ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล (แม่แบบ:Langx)

ในทางกลศาสตร์แบบดั้งเดิม โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค คือ

$𝐋=𝐫\times 𝐩$

โดยที่ p คือ ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงเส้น และ r คือ ตัวดำเนินการตำแหน่งของอนุภาค และ L คือ ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล

ในกรณีที่อนุภาคไม่มีประจุไฟฟ้าและสปิน สามารถเขียนให้ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัลอยู่ในรูปของ r ได้ ดังนี้

$𝐋=-i\hslash (𝐫\times \mathrm{\nabla })$

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล คือ ตัวดำเนินการเวกเตอร์ ซึ่งเราสามาราถเขียนให้อยู่ในรูปขององค์ประกอบของเวกเตอร์ได้ $𝐋=(L_x,L_y,L_z)$ โดยมีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของโมเมนตัมเชิงมุมดังนี้

$[L_x,L_y]=i\hslash L_z,[L_y,L_z]=i\hslash L_x,[L_z,L_x]=i\hslash L_y,$ (วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม)

โดย [ , ] คือ สัญลักษณ์การเปลี่ยนกลุ่ม

$[X,Y]\equiv XY-YX.$

รูปทั่วไป คือ

$[L_l,L_m]=i\hslash \sum _{n=1}^3{\epsilon }_{lmn}{L}_n$,