วงเล็บลากรานจ์

วงเล็บลากรานจ์ (Lagrange bracket) เสนอโดยโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ ในปี ค.ศ.1808–1810 เพื่อเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับกลศาสตร์คลาสสิก แต่แตกต่างจากวงเล็บปัวซง (Poisson brackets)

นิยาม

กำหนดให้ (q₁, …, q_n, p₁, …, p_n) เป็นพิกัดคาโนนิคัล (canonical coordinates) ในปริภูมิเฟส(phase space) จะได้วงเล็บลากรานจ์

$[u,v{]}_{p,q}=\sum _{i=1}^n(\frac{\partial q_i}{\partial u}\frac{\partial p_i}{\partial v}-\frac{\partial p_i}{\partial u}\frac{\partial q_i}{\partial v}).$

สมบัติของวงเล็บลากรานจ์

• วงเล็บลากรานจ์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดคาโนนิคัล (q, p) ถ้า (Q,P) = (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) ดังนั้น

$Q=Q(q,p),P=P(q,p)$

เป็นการแปลงคาโนนิคัล สมบัติ invariant ของวงเล็บลากรานจ์เป็น

$[u,v{]}_{q,p}=[u,v{]}_{Q,P}$

• ถ้า Ω คือ symplectic form ในปริภูมิเฟสสองมิติ W และ u₁,…,u_2n คือระบบพิกัดบนปริภูมิ W พิกัดคาโนนิคัล (q,p) อาจเขียนได้เป็นฟังก์ชันของพิกัด u และเมตริกซ์ของวงเล็บลากรานจ์

$[u_i,u_j{]}_{p,q},1\le i,j\le 2n$

แทนองค์ประกอบของ Ω ในรูปของเทนเซอร์ ในพิกัด u เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ผกผัน (inverse matrix) เขียนให้อยู่ในรูปวงเล็บปัวส์ซอง

$\{u_i,u_j\},1\le i,j\le 2n$

• พิกัด (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) ในปริภูมิเฟสเป็นพิกัดคาโนนิคอล วงเล็บลากรานจ์ระหว่างพิกัดทั้งสองเขียนได้เป็น

$[Q_i,Q_j{]}_{p,q}=0,[P_i,P_j{]}_{p,q}=0,[Q_i,P_j{]}_{p,q}=-[P_j,Q_i{]}_{p,q}={\delta }_{ij}$

เมื่อ ${\delta }_{ij}$ คือ เดลตาโครเนกเกอร์ (Kronecker delta)

ดูเพิ่ม

• กลศาสตร์ลากรานจ์
• กลศาสตร์แฮมินตัน

อ้างอิง

• Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), แม่แบบ:ISBN.
• Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257–277. แม่แบบ:MathSciNet

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Mathworld
• แม่แบบ:SpringerEOM