\stackrel{\cong }{\to }{H}_{n-i}^{BM}(X)$

หรือเปลี่ยนคอฮอมอโลยีเป็นคอฮอมอโลยีมีส่วนค้ำจุนกระชับ (cohomology with compact support)

$H_c^i(X)\stackrel{\cong }{\to }{H}_{n-i}(X)$

บทประยุกต์กับแคแรกเทอริสติกออยเลอร์

ผลที่ตามมาโดยทันทีจากภาวะคู่กันปวงกาเรคือทุกแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้ $M$ ที่มีมิติเป็นจำนวนเต็มคี่ จะมีแคแรกเทอริสติกออยเลอร์เท่ากับศูนย์ และจะได้ตามมาว่าทุกแมนิโฟลด์มีขอบเขตจะมีแคแรกเทอริสติกออยเลอร์เป็นเลขคู่

การวางนัยทั่วไป

ภาวะคู่กันปวงกาเร-เล็ฟเชตซ์ (Poincaré–Lefschetz duality theorem) เป็นการวางนัยทั่วไปของภาวะคู่กันปวงกาเรสำหรับแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต ในกรณีที่แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางไม่ได้ เราสามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับภาวะคู่กันได้โดยพิจารณาชีพของการกำหนดทิศทางเฉพาะที่ เรียกว่า ภาวะคู่กันปวงกาเรทวิสต์ (twist Poincare duality)

อ่านเพิ่ม

• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation