ความยาวคลื่นคอมป์ตัน

ความยาวคลื่นคอมป์ตัน (Compton wavelength) เป็นความยาวคลื่นของคลื่นเฉพาะตัวของสสาร ถูกเสนอโดยอาร์เทอร์ คอมป์ตัน (Arthur Compton) นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน ซึ่งเป็นผู้อธิบายการกระเจิงของโฟตอน (แสง) โดยอิเล็กตรอน (หรือการกระเจิงคอมป์ตัน) ความยาวคลื่นคอมป์ตันเป็นปริมาณของสสารที่เทียบเท่ากับความยาวคลื่นของโฟตอน ทำนองเดียวกับสมมูลพลังงานและมวลของไอน์สไตน์

ความยาวคลื่นคอมป์ตัน λ ของอนุภาค กำหนดตามสมการ

$\lambda =\frac{h}{mc}$

โดยที่ h แทน ค่าคงตัวพลังค์ m แทน มวลของอนุภาคขณะนิ่ง (มวลนิ่ง; rest mass) และ c แทน อัตราเร็วแสง

ข้อมูลของคณะกรรมการข้อมูลวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (CODATA) พ.ศ. 2553 ระบุว่า ความยาวคลื่นคอมป์ตันของอิเล็กตรอนมีค่า แม่แบบ:Val. ส่วนอนุภาคอื่นมีค่าแตกต่างกันออกไป

ความสำคัญ

ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน (Reduced Compton wavelength)

หาได้โดยหารความยาวคลื่นคอมป์ตันด้วย $2\pi$

$\frac{\lambda }{2\pi }=\frac{\hslash }{mc}$

ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน ในระดับควอนตัมนิยมใช้ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน โดยเฉพาะในสมการไคลน์-กอร์ดอน (Klein–Gordon equation) ของอนุภาคอิสระ

${\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi ={\left(\frac{mc}{\hslash }\right)}^2\psi$

รวมถึงสมการดิแรก (Dirac equation) (สมการต่อไปนี้เขียนในรูปโคแวเรียนต์ (covariant) โดยอาศัยข้อตกลงไอน์สไตน์ (Einstein summation convention)):

$-i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi +\left(\frac{mc}{\hslash }\right)\psi =0$

นอกจากนี้ยังปรากฏในสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger's equation) แม้จะไม่ได้เขียนอย่างชัดเจนไว้ในสมการของเดิมก็ตาม สมการต่อไปนี้เป็นสมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Z{e}^2}{r}\psi$

เมื่อหารตลอดด้วย $\hslash c$ และเขียนในรูปของค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด (fine structure constant) จะได้ว่า

$\frac{i}{c}\frac{\partial }{\partial t}\psi =-\frac{1}{2}\left(\frac{\hslash }{mc}\right){\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{\alpha Z}{r}\psi$

ข้อจำกัดในการวัดค่าความยาวคลื่นคอมป์ตัน

เนื่องจากข้อจำกัดการวัดในทางกลศาสตร์ควอนตัมและสัมพัทธภาพพิเศษ ทำให้การวัดค่าความยาวคลื่นไม่แม่นยำสมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือ การวัดตำแหน่งของอนุภาคด้วยแสง หากต้องการเห็นตำแหน่งชัดเจน ก็ต้องใช้แสงความยาวคลื่นน้อย ๆ ซึ่งมีโฟตอนพลังงานสูง หากพลังงานของโฟตอนเกินกว่า mc² อาจก่อให้เกิดอนุภาคใหม่ได้จากหลักการสมมูลมวล-พลังงาน

กำหนดให้ความไม่แน่นอนของตำแหน่งเป็น Δx จากนั้นจากหลักความไม่แน่นอนของตำแหน่งและโมเมนตัม

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$

ทำให้ได้ว่า

$\mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }x}$

ใช้สมการโมเมนตัม-พลังงานแบบสัมพัทธภาพ แม่แบบ:Nowrap จะได้ว่า เมื่อ Δp มีค่ามากกว่า mc จะได้ว่าความไม่แน่นอนของพลังงานจะต้องมากกว่า mc² ซึ่งเป็นพลังงานที่สมมูลกับมวลที่มากพอจะสร้างอนุภาคตัวใหม่ ดังนั้นจะได้ว่าความไม่แน่นอนของความยาวคล Using the relativistic relation between momentum and energy แม่แบบ:Nowrap, when Δp exceeds mc then the uncertainty in energy is greater than mc², which is enough energy to create another particle of the same type. It follows that there is a fundamental limitation on Δx:

$\mathrm{\Delta }x\ge \frac{1}{2}\left(\frac{\hslash }{mc}\right)$

ความยาวคลื่นคอมป์ตันต่างจาก ความยาวคลื่นเดอบรอย (de Broglie wavelength) ซึ่งขึ้นกับโมเมนตัมของอนุภาค และเป็นตัวบ่งชี้ระหว่างความเป็นอนุภาคและสสาร

ความสัมพันธ์กับค่าคงตัวอื่น

ความยาวอะตอมปกติ เลขคลื่น และพื้นที่ในฟิสิกส์มีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันของอิเล็กตรอน (${\overline{\lambda }}_e\equiv \frac{{\lambda }_e}{2\pi }\simeq 386\text{fm}$) และค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด ($\alpha \simeq \frac{1}{137}$)

รัศมีโบร์ (Bohr radius) มีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันดังนี้

$a_0=\frac{1}{\alpha }\left(\frac{{\lambda }_e}{2\pi }\right)\simeq 137\times {\overline{\lambda }}_e\simeq 5.29\times 10^4\text{fm}$

รัศมีอิเล็กตรอนแบบฉบับ (classical electron radius) มีขนาดสามเท่าใหญ่กว่ารัศมีโปรตอน และสามารถเขียนเป็นสมการได้ว่า

$r_e=\alpha \left(\frac{{\lambda }_e}{2\pi }\right)\simeq \frac{{\overline{\lambda }}_e}{137}\simeq 2.82\text{fm}$

ค่าคงตัวริดเบิร์ก (Rydberg constant) เขียนได้ดังนี้

$R_{\mathrm{\infty }}=\frac{{\alpha }^2}{2{\lambda }_e}$

ในอนุภาคเฟอร์มิออน ค่าคงตัวคอมป์ตันลดทอนและพื้นที่ตัดขวางอันตรกิริยามีความสัมพันธ์แก่กัน ยกตัวอย่าง พื้นที่ตัดขวางของการกระเจิงทอมสันของโฟตอนจากอิเล็กตรอน มีค่า

${\sigma }_T=\frac{8\pi }{3}{\alpha }^2{\overline{\lambda }}_e^2\simeq 66.5{\text{fm}}^2$

ซึ่งมีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ตัดขวางของนิวเคลียสเหล็ก-56

ในทฤษฎีเกจ (Gauge theory) ความยาวคลื่นคอมป์ตันของโบซอนมีความสัมพันธ์กับพิสัยของอันตรกิริยายุกะวะ (Yukawa interaction) ในส่วนของโฟตอนซึ่งไม่มีมวลนิ่ง พิสัยมีค่าเป็นอนันต์

ความยาวและพื้นที่ในทางฟิสิกส์แรงดึงดูด สัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันและค่าคงตัวแรงดึงดูดระหว่างมวล (gravitational coupling constant) ${\alpha }_G$ (เทียบได้กับค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด)

มวลพลังค์ (Planck mass) เมื่อคำนวณเป็นค่าความยาวคอมป์ตันแล้วหารด้วยสองจะได้เท่ากับรัศมีชวาร์ซชิลด์ (Schwarzschild radius) หรือความยาวพลังค์ Planck length) ${\ell }_P$

${\ell }_P={\lambda }_e\frac{\sqrt{{\alpha }_G}}{2\pi }$

แหล่งข้อมูลอื่น

• Length Scales in Physics: the Compton Wavelength