สมการเชบีเชฟ

สมการเชบีเชฟ (แม่แบบ:Langx) คือสมการอนุพันธ์กำลังสองสามัญเชิงเส้น (second order linear Ordinary differential equation) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+p^{2}y=0$

โดย p ค่าคงที่จำนวนจริง สมการนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ฟับนูตี เชบีเชฟ (Pafnuty Chebyshev)

ผลตอบจะอยู่ในรูปของอนุกรมค่าที่ยกกำลัง (Power series):

$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ดังต่อไปนี้

$a_{n+2}=\frac{(n-p)(n+p)}{(n+1)(n+2)}{a}_n$

จากการทดสอบด้วยอัตราส่วน (ratio test) กับความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น จะพบว่าค่าในอนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้า (converge) ในช่วง $x\in [-1,1]$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นนี้เราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นสำหรับ $a_0$ และ $a_1$ ได้ ซึ่งทำให้ได้ผลตอบในปริภูมิสองมิติที่เป็นอิสระต่อกัน เช่นหากลองเลือกให้ $a_0$ และ $a_1$ มีค่าเป็น $0$ และ $1$

กรณี $a_0$ = 1 ; $a_1$ = 0 จะได้

$F(x)=1-\frac{p^2}{2!}{x}^2+\frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}{x}^4-\frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}{x}^6+\cdots$

และ

กรณี $a_0$ = 0 ; $a_1$ = 1 จะได้

$G(x)=x-\frac{(p-1)(p+1)}{3!}{x}^3+\frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}{x}^5-\cdots$

ซึ่งผลตอบในรูปแบบทั่วไปเกิดมาจากผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของสองผลตอบข้างต้นนี้

เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งที่กล่าวมาข้างต้นจะมีลำดับที่จำกัด โดยที่ ฟังก์ชัน $F$ จะมีพจน์ถึงแค่ $x^p$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนคู่ และในทางกลับกัน ฟังก์ชัน $G$ จะมีพจน์ถึงแค่ $x^p$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนคี่ ซึ่งส่งผลให้ลำดับของอนุกรมผลตอบจะมีลำดับจำกัดอยู่แค่ลำดับ $p$ และเป็นเพียงพหุคูณของ พหุนามเชบีเชฟ (Chebyshev polynomial) ลำดับ $p$ เท่านั้นเอง ดังจะเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้

$T_p(x)=(-1{)}^{p/2}F(x)$ ถ้า $p$ เป็นจำนวนคู่

$T_p(x)=(-1{)}^{(p-1)/2}pG(x)$ ถ้า $p$ เป็นจำนวนคี่

โดยที่ $T_p(x)$ คือ พหุนามเชบีเชฟ ลำดับ $p$

อนึ่ง เราสามารถหาผลตอบได้ในกรณีที่ $p$ เป็นจำนวนเต็มลบได้เช่นกัน เพียงแต่ว่าผลตอบที่ได้นั้นจะซ้ำกับผลตอบในกรณีที่ $p$ เป็นจำนวนเต็มบวก อันเนื่องมาจากสมการเชบีเชพนี้มีคุณสมบัติไม่ไม่แปรเปลี่ยน (invariant) ภายใต้การแทนค่าระหว่าง $p$ และ $-p$ นั้นเอง

อ้างอิง

• สมการเชบีเชฟ จากเว็ปของแพลเนตแมธ