ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป หากแบ่ง $◻ABCD$ ตามเส้นทแยงมุมของมัน เราจะได้รูปสามเหลี่ยมสี่รูปซ้อนกันอยู่ (เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นทำให้เกิดสามเหลี่ยมขึ้นมา 2 อัน นั้นคือ $\mathrm{△}ABD,\mathrm{△}ABC,\mathrm{△}BCD,\mathrm{△}ACD$ ) จะรูปจะเห็นว่าจุดศุนย์กลางของวงกลมที่อยู่บรรจุอยุ่ภายในสามเหลี่ยมทั้งสี่ เป็นจุดยอดของสีเหลี่ยมผื้นผ้าอีกทีหนึ่ง

ใน เรขาคณิต ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (แม่แบบ:Langx) คือทฤษฎีที่ระบุว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุในสามเหลี่ยมหนึ่งๆได้ (incircle of a triangle)แม่แบบ:Ref label และสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมแม่แบบ:Ref label แม่แบบ:Ref label (Cyclic quadrilaterals) ได้อีกทีหนึ่ง จุดศูนย์กลางของวงกลมดังที่กล่าวมาจะเป็นคือจุดยอด (Vertex) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พิสูจน์

รูปที่ใช้ในการอธิบายการพิสูจน์

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป กำหนดให้ $◻ABCD$ คือรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (ดังภาพ) และกำหนดให้ $M_1,M_2,M_3,M_4$ เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านประกอบสามเหลี่ยมใดๆทั้งสามด้านได้ (ดังภาพ) ในที่นี้ $M_1,M_2,M_3,M_4$ คือวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม $\mathrm{△}ABD,\mathrm{△}ABC,\mathrm{△}BCD,\mathrm{△}ACD$ ตามลำดับ

จากรูปจะเห็นว่า $\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }ABD$ เพราะเป็นมุมด้านตรงข้ามส่วนของวงกลม AD อันเดียวกัน และกำหนดให้ $\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }B=\alpha =\frac{AD}{2}$

จาก $\mathrm{△}ACD$ จะพบว่า $\mathrm{\angle }A{M}_{4}D=90+\frac{\alpha }{2}$

จาก $\mathrm{△}ADB$ จะพบว่า $\mathrm{\angle }A{M}_{1}D=90+\frac{\alpha }{2}$

เนื่องจาก $\mathrm{\angle }A{M}_{4}D=\mathrm{\angle }A{M}_{1}D=90+\frac{\alpha }{2}$ ดังนั้น $◻A{M}_1{M}_{4}D$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ซึ่งในที่นี้คือวงกลมสีเขียว

เนื่องจาก $◻A{M}_1{M}_{4}D$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมแล้วดังนั้นจะได้ว่า $\mathrm{\angle }{M}_1$ (มุมสีแดงทึบ) มีค่าเท่ากับ

$\mathrm{\angle }AD{M}_4=\mathrm{\angle }\frac{ADC}{2}$แม่แบบ:Ref label เพราะเป็นคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

ในทำนองเดียวกัน $◻A{M}_1{M}_{2}B$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมของวงกลมสีส้มดังรูป

เนื่องจาก $◻A{M}_1{M}_{2}B$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม แล้วดังนั้นจะได้ว่า $\mathrm{\angle }{M}_1$ (มุมสีฟ้าทึบ) มีค่าเท่ากับ

$\mathrm{\angle }AB{M}_2=\mathrm{\angle }\frac{ABC}{2}$ แม่แบบ:Ref label ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อ้างข้างต้นกับมุม $\mathrm{\angle }{M}_1$

เนื่องจาก $◻ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ดังนั้นมุมด้านของจุดยอดตรงข้ามกันมีผลรวมเป็น 180 องศา

$\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }ADC=180$

จากข้อมูลทั้งหมดข้างต้นเราจะได้ว่ามุม $\mathrm{\angle }{M}_1$ ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ มีค่าเท่ากับ $\mathrm{\angle }AB{M}_2+\mathrm{\angle }AD{M}_4=\mathrm{\angle }\frac{ABC}{2}+\mathrm{\angle }\frac{ADC}{2}=\frac{\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }ADC}{2}=\frac{180}{2}=90$ ซึ่งจะได้ว่ามุม $\mathrm{\angle }{M}_1$ ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบเป็นมุมฉาก

ในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ข้างต้นเราจะพบว่า มุม $\mathrm{\angle }{M}_2$, $\mathrm{\angle }{M}_3$ และ $\mathrm{\angle }{M}_4$ เป็นมุมฉากเช่นเดียวกัน

ดังนั้นแสดงว่า $◻M_1{M}_2{M}_3{M}_4$ เป็นสี่เหลี่ยมผื่นผ้า ซตพ.

หมายเหตุ

ก. แม่แบบ:Note label ศัพท์บัญญัติราชบัณฑิตยสถาน คณิตศาสตร์ ๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗

ข. แม่แบบ:Note label รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilaterals) คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆที่มีจุดยอดทั้งสีอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม

ค. แม่แบบ:Note label จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม (Incircle center) นั้นมีคุณสมบัติคือ

• เป็นจุดเดียวกับจุดตัดของเส้นแบ่งมุมของสามเหลี่ยมแต่ละด้าน (Bisector)
• จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมที่วงกลมนั้นถูกบรรจุอยู่ตลอด

ดูเพิ่ม

• Carnot's theorem
• Sangaku
• Wasan