ระบบมีพลวัตแบบเวลายง

ระบบมีพลวัตแบบเวลายง หรือ ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (แม่แบบ:Langx) คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า $x(t)$ ที่เวลา $t$ จะได้สัญญาณขาออกเป็น $y(t)$ ที่เวลา $t$ ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา $t+\delta$ นั้นคือ $x(t+\delta )$ สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ $y(t+\delta )$เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา $t+\delta$ ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า $x(t+\delta )$

ตัวอย่างที่หนึ่ง

ตัวอย่างนี้เป็นการพิจารณาอย่างง่าย โดยเมื่อพิจารณา สมการสถานะ :

• ระบบ A: $y(t)=tx(t)$
• ระบบ B: $b(t)=10x(t)$

จะเห็นได้ว่า ระบบ A นั้นมีพารามิเตอร์ของระบบ (สัมประสิทธิ์หน้า $x(t)$ ) ขึ้นกับเวลา t อย่างชัดแจ้ง นั้นหมายความว่าระบบมีคุณสมบัติเปลี่ยนแปรตามเวลาได้ ส่วนระบบ B นั้น พารามิเตอร์ของระบบไม่ขึ้นกับ เวลา t ดังนั้นระบบเป็นระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

ตัวอย่างที่ 2

ในตัวอยางนี้เราจะใช้นิยามที่ 2 ในการตรวจสอบคุณสมบัติความไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาของระบบ

ระบบ A:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า (delay) $x_d(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=tx(t)$

$y_1(t)=t{x}_d(t)=tx(t+\delta )$

และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา $t+\delta$

$y(t)=tx(t)$

$y_2(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

จะเห็นได้ว่า $y_1(t)\ne y_2(t)$, ดังนั้นระบบมีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

ระบบ B:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า $x_d(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=10x(t)$

$y_1(t)=10x_d(t)=10x(t+\delta )$

และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา $\delta$

$y(t)=10x(t)$

$y_2(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )$

จะเห็นได้ว่า $y_1(t)=y_2(t)$, ดังนั้นระบบไม่มีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

ตัวอย่างที่ 3

เราจะใช้ ตัวดำเนินการเลื่อน (shift operator) โดยเขียนในสัญลักษณ์ ${𝕋}_r$ โดยที่ $r$ คือจำนวนที่เราต้องการทำการเลื่อนเชิงเวลา ตัวอย่างเช่น ระบบที่มีการล้ำหน้าเชิงเวลาไป 1 (advance-by-1)

$x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)$

เวลาเขียนในรูปแบบที่ใช้ตัวดำเนินการเลื่อนได้ดังนี้

${\tilde{x}}_1={𝕋}_1\tilde{x}$

โดยที่ $\tilde{x}$ คือฟังก์ชันนิยามโดย

$\tilde{x}=x(t)\mathrm{\forall }t\in ℝ$

ซึ่งหลังจากดำเนินการเลื่อนแล้วจะได้ว่า

${\tilde{x}}_1=x(t+1)\mathrm{\forall }t\in ℝ$

โดยจะเห็นได้ว่า ${𝕋}_1$ คือตัวดำเนินการที่ทำให้สัญญาณขาเข้าของเวกเตอร์เลื่อนไปข้างหน้า 1 ขั้นของหน่วยเวลา

หากเราเขียนระบบในในรูปของตัวดำเนินการของตัวระบบ (ในที่นี้คือพารามิเตอร์ A, B, C, D ในรูปแบบสมการปริภูมิสถานะนั้นเอง) $ℍ$ ที่ว่านี้ จะเห็นได้ว่าระบบจะมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลา ถ้าสมการของตัวระบบมีสมบัติการสลับที่กับตัวดำเนินการเลื่อน ดังนี้

${𝕋}_rℍ=ℍ{𝕋}_r\mathrm{\forall }r$

นั้นคือถ้าระบบของเราสามารถเขียนได้ในรูปสมการนี้

$\tilde{y}=ℍ\tilde{x}$

จะเห็นได้ว่าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลาถ้าเราสามารถดำเนินการระหว่าง $ℍ$ ต่อ $\tilde{x}$ แล้วตามด้วยนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ ${𝕋}_r$ ที่หลัง หรือ เราสามารถดำเนินการ ${𝕋}_r$ กับ $ℍ$ ได้เลย แล้วนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ $\tilde{x}$ โดยผลลัทพ์ที่ได้สุดท้าย นั้นจะไม่แต่ต่างกันเลย

โดยการดำเนินการของระบบ $ℍ$ ก่อนกับ $\tilde{x}$ จะได้

${𝕋}_rℍ\tilde{x}={𝕋}_r\tilde{y}={\tilde{y}}_r$

โดยการดำเนินการเลื่อน ${𝕋}_r$ ต่อ $\tilde{x}$ ก่อนจะได้

$ℍ{𝕋}_r\tilde{x}=ℍ{\tilde{x}}_r$

และถ้าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปรงเชิงเวลาแล้วจะได้ว่า

$ℍ{\tilde{x}}_r={\tilde{y}}_r$

ดูเพิ่ม

• Finite impulse response
• LTI system theory
• Sheffer sequence
• State space
• System analysis
• Time-variant system
• Shift invariant system