เมทริกซ์เพาลี

ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เมทริกซ์เพาลีคือเซตของ เมทริกซ์ 2 X 2 มิติที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนเป็นเมทริกซ์แบบ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และเมทริกซ์ยูนิแทรี่ (unitary matrix) โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วยตัวอักษรกรีก sigma (σ) บางครั้งก็ถูกแทนด้วยตัวอักษร tau (τ) เมื่อใช้เชื่อมโยงเกี่ยวกับ isospin symmetries ในวิชาควอนตัม

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1={\sigma }_x& =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\\ {\sigma }_2={\sigma }_y& =\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\\ {\sigma }_3={\sigma }_z& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).\end{array}$

เมทริกซ์เหล่านี้ถูกต้องชื่อตามนักฟิสิกส์ที่ชื่อว่า วูล์ฟกัง เพาลี (Wolfgang Pauli) เนื่องจากพวกมันเกิดขึ้นในสมการของเพาลีที่นำมาใช้พิจารณาปฏิกิริยาระหว่างสปินของอนุภาคกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าภายนอก ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม เมทริกซ์เพาลีเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมที่สอดคล้องกับการอธิบายสปินของอนุภาคในแต่ละทิศทาง เมทริกซ์เพาลีแต่ละอันจะเป็นเมทริกซ์เอร์มีเชียนโดยที่กำลังสองของตัวมันเองจะเท่ากับเมริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) รูปแบบของเมทริกซ์เพาลีเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีขนาด 2 x 2 มิติ

สมบัติพีชคณิต

เมทริกซ์เพาลีแต่ละอันสามารถเขียนอยู่ในรูปนิพจน์เดียวได้ดังนี้

${\sigma }_a=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{a3}& {\delta }_{a1}-i{\delta }_{a2}\\ {\delta }_{a1}+i{\delta }_{a2}& -{\delta }_{a3}\end{array}\right)$

เมื่อ i = √−1 คือ จำนวนจินตภาพ และ แม่แบบ:Math คือ Kronecker delta

เมทริกซ์นี้จะมีความเป็นเอกลักษณ์ดังนี้

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2=-i{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

เมื่อ แม่แบบ:Math คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์

• Determinants และ Traces (ผลรวมของเมทริกซ์ในแนวทะแยง) ของเมทริกซ์เพาลีคือ

$\begin{array}{cc}\det {\sigma }_i& =-1,\\ \mathrm{Tr}{\sigma }_i& =0.\end{array}$

จากข้างต้นเราสามารถอนุมาน eigenvalue ของแต่ละ แม่แบบ:Math  คือ แม่แบบ:Math

Eigenvectors และ Eigenvalues

Eigenvalue ของเมทริกซ์เพาลีแต่ละตัวมี 2 ค่าคือ +1 และ -1 ซึ่ง Eigenvector ที่สอดคล้องคือ

$\begin{array}{cccc}& {\psi }_{x+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),& & {\psi }_{x-}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),\\ & {\psi }_{y+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right),& & {\psi }_{y-}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right),\\ & {\psi }_{z+}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),& & {\psi }_{z-}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).\end{array}$

เวกเตอร์ของเพาลี

เวกเตอร์เพาลีถูกนิยามโดย

$\overrightarrow{\sigma }={\sigma }_1\hat{x}+{\sigma }_2\hat{y}+{\sigma }_3\hat{z}$

และจากพื้นฐานของเวกเตอร์ทำให้เวกเตอร์เพาลีจะเป็นตาม

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma }& =(a_i{\hat{x}}_i)\cdot ({\sigma }_j{\hat{x}}_j)\\ & =a_i{\sigma }_j{\hat{x}}_i\cdot {\hat{x}}_j\\ & =a_i{\sigma }_j{\delta }_{ij}\\ & =a_i{\sigma }_i=\left(\begin{array}{cc}{a}_3& a_1-i{a}_2\\ a_1+i{a}_2& -a_3\end{array}\right)\end{array}$

ใช้การรวมแบบ summation convention

$\det \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma }=-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=-|\overrightarrow{a}{|}^2,$

จะมีค่า Eigenvalue เป็น $\pm |\overrightarrow{a}|$

$\frac{1}{2}\mathrm{t}\mathrm{r}[(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma })\overrightarrow{\sigma }]=\overrightarrow{a}.$

และจะมี Eigenvector คือ ${\psi }_{+}=\left(\begin{array}{c}{a}_3+|\overrightarrow{a}|\\ a_1+i{a}_2\end{array}\right);{\psi }_{-}=\left(\begin{array}{c}i{a}_2-a_1\\ a_3+|\overrightarrow{a}|\end{array}\right).$

อ้างอิง

http://www.il.mahidol.ac.th/e-media/ap-chemistry1/atomic_structure/pauli.htm

http://wikivisually.com/lang-th/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B8%94%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%A5%E0%B8%B5แม่แบบ:ลิงก์เสีย

http://www.vcharkarn.com/varticle/505837