สมการซิลเวสเตอร์

สมการซิลเวสเตอร์ (แม่แบบ:Langx) มักพบในทฤษฎีระบบควบคุม คือสมการเมทริกซ์ ในรูปแบบ

$AX+XB=C$

โดยที่ $A,B,X,C$ คือ $n\times n$ เมทริกซ์ $A,B,C$ เป็นเมทริกซ์ทราบค่า และ $X$ คือเมทริกซ์ตัวแปรที่เราต้องการหาค่า

เงื่อนไขการมีอยู่และความเป็นได้อย่างเดียวของผลตอบ

โดยใช้ ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) และตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ vectorization operator ($\mathrm{vec}$) เราสามารถเขียนสมการในรูปแบบใหม่ได้เป็น

$(I_n\otimes A+B^T\otimes I_n)\mathrm{vec}X=\mathrm{vec}C$

โดยที่ $I_n$ คือ $n\times n$ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ในรูปแบบนี้เราจะเห็นได้ว่า สมการซิลเวสเตอร์ สามารถเขียนได้อยู่ในรูป ระบบเชิงเส้น ที่มีมิติขนาด $n^2\times n^2$

หมายเหตุ: อย่างไรก็ดีการเขียนสมการซิลเวสเตอร์ ในรูปแบบนี้ไม่เป็นที่แนะนำกับการใช้ในการหาผลตอบเชิงเลข (numerical solution) เพราะเป็นการใช้ขั้นตอนการคำนวณที่มากเกินไปและจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้

ถ้า $A=UL{U}^{-1}$ และ $B^T=VM{V}^{-1}$ อยู่ในรูปแบบบัญญัติจอร์แดน (Jordan canonical form) ของ $A$ และ $B^T$ แล้ว และ ${\lambda }_i$ และ ${\mu }_j$ คือ ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของ $A$ และ $B^T$ ตามลำดับ แล้ว เราสามารถเขียนสมการในรูป

$I_n\otimes A+B^T\otimes I_n=(V\otimes U)(I_n\otimes L+M\otimes I_n)(V\otimes U{)}^{-1}$

เนื่องจาก $(I_n\otimes L+M\otimes I_n)$ คือ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (upper triangular) ที่มีสมาชิกตามแนวทแยงเป็น ${\lambda }_i+{\mu }_j$ เมทริกซ์ด้านซ้ายมือจะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ก็ต่อเมื่อ มี $i$ และ $j$ ที่ทำให้ ${\lambda }_i=-{\mu }_j$

ดังนั้น เราสามารถพิสูจน์ว่าสมการซิลเวสเตอร์มีคำตอบที่ไม่ซ้ำ (unique solution) ก็ต่อเมื่อ $A$ และ $-B$ ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่ร่วมกัน

คำตอบเชิงเลข

ขั้นตอนวิธีของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ (Bartels–Stewart algorithm) สามารถหาคำตอบของสมการซิลเวสเตอร์ โดยการเปลี่ยน $A$ และ $B$ ให้อยู่ในรูปของแบบของชูร์ (Schur form) โดยใช้ ขั้นตอนวิธีคิวอาร์ (QR algorithm) และต่อมาแก้สมการที่ติดในรูปเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนด้วย back-substitution ขั้นตอนวิธีดั้งกล่าวมีค่า O $(n^3)$

ดูเพิ่ม

• สมการเลียปูนอฟ
• สมการริกกาตีเชิงพีชคณิต (Algebraic Riccati equation)

อ้างอิง

• J. Sylvester, Sur l’equations en matrices $px=xq$, C.R. Acad. Sci. Paris, 99 (1884), pp. 67 – 71, pp. 115 – 116.

• R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation $AX+XB=C$, Comm. ACM, 15 (1972), pp. 820 – 826.

• R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation $AX-XB=Y$ ?, Bull. London Math. Soc., 29 (1997), pp. 1 – 21.

• S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, Linear Algebra and its Applications, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Online solver for arbitrary sized matrices.แม่แบบ:ลิงก์เสีย