ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส

พื้นที่สีเขียวรวมกับพื้นที่สีน้ำเงิน = พื้นที่สีแดง

ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส (Apollonius' Theorem) เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต ที่เกี่ยวข้องกับความยาวของเส้นมัธยฐานและความยาวด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งกล่าวว่า "ผลรวมค่ากำลังสองของด้านสองด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ สองเท่าของผลบวกของครึ่งหนึ่งของความยาวด้านที่สามยกกำลังสองกับความยาวของเส้นมัธยฐานยกกำลังสอง"

กำหนดให้ รูปสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้า $AD$ เป็นเส้นมัธยฐาน แล้ว $$|AB{|}^2+|AC{|}^2=2(|AD{|}^2+|BD{|}^2)$$

ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต (Stewart's Theorem) ในกรณีที่สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ $|AB|=|AC|$ แล้วเส้นมัธยฐาน $AD$ จะตั้งฉากกับ $BC$ ในกรณีดังกล่าวทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียสจะกลายเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานสมมูลกับทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส ผ่านความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสองส่วน

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม Apollonius of Perga ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส (Apollonius' Theorem)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พื้นที่สีเขียว = พื้นที่สีแดง

พิสูจน์ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต และ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ (ดูกฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์โดยใช้กฎของโคไซน์

ให้สามเหลี่ยมมีด้าน $a,b,c$ โดยมีเส้นมัธยฐาน $d$ ลากไปด้าน $a$ ให้ $m$ คือความยาวส่วนของด้าน $a$ ที่ถูกแบ่งครึ่งโดยเส้นมัธยฐาน ดังนั้น $m$ คือครึ่งหนึ่งของ $a$ ให้มุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้าน $a$ และเส้นมัธยฐาน $d$ เป็น $\theta$ และ ${\theta }^{\prime }$ ตามลำดับ โดยที่ $\theta$ อยู่ในฝั่งที่มีด้าน $b$ และ ${\theta }^{\prime }$ อยู่ในฝั่งที่มีด้าน $c$ ดังนั้น $\theta +{\theta }^{\prime }$ มีค่าเท่ากับ 180 องศา และ $\cos {\theta }^{\prime }=-\cos \theta$

จากกฎของโคไซน์จะได้

$b^2=m^2+d^2-2dm\cos \theta$

$c^2=m^2+d^2-2dm\cos {\theta }^{\prime }$$=m^2+d^2+2dm\cos \theta$

นำสองสมการมาบวกกัน จะได้ $b^2+c^2=2(m^2+d^2)$