ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกา

แผนภาพแสดงมุมต่าง ๆ ที่เกิดจากเข็มของนาฬิกาแอนะล็อกที่กำลังแสดงเวลา 2:20

ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกา เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการหามุมระหว่างเข็มบนหน้าปัดนาฬิกาแอนะล็อก ซึ่งมีสองเข็มได้แก่ เข็มสั้นแทนชั่วโมง และเข็มยาวแทนนาที

ปัญหาทางคณิตศาสตร์

ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกาเกี่ยวกับการวัดสองชนิดได้แก่ มุม และเวลา มุมโดยทั่วไปวัดจากขีดเลข 12 เวียนตามเข็มนาฬิกา ส่วนเวลาตามปกติก็ใช้พื้นฐานบนนาฬิกาสิบสองชั่วโมง

วิธีการที่จะแก้ปัญหาทำนองนี้คือการพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมในหน่วยองศาต่อนาที เข็มสั้นบนหน้าปัดสิบสองชั่วโมงตามปกติจะหมุนครบรอบ 360 องศาเมื่อครบ 12 ชั่วโมง (720 นาที) นั่นคืออัตรา 0.5 องศาต่อนาที ส่วนเข็มยาวจะหมุนครบรอบ 360 องศาใน 60 นาที นั่นคืออัตรา 6 องศาต่อนาที

สูตรคำนวณมุมของเข็มสั้น

${\theta }_{\text{hr}}=\frac{1}{2}{M}_{\mathrm{\Sigma }}=\frac{1}{2}(60H+M)$

เมื่อ

• θ คือมุมในหน่วยองศาของเข็มสั้น วัดตามเข็มนาฬิกาจากตำแหน่ง 12 นาฬิกา (หรือ 0 นาฬิกา)
• H คือจำนวนชั่วโมงที่ผ่านไปตั้งแต่ 12 นาฬิกา
• M คือจำนวนนาทีที่ผ่านไปจากชั่วโมงเต็ม
• M_Σ คือจำนวนนาทีที่ผ่านไปตั้งแต่ 12 นาฬิกา

สูตรคำนวณมุมของเข็มยาว

${\theta }_{\text{min.}}=6M$

เมื่อ

• θ คือมุมในหน่วยองศาของเข็มยาว วัดตามเข็มนาฬิกาจากตำแหน่ง 12 นาฬิกา
• M คือจำนวนนาที

ตัวอย่าง

กำหนดเวลาให้ 5:24 มุมของเข็มสั้นในหน่วยองศาเท่ากับ

${\theta }_{\text{hr}}=\frac{1}{2}(60\times 5+24)=162$

และมุมของเข็มยาวในหน่วยองศาเท่ากับ

${\theta }_{\text{min.}}=6\times 24=144$

สูตรคำนวณมุมระหว่างเข็มทั้งสอง

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\theta & =|{\theta }_{\text{hr}}-{\theta }_{\text{min.}}|\\ & =|\frac{1}{2}(60H+M)-6M|\\ & =|\frac{1}{2}(60H-11M)|\end{array}$

เมื่อ

• H คือจำนวนชั่วโมง
• M คือจำนวนนาที

ตัวอย่าง

กำหนดเวลาให้ 11:8 มุมระหว่างเข็มทั้งสองในหน่วยองศาเท่ากับ

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\theta & =|\frac{1}{2}(60\times 2-11\times 20)|\\ & =|\frac{1}{2}(120-220)|\\ & =50\end{array}$

เวลาใดบ้างที่เข็มทั้งสองทับกันพอดี

เวลาที่เข็มสั้นและเข็มยาวทับกันพอดี หมายถึง เวลาที่มุมของเข็มสั้นและเข็มยาวเท่ากันพอดี คำนวณได้จาก

$\begin{array}{cc}{\theta }_{\text{hr}}& ={\theta }_{\text{min.}}\\ \Rightarrow \frac{1}{2}(60H+M)& =6M\\ \Rightarrow 11M& =60H\\ \Rightarrow M& =\frac{60}{11}H\\ \Rightarrow M& =5.\overline{45}H\end{array}$

H คือจำนวนชั่วโมงเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 11 ดังนั้นเราจะได้คำตอบว่าเวลาที่เข็มทั้งสองทับกันพอดีได้แก่ 0:00, 1:05.แม่แบบ:Overline, 2:10.แม่แบบ:Overline, 3:16.แม่แบบ:Overline, ฯลฯ (เวลา 0.แม่แบบ:Overline นาทีมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ 27.แม่แบบ:Overline วินาที)

ดูเพิ่ม

• ตำแหน่งนาฬิกา

แหล่งข้อมูลอื่น

• http://www.delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm แม่แบบ:Webarchive
• http://www.ldlewis.com/hospital_clock/ - extensive clock angle analysis
• http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm แม่แบบ:Webarchive